극단값 추정기

통계학 및 계량학에서 극단값 추정기는 데이터에 따라 달라지는 특정 목적 함수의 최대화(또는 최소화)를 통해 계산되는 파라메트릭 모델의 광범위한 추정기다.극단적 추정기의 일반 이론은 아메미야(1985년)에 의해 개발되었다.

정의

$\scriptstyle {\hat {\theta }}$ ^ $^$ {\ $displaystyle \scriptstyle {\hat$ {\ $theta}}}}$ 을(를) 극단값 추정기라고 하는데 $\scriptstyle {\hat {\theta }}$ , 이와 같은 $\scriptstyle {\hat {Q}}_{n}$ 객관적 $\scriptstyle {\hat {Q}}_{n}$ Q $\scriptstyle {\hat {Q}}_{n}$ ^ $\scriptstyle {\hat {Q}}_{n}$ ${\$

{\hata}}={\underset {\theta \in \theta \}{\operatorname {arg\;max}}}}}}\\\widehat{Q}_{n}(\ta }),

여기서 θ은 매개변수 공간이다.때때로 약간 더 약한 정의가 주어진다.

{\widehat{Q}_{n}({\hat {\theta }}})\geq \max _{\theta \in \}\\widehat {Q}}{n}(\theta )-o_{p}(1),},

여기서 o_p(1)는 확률에서 0으로 수렴되는 변수다.이 $\scriptstyle {\hat {\theta }}$ 으로 $\scriptstyle {\hat {\theta }}$ $^{\$ 은(는) 목표 함수의 정확한 최대화자가 될 필요는 $\scriptstyle {\hat {\theta }}$ 없으며, 충분히 가까이 있으면 된다.

극단적 추정기의 이론은 객관적 기능이 무엇이어야 하는지를 명시하지 않는다.다양한 모델에 적합한 다양한 유형의 객관적 기능이 있으며, 이 프레임워크를 통해 그러한 추정기의 이론적 특성을 통일된 관점에서 분석할 수 있다.이론은 객관적 함수가 보유해야 하는 속성만을 명시하므로, 특정한 객관적 함수를 선택하는 것은 그러한 특성이 충족되는지 검증하는 것만을 필요로 한다.

일관성

매개변수 공간 θ이 콤팩트하지 않은 경우(이 예에서는 = = ),) 목표 함수가 θ에서₀ 고유하게 최대화되더라도 이 최대값은 잘 분리되지 않을 수 있으며, 이 경우

\scriptscriptstyle {\hat {\theta }}

^

\scriptscriptstyle {\hat {\theta }}

{\

이

\scriptscriptstyle\hat\theta

(가) 일관되지 않는다.

매개 변수 공간 Θ고 제한 기능 Q0(θ)가:Q^ n(θ){\displaystyle \scriptstyle{\hat{Q}}_ᆮ(\theta)}은 수 있Q0(θ)에 Θ 한결같이에 확률에서, 함수를 Q0(θ)연속적입니다 그리고 θ)θ0의 고유한 최대고 있는 한 점인.만약 이들 조건{그때θ ^ 만족하고 있다. $\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}$ 은(는) θ에₀ 대해 일관성이 있다 $\scriptstyle {\hat {\theta }}$ .^[1]

$\scriptstyle {\hat {Q}}_{n}(\theta )$ $\scriptstyle {\hat {Q}}_{n}(\theta )$ ( $\scriptstyle {\hat {Q}}_{n}(\theta )$ ) ${\$ 확률의 균일한 수렴은 다음을 의미한다 $\scriptstyle {\hat {Q}}_{n}(\theta )$ .

\sup _{\theta \in \theta }{{Q}{n}(\theta )-Q_{0}(\theta ){\big }\\x오른쪽 화살표 {p}\ 0.

θ의 소형화 요건은₀ Q의 최대치가 잘 분리되어 있고, 즉 θ과₀ 거리가 멀지만₀ Q(θ)가₀ Q(θ₀)에 가까웠다는 점에서 θ이 존재해서는 안 된다는 약한 가정으로 대체할 수 있다.형식적으로는 Q₀(θ_i) → Q₀(θ₀)와 같은 어떤 시퀀스 {θ_i}에 대해서도 θ_i → θ이₀ 사실이어야 한다는 것을 의미한다.

점근성 정규성

일관성이 확립되고 샘플 $Q_{n}$ ${\$ 의 파생상품이 일부 다른 조건을 만족한다고 $Q_{n}$ 가정하면 극단값 추정기는 점근법적으로 정규 분포로 수렴한다.^[2]

예

목표 함수를 사용하는 최대우도 추정
${\Q}_{n}(\theta )=\log \left[\prod _{n1}f(x_{i} \theta )\right]=\sum _{i=1}^{n}\log f(x_{i} \ta}),}$
여기서 f(· θ)는 관측치가 그려지는 곳에서부터 분포의 밀도함수다.이 목적 함수를 로그 우도함수라고 한다.^[3]
모멘트 추정기의 일반화 방법은 목표 함수를 통해 정의된다.
${\hat {Q}}_{n}(\theta )=-{\Bigg (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}g(x_{i},\theta ){\Bigg )}'{\hat {W}}_{n}{\Bigg (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}g(x_{i},\theta ){\Bigg )},$
여기서 g(· θ)는 모델의 모멘트 조건이다.^[4]
최소 거리 추정기

참고 항목

M-추정기

메모들

^ Newey & McFadden(1994), Organization 2.1
^ Shi, Xiaoxia. "Lecture Notes: Asymptotic Normality of Extremum Estimators" (PDF).
^ Hayashi, Fumio (2000). Econometrics. Princeton: Princeton University Press. p. 448. ISBN 0-691-01018-8.
^ Hayashi, Fumio (2000). Econometrics. Princeton: Princeton University Press. p. 447. ISBN 0-691-01018-8.

참조

Amemiya, Takeshi (1985). "Asymptotic Properties of Extremum Estimators". Advanced Econometrics. Harvard University Press. pp. 105–158. ISBN 0-674-00560-0.
Hayashi, Fumio (2000). "Extremum Estimators". Econometrics. Princeton: Princeton University Press. pp. 445–506. ISBN 0-691-01018-8.
Newey, Whitney K.; McFadden, Daniel (1994). "Large sample estimation and hypothesis testing". Handbook of Econometrics. Vol. IV. Elsevier Science. pp. 2111–2245. doi:10.1016/S1573-4412(05)80005-4. ISBN 0-444-88766-0.

[1] Newey & McFadden(1994), Organization 2.1

[2] Shi, Xiaoxia. "Lecture Notes: Asymptotic Normality of Extremum Estimators" (PDF).

[3] Hayashi, Fumio (2000). Econometrics. Princeton: Princeton University Press. p. 448. ISBN 0-691-01018-8.

[4] Hayashi, Fumio (2000). Econometrics. Princeton: Princeton University Press. p. 447. ISBN 0-691-01018-8.

[1]

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[3]

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