헤르미트 보간법

수치해석에서는 찰스 헤르미트의 이름을 딴 헤르미트 보간법은 다항 함수로 데이터 포인트를 보간하는 방법이다.생성된 Hermite 보간 다항식은 둘 다 분할된 차이의 계산에서 도출된다는 점에서 뉴턴 다항식과 밀접한 관련이 있다.단, Hermite 보간 다항식도 분할된 차이를 사용하지 않고 계산할 수 있다. 중국의 나머지 정리 § Hermite 보간법을 참조한다.

뉴턴 보간과는 달리 헤르미트 보간법은 관측값과 첫 번째 m 파생상품의 관측값 모두에서 알 수 없는 함수를 일치시킨다.즉, n(m + 1) 값이

${\displaystyle {\begin{matrix}(x_{0},y_{0}),&(x_{1},y_{1}),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}),\\(x_{0},y_{0}'),&(x_{1},y_{1}'),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}'),\\\vdots &\vdots &&\vdots \\(x_{0},y_{0}^{(m)}),&(x_{1},y_{1}^{(m)}),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}^{(m)})\end{matrix}}}$

뉴턴 보간술에 필요한 첫 n개의 값만이 아니라, 반드시 알아야 한다.결과 다항식은 최대 n(m + 1) - 1의 학위를 가질 수 있는 반면, 뉴턴 다항식은 최대 n - 1의 학위를 가질 수 있다(일반적인 경우 m은 고정값일 필요가 없으며, 즉, 일부 포인트는 다른 포인트보다 더 많이 알려진 파생상품을 가질 수 있다.이 경우 결과 다항식은 N - 1, 데이터 점 수는 N이 될 수 있다.)

사용법

심플 케이스

f 함수의 Hermite 다항식을 계산하기 위해 분할된 차이를 사용할 때, 첫 번째 단계는 각 점 m을 복사하는 것이다.(여기서는 모든 점에 대해$$ 가장 단순한 사례 $m{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m=1$}을$($를) 고려한다.)Therefore, given ${\displaystyle n+1}$ data points ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$, and values ${\displaystyle f(x_{0}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})}$ and ${\displaystyle f^{\prime }(x_0),f^{\prime }(x_1),\dots ,f^{\prime }(x_n}$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$ f$'(x_{0}),f'(x_{1}),\ldots,f'(x_{n}}}$을(를) 보간하려는 함수$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 대해 새 데이터 집합을 생성함

${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots,z_{2n+1}.$

그런

${\displaystyle z_{2i}=z_{2i+1}=x_{i}.}$

이제 점 ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{},}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{\mathrm{2n}}}$ + ${\displaystyle 1_{}}${\$displaystyle z_{0},z_{1},\ldots,z_{2n+1$}에 대해 구분된 차이 표를 만든다$.$그러나, 몇몇의 분열된 차이점들에 대해서는,

${\displaystyle z_{i}=z_{i+1}\f[z_{i}}}}={\frac {f(z_{i+1})-f(z_{i}}}}{z_{i}}}}={\frac {0}}}}}}}}}}}}}}$

정의되지 않은 것.이 경우, 분할된 $차이$는 f ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle z_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle f'(z_{i})$로 대체되며$,$ 그 외 모든 것은 정상적으로 계산된다.

일반사례

일반적인 경우, 주어진 점 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 k개의 파생 모델이 있다고 가정해 보십시오.그러면 데이터 집합 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}{}_{}}$ z ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$${$$1},\ldots,$$z_{{N}$의 동일한 복사본이 $k개{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {포함}_{}}$되어 있다$$$.$ $테이블$을 생성할 때 j${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ,${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle k,}$ k$\displaysty j=2,3,\ldots,k}$의 동일한 값이 계산된다.

${\displaystyle {\frac {f^{(j)}(x_{i})}}{j!}}}}$

예를 들어,

${\displaystyle f[x_{i},x_{i},x_{i}]={\frac {f"(x_{i})}{2}}}$

${\displaystyle f[x_{i},x_{i},x_{i}}={\frac {f^{(3)}(x_{i})}{6}}}$

등

예.

$f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {8\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(x)=x^{8}+1}$함수를 고려하십시오$.$함수 및 처음 두 파생상품을 $x{\displaystyle \in \{}$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle x\in \{-1,0,1\}$에서 평가하면 다음과 같은 데이터가 나온다$.$

x	ƒ(x)	ƒ'(x)	ƒ"(x)
−1	2	−8	56
0	1	0	0
1	2	8	56

우리가 작업할 두 개의 파생상품이 있기 때문에$,{\displaystyle }$ 세트 {${\displaystyle \mathrm{z}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }${${\displaystyle }$- 1,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 1\}}$ ${\displaystyle \{z_{i}\}=\{-1,-1$,-$1,-1,-0,0,1$,1$,1$,1,1$,1$,1$,$1\}}}}의 구분된 차이표는 다음과 같다$.$

