피셔 그룹 Fi22

집단 이론으로 알려진 현대 대수학의 영역에서, 피셔 그룹 Fi는₂₂ 산발적으로 단순한 질서의 그룹이다.

2¹⁷ · 3⁹ · 5² · 7 · 11 · 13

= 64561751654400

≈ 6×10¹³.

역사

fi는₂₂ 26개의 산발적인 그룹 중 하나로 3개의 피셔 그룹 중 가장 작은 그룹이다. 3개 변환 그룹을 조사하면서 Bernd Fischer(1971, 1976년)에 의해 도입되었다.

표현

Fischer 그룹₂₂ Fi는 그룹₆ PSU(2)의 이중 커버를 포인트 스태빌라이저와 함께 3개의 변환에 해당하는 3510 정점 그래프로 3위 동작을 한다. 또한 14080 포인트에서 2개의 3위 액션을 가지고 있으며, 외부 오토모프리즘에 의해 교환된다.

Fi는₂₂ 치수 78을 수정할 수 없는 실제 표현을 가지고 있다. 이 모드 3의 일체형 형태를 줄이면 3개의 요소로 이루어진 필드 위에 Fi의₂₂ 표현을 할 수 있는데, 고정 벡터의 1차원 공간에 의한 지분은 77차원 불가해한 표현이다.

완벽한₂₂ 3중 커버는 4개의 요소로 필드 위에 27차원을 표현할 수 없는 표현력을 가지고 있다. 이는 Fi가₂₂ E(2₆)의² 부분군이라는 사실에서 비롯된다. Fi의₂₂ 모든 일반 및 모듈형 문자표가 계산되었다. 히스앤화이트(1994)는 5모듈 문자표를, 노이스케(2007)는 2모듈과 3모듈 문자표를 찾았다.

Fi의₂₂ 오토모르피즘 그룹은 아기 몬스터 그룹에 순서 3의 요소를 집중시킨다.

일반화 몬스트러스 문샤인

콘웨이와 노튼은 1979년 논문에서 괴물에게만 국한된 것이 아니라 다른 그룹에서도 비슷한 현상이 발견될 수 있다고 제안했다. Larissa Queen과 다른 사람들은 산발적인 그룹의 치수의 단순한 조합으로부터 많은 Hauptmoduln의 확장을 구성할 수 있다는 것을 발견했다. Fi의₂₂ 경우, McKay-Thompson 시리즈는 T $T_{6A}(\tau )$ $T_{6A}(\tau )$ ( $T_{6A}(\tau )$ ) $T_{6A}(\tau )$ 이며 여기서 $T_{6A}(\tau )$ a(0) = 10(OEIS: A007254)을 설정할 수 있다.

{\based}j_{6A}(\tau )&=T_{6A}(\tau )+10\&={\big (}{\big (}{\tfrac {\eta (\tau )\,\eta (3\tau )}{\eta (2\tau )}}}{3}+2^{3}}{\big ᆨ \,\eta ᆩ}{\eta ᆪ \,\eta ᆫ}}{\big)}^{3}{\Big)}^{2}\\&, ={\Big ᆬ \,\eta ᆭ}{\eta ᆮ \,\eta ᆯ}}{\big)}^{2}+3^{2}{\big ᆰ \,\eta ᆱ}{\eta ᆲ \,\eta ᆳ}}{\big)}^{2}{\Big)}^{2}-4\\&, ={\frac{1}{q}}{2+10+79q+352q^.}+1431q^{3}+4160q^{4}+13015q^{5}+\cHB\end{aigned}}}

and(τ)는 데데킨드 에타 함수다.

최대 부분군

윌슨(1984)은 Fi의₂₂ 최대 하위집단의 12개 결합 클래스를 다음과 같이 발견했다.

2·U₆(2)
O₇(3) (2개 등급, 외부 자동형성에 의해 융합)
O⁺
₈(2):S₃
2¹⁰:M₂₂
2⁶:S₆(2)
(2 × 2¹⁺⁸):(U₄(2):2)
U₄(3):2 × S₃
²F₄(2)' (Tits 그룹)
2⁵⁺⁸:(S₃ × A₆)
3¹⁺⁶:2³⁺⁴:3²:2
S₁₀(외부 자동형성에 의해 융합된 2개 등급)
M₁₂

참조

Aschbacher, Michael (1997), 3-transposition groups, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 124, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511759413, ISBN 978-0-521-57196-8, MR 1423599 피셔의 정리에 대한 완전한 증거를 포함하고 있다.
Conway, John Horton (1973), "A construction for the smallest Fischer group F₂₂", in Shult, and Ernest E.; Hale, Mark P.; Gagen, Terrence (eds.), Finite groups '72 (Proceedings of the Gainesville Conference on Finite Groups, University of Florida, Gainesville, Fla., March 23–24, 1972.), North-Holland Mathematics Studies, vol. 7, Amsterdam: North-Holland, pp. 27–35, MR 0372016
Fischer, Bernd (1971), "Finite groups generated by 3-transpositions. I", Inventiones Mathematicae, 13 (3): 232–246, doi:10.1007/BF01404633, ISSN 0020-9910, MR 0294487 이것은 피셔가 그의 그룹들의 건설에 대한 사전 인쇄의 첫 부분이다. 논문의 나머지 부분은 미발표(2010년 기준)이다.
Fischer, Bernd (1976), Finite Groups Generated by 3-transpositions, Preprint, Mathematics Institute, University of Warwick
Hiss, Gerhard; White, Donald L. (1994), "The 5-modular characters of the covering group of the sporadic simple Fischer group Fi₂₂ and its automorphism group", Communications in Algebra, 22 (9): 3591–3611, doi:10.1080/00927879408825043, ISSN 0092-7872, MR 1278807
Noeske, Felix (2007), "The 2- and 3-modular characters of the sporadic simple Fischer group Fi₂₂ and its cover", Journal of Algebra, 309 (2): 723–743, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.06.020, ISSN 0021-8693, MR 2303203
Wilson, Robert A. (1984), "On maximal subgroups of the Fischer group Fi₂₂", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 95 (2): 197–222, doi:10.1017/S0305004100061491, ISSN 0305-0041, MR 0735364
Wilson, Robert A. (2009), The finite simple groups, Graduate Texts in Mathematics 251, vol. 251, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012
Wilson, R. A. ATLAS 유한 그룹 대표.

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