포물선 실린더 함수

수학에서 포물선 원통함수는 미분 방정식의 해법으로 정의되는 특수함수다.

${\dxyle{\frac{d^{2}f}{dz^{2}}+\왼쪽_{a}z^{2}+{b}z+{\tilde{c}\c}\f=0.}$

(1)

이 방정식은 포물선 원통형 좌표로 표현했을 때 라플레이스의 방정식에 변수의 분리 기법을 사용할 때 발견된다.

위의 방정식은 H. F. 베버 방정식(Weber 1869년)이라고 하는 정사각형과 재스케일링 z를 완성하여 두 가지 구별되는 형태(A)와 (B)로 가져올 수 있다.

${\displaystyle \frac{d^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2f\mathrm{}}^{}}{}}$ d z ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$-${\displaystyle }$( 1 ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ a${\displaystyle }$) f${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\fc^{d^{$2}$f}{dz$^{2$}}-\왼쪽({\tfrac$ {$1}{4}z^{2}+a\오른쪽)f=0}($A)

그리고

${\displaystyle \frac{d^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2f\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$+${\displaystyle }$( 1 ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle z{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- a${\displaystyle }$) f${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle {\fc^{d^{$2}f}{$dz^{2}}+\좌측({\tfrac${1$}{4}}z^{2}-a\오른쪽)f=0.}($B)

만약

$f(a,z)\,}$

해결책이다, 그렇다면 역시 그렇다.

$(\displaystyle f(a,-z), f(-a,iz){\text{ 및 }f(-a,-iz).\,}$

만약

$f(a,z)\,}$

등식(A)의 해법이다.

${\displaystyle f(-ia,ze^{(1/4)\pi i}\,}$

(B)의 해결책이며, 대칭에 의해

${\displaystyle f(-ia,-ze^{(1/4)\pi i}),f(ia,-ze^{-(1/4)\pi i}{\text{} 및 }f(ia,ze^{-(1/4)\pi i},},},}$

또한 (B)의 해결책이다.

해결 방법

형태(A)에는 독립적으로 짝수 및 홀수 해법이 있다.이러한 것들은 (아브라모위츠와 스테건(1965)의 표기법에 따라)에 의해 주어진다.

${\displaystyle y_{1}(a;z)=\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {1}{4}};\;{\tfrac {1}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {even} )}$

그리고

${\displaystyle y_{2}(a;z)=z\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {3}{4}};\;{\tfrac {3}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {odd} )}$

여기서 ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}a}$; b${\displaystyle }$; ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle M(a}$; ${\displaystyle b}$; z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \;_{1}F_{1}(a;b;z)$$=M(a;b;z)}$은 결합초기하함수다.

다른 쌍의 독립적 솔루션은 위의 솔루션들의 선형 결합으로 형성될 수 있다(아브라모위츠와 스테건 참조).그러한 쌍 중 하나는 무한대의 행동에 기초한다.

${\displaystyle U(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}}}\left[\cos(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)-{\sqrt {2}}\sin(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]}$

${\displaystyle V(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}\Gamma [1/2-a]}}\left[\sin(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)+{\sqrt {2}}\cos(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]}$

어디에

${\displaystyle \xi ={\frac {1}{1}:{2}}a+{\frac {1}{4}}.}$

함수 U(a, z)는 z와 arg(z)의 큰 값에 대해 0에 접근하는 반면, V(a, z)는 양의 리얼 z의 큰 값에 대해 분산된다.

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow \inflt }U(a,z)/e^{-z^{2}/4}z^{-a-1/2}}=1\,\,\({\text}}}}, \\\\\\\cH00g(z)<\pi /2)}$

그리고

${\displaystyle \lim_{z\rightarrow \inflt }V(a,z)/{\frrac{2}{2}{2}/4}z^{a-1/2}=1\,\,\({\text{for}\,\arg(z)=0)}$

a의 반정수 값의 경우, 이러한 값(즉 U와 V)은 Hermite 다항식 단위로 다시 표현될 수 있으며, 또는 Besel 함수 단위로 표현될 수도 있다.

U와 V 함수는 포물선 원통 함수라고도 하는_p D(x) (Whittaker (1902)로 거슬러 올라가는 표기법)과 관련이 있을 수 있다(Abramowitz and Stegun (1965) 참조).

${\displaystyle U(a,x)=D_{-a-{\tfrac {1}{1}:{2}}(x),}$

${\displaystyle V(a,x)={\frac {\gamma({\tfrac {1}{2}}+a)}{\pi }}{\pi }}}}{\sin(\pi a)D_{-a-{\tfrac {1}{1}}(x)+D_{-a-{\tfrac {1}{1}:{2}}(-x)].}$

기능 Da(z)휘태커와 왓슨으로부터 eq.~(1)의 달성에 대한 해결책으로)14, b일=0으로, c~)+12{\displaystyle{\tilde{}}=-{\frac{1}{4}},{\tilde{b}}=0,{\tilde{c}}=a+{\frac{1}{2}−}}+∞{+\infty\displaystyle}에서 콩콩 뛰었다. 그것은 합류 hypergeometri의 조건으로 표현될 수 있었다.c로서의 기능을 하다.

${\displaystyle D_{a}(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }{2^{a/2}}e^{-{\frac {z^{4}}}\cos \좌측({\frac {\pi a}{2}}\우측)\Gamma \left({\frac {a+1}{2}}\right)\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {a}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)+{\sqrt {2}}z\sin \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\감마 \left({\frac {a}{2}}+1\오른쪽)\,_{1}F_{1}{1}{1}{1}{1}{{\frac{1}2}}-{\frac{3}{2}}:{\frac{z^{2}}\오른쪽)}}}}.}$

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참조

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 19". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 686. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Rozov, N.Kh. (2001) [1994], "Weber equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Temme, N. M. (2010), "Parabolic cylinder function", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Weber, H.F. (1869), "Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung ${\displaystyle \partial ^{2}u/\partial x^{2}+\partial ^{2}u/\partial y^{2}+k^{2}u=0}$", Math. Ann., vol. 1, pp. 1–36
• Whittaker, E.T.(1902) "조화 분석에서 포물선 실린더와 관련된 기능에 대하여" Proc. 런던 수학. Soc.35, 417–427.
• Whitaker, E. T.와 Watson, G. N. "포물성 실린더 기능". A Course in Modern Analysis, 4번째 Edition. §16.5.영국 케임브리지: 케임브리지 대학 출판부, 347-348페이지, 1990.