투영 객체

범주 이론에서, 투영 객체의 개념은 투영 모듈의 개념을 일반화한다.아벨의 범주에서 투영된 물체는 동음이의 대수학에서 사용된다.투영 객체의 이중 개념은 주입 객체의 개념이다.

정의

인식형 $e{\displaystyle }$ : ${\displaystyle E\twoheadrightarrow }$ ${\displaystyle X}$ ${\$$displaystyle {\mathcal{C}$ 범주 C ${\$$displaystyle$ P}의$$ $개체{\displaystyle }$ P ${\displaystyle$ $P$$}$은$($는) 투영적이다.${\displaystyle E}$$\2headrightarrow$ X$}$ 및$$ $형태론$ f :${\displaystyle }$P${\displaystyle }$→ X ${\displaystyle f:$$P\to X$ 형태론 $f{\displaystyle \stackrel{\text{'}}{}}$가 있다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle P}$→ E ${\displaystyle {\overline{f}:$$다음$과 같은 P$$$to$ E$},$즉 다음 도표가 통근된다$.$

즉, 모든 형태론 $P{\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P\to X}$ 인자를 모든 인식론 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E\\$wohead$$^[1]$rightarrow X}$을 통해.

C가 로컬로 작은 경우, 즉, 특히 ${\displaystyle {\mathrm{Hom}}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (P}$, ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(P,X)}$이(가) C의 개체 X에 대한 집합인 경우, 이 정의는 홈 펑터(핵심 표시 가능한 펑터라고도 함)의 조건과 동일하다.

${\displaystyle \operatorname {Hom}(P,-)\colon {\mathcal {C}\to \mathbf {Set}}}}$

경구성을 ^[2]보존하다

아벨 범주에서 투영 객체

범주 C가 예를 들어, 아벨 그룹과 같은 아벨 범주라면, P는 만약의 경우, 그리고 만약의 경우에 한해서만 투영된다.

${\displaystyle \operatorname {Hom}(P,-)\colon {\mathcal {C}\to \mathbf {Ab}}}}$

아브는 아벨 그룹들의 범주인 정확한 functor이다.

An abelian category ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ is said to have enough projectives if, for every object ${\displaystyle A}$ of ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, there is a projective object ${\displaystyle P}$ of ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ and an epimorphism from P to A or, equivalent리, 짧은 정확한 순서.

$A\longwrightarrow 0.000Displaystyle 0\to K\to K\to K\longwrightarrow 0.$

이 정의의 목적은 모든 물체 A가 투사적 분해능, 즉 (긴) 정확한 시퀀스를 승인하는지 확인하는 것이다.

${\displaystyle \dots P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to 0}$

여기서 개체 ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$0 , ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 1 , ${\displaystyle ...}$ ${\displaystyle P_{0},P_{1},\dots$}은(는) 투영적이다$$.

제한된 클래스에 대한 투영성

세마데니(1963)는 주어진 범주 C에서 "반복"과 "반복"의 하위 범주 쌍으로 구성되는, 소위 바이카테고리(bicategory)에 상대적인 투영적(그리고 dually injection) 객체의 개념을 논한다.이러한 하위 범주는 모든 추출이 경구상이라는 요건을 포함하여 특정한 형식적 속성의 영향을 받는다.투영 객체(거부 고정 등급과 상대적)는 Hom(P, -)이 고정 등급의 거부를 (일반적인 의미에서) 집합의 거부로 전환하도록 하는 객체 P이다.

특성.

• 두 개의 투영 물체의 합성은 투영적이다.^[3]
• 투사체의 수축은 투사적이다.^[4]

예

모든 세트가 투영적이라는 말은 선택의 공리와 같다.

아벨리아 집단의 범주에 있는 투사적인 물체는 자유 아벨리아 집단이다.

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 정체성을 가진 링이 되게$$ 하라.왼쪽 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -모듈의$$(abelian) $범주{\displaystyle }$ R ${\displaystyle$R} -모듈을 고려하십시오.$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -Mod의 투영 객체는 정확하게 투영 왼쪽 R-모듈이다.따라서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은(는) $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -Mod의 투영 객체 그 자체다$$.R ${\displaystyle R}$ -Mod의 주입 물체는 정확히 주입 좌측 R-모듈이다.

왼쪽(오른쪽) $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -modules$$ 범주에도 충분한 투영물이 있다.This is true since, for every left (right) ${\displaystyle R}$-module ${\displaystyle M}$, we can take ${\displaystyle F}$ to be the free (and hence projective) ${\displaystyle R}$-module generated by a generating set ${\displaystyle X}$ for ${\displaystyle M}$ (we can in fact take ${\displays$$Tyle X}$이(가) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 되도록 하십시오$$.$$그러면 표준 투영${\displaystyle }\pi {\displaystyle }$ : ${\displaystyle F}$→ M ${\displaystyle \pi \colon F\to M}$이(가) 필요한 추측이다.

콤팩트한 하우스도르프 공간의 범주에 있는 투영적인 물체는 정밀하게 극단적으로 분리된 공간이다.이 결과는 Gleason(1958)에 기인하며, 빗물(1959)에 의해 간략화된 증거가 제시되었다.

바나흐 공간과 수축(즉, 규범이 최대 1인 함수)의 범주에서 경구체는 정확하게 조밀한 이미지를 가진 지도들이다.Wiweger (1969) harvtxt 오류: no target: CATEREFWiweger1969 (도움말)는 0의 공간이 이 범주에서 유일한 투영 객체임을 보여준다.그러나 극소수의 공간이 있는데, 이것은 절망적인 수축의 종류에 관해서 투영적이다.수축이 있는 표준 벡터 공간 범주에서(그리고 "추출"으로서의 돌출 지도) 투사 물체는 정확하게 ${\displaystyle {l\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$ l$^{1}$-공간이다$$.^[5]

${\displaystyle l^{1}(S)=\{(x_{s})_{s\in S}\sum_{s\in s}<\fult \}}$

참조

외부 링크

'"projective object in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2017-10-17.