${\displaystyle{\begin{배열}{llcclrrrrr}z_{0}=-1&, f[z_{0}]=2&,&&&&&&&\\&,&{\frac{f'(z_{0})}{1}}=-8&,&&&&&&\\z_{1}=-1&, f[z_{1}]=2&,&{\frac{f"(z_{1})}{2}}=28&,&&&&&\\&,&{\frac{f'(z_{1})}{1}}=-8&, &, f[z_{3},z_{2},z_{1},z_{0}]=-21&&.앰프,&&&\\z_{2}=-1&, f[z_{2}]=2&, &, f[z_{3},z_{2},z_{1}]=7&, &, 15&,&&&\\&, &, f[z_{3},z_{2}]=-1&, &, f[z_{4},z_{3},z_{2},z_{1}]=-6&, &, -10&,&&\\z_{3}=0&, f는 경우z_{3}해결 =1&, &, f[z_{4},z_{3},z_{2}]=1&,&5&,&4&,&\\&,&{\frac{f'(z_{3})}{1}}=0&, &, f[z_{5},z_{4},z_{3},z_{2}]=-1&, &, -2&, &, -1&, \\z_{4}=0&, f[z_{4}]=1&,&{\frac{f"(z_{4})}{2}}=0&,&1&,&2&,&1\\&,&{\frac{f'(z_{4})}{1}}=0&, &, f[z_{6},z_{5},z_{4},z_{3}]=1&, &/&2&,&1&, \\z_{5}=0&, f[z_{5}]=1&, &, f[z_{6},z_{5},z_{4}]=1&,&5&,&4&,&\\&, &, f[z_{6},z_{5}]=1&, &, f[z_{7},z_{6},z_{5},z_{4}]=6&,&10&,&&\\z_{6}=1&, f는 경우z_{6}해결 =2&, f &, f[z_{7},z_{6},z_{5}]=7&, &, 15&,&&&\\&,&{\frac{f'(z_{6})}{1}}=8&, &, f[z_{8},z_{7},z_{6},z_{5}]=21&,&&&&\\z_{7}=1&, f[z_{7}]=2&,&{\frac{f"(z_{7})}{2}}=28&,&&&&&\\&,&{\frac{f'(z_{7})}{1}}=8&,&&&&&&\\z_{8}=1&, 경우에는 z_{8}해결 =2&,&&&&&&&\\\end{배열}}}$

생성된 다항식은

${\displaystyle {\begin}P(x)&=2-8(x+1)+28(x+1)^{2}-21(x+1)^{3}+15x(x+1)^{3}-10x^{2}(x+1)^{3}-10x^{3}(x+1)^{3}\\&\quad {}+4x^{3}(x+1)^{3}-1x^{3}(x+1)^{3}(x-1)+x^{3}(x+1)^{3}(x-1)^{2}\\&=2-8+28-21-8x+56x-63x+15x+28x^{2}-63x^{2}+45x^{2}-10x^{2}-21x^{3}\\&\quad {}+45x^{3}-30x^{3}+4x^{3}+x^{3}+x^{3}+15x^{4}-30x^{4}+12x^{4}+2x^{4}+x^{4}\\•{}-10x^{5}+12x^{5}+12x^{5}+2x^{5}-2x^{5}-2x^{5}-2x^{5}-x^{6}+x^{6}-x^{7}+x^{7}+x^{7}+x^{8}{8}}\\&=x^{8}+1.\end{정렬}}}$

분할된 차이표의 대각선에서 계수를 취하여 뉴턴 다항식을 생성할 때와 같이 k번째 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{계수}}}$를${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$lying i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{k}}}}$- ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$( ${\displaystyle x}$- z ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle \prod _{i=0}^{k-1}(x-z_{i}})}}$로 곱함$.$

퀸틱 헤르미트 보간법

기능(${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f$$}),$ $$첫 번째(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ f$\text{'}\}),$ 두 번째 파생상품(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$ ${\$ f$\text{'}\})$에 기초한 5중 헤르미트 보간법을 두 가지 다른 지점(${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$ $x_{0$$}$ 및$$ x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ x_{1$})$에서 사용할 수 있다$.$f 위치, 속도 및 가속도에 근거한 물체일반 서식은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}p(x)&=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})-f'(x_{0})(x_{1}-x_{0})-{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x_{1}-x_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{3}}}(x-x_{0})^{3}\\&+{\frac {3f(x_{0})-3f(x_{1})+\left(2f'(x_{0})+f'(x_{1})\right)(x_{1}-x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x_{1}-x_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{4}}}(x-x_{0})^{3}(x-x_{1})\\&+{\frac {6f(x_{1})-6f(x_{0})-3\left(f'(x_{0})+f'(x_{1})\right)(x_{1}-x_{0})+{\frac {1}{2}}\left(f''(x_{1})-f''(x_{0})\right)(x_{1}-x_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{5}}}(x-x_{0})^{3}(x-x_{1})^{2}.\end{정렬}}}$

오류

계산된 다항식 H와 원래 함수 f를 호출한다.점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x\in [x_{0},x_{n}],$오류 함수는

${\displaystyle f(x)-H(x)={\frac {f^{(K)}(c)}{K!}}}\prod _{i}(x-x_{i})^{k_{i}},}$

여기서 c는${\displaystyle }$[${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [x_{0},x_{N}]$ 범위 내에서 알 수 없는 것이며,$$${\displaystyle K_{}}$는 총 데이터 포인트 수이며, $k{\displaystyle {}_{}}$ i ${\$는 각 ${\displaystyle x_{}}$ i ${\$ x_{i$}}}$에서 알려진 파생상품의$$ 수입니다.

참고 항목

• 큐빅 헤르미테 스플라인
• 유한 차이라고도 알려진 뉴턴 시리즈
• 네빌 스키마
• 다항 보간법
• 보간 다항식의 라그랑주 형식
• 보간 다항식의 번스타인 형식
• 중국 나머지 정리 - 적용

참조

• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2004). Numerical Analysis. Belmont: Brooks/Cole.
• Spitzbart, A. (January 1960), "A Generalization of Hermite's Interpolation Formula", American Mathematical Monthly, 67 (1): 42–46, doi:10.2307/2308924, JSTOR 2308924

외부 링크

• 헤르미츠 인터폴 다항식 / 수학월드