유한차계수

수학에서는 임의의 정확도 순서에 따라 파생물을 대략적으로 추정하기 위해 유한한 차이를 사용할 수 있다.유한한 차이는 중심, 전진 또는 후진일 수 있다.

중심 유한차이

이 표에는 몇 가지 정확도 순서와 균일한 그리드 간격에 대한 중심 차이의 계수가 수록되어 있다.^[1]

파생상품	정확도	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5
1	2					−1/2	0	1/2
	4				1/12	−2/3	0	2/3	−1/12
	6			−1/60	3/20	−3/4	0	3/4	−3/20	1/60
	8		1/280	−4/105	1/5	−4/5	0	4/5	−1/5	4/105	−1/280
2	2					1	−2	1
	4				−1/12	4/3	−5/2	4/3	−1/12
	6			1/90	−3/20	3/2	−49/18	3/2	−3/20	1/90
	8		−1/560	8/315	−1/5	8/5	−205/72	8/5	−1/5	8/315	−1/560
3	2				−1/2	1	0	−1	1/2
	4			1/8	−1	13/8	0	−13/8	1	−1/8
	6		−7/240	3/10	−169/120	61/30	0	−61/30	169/120	−3/10	7/240
4	2				1	−4	6	−4	1
	4			−1/6	2	−13/2	28/3	−13/2	2	−1/6
	6		7/240	−2/5	169/60	−122/15	91/8	−122/15	169/60	−2/5	7/240
5	2			−1/2	2	−5/2	0	5/2	−2	1/2
	4		1/6	−3/2	13/3	−29/6	0	29/6	−13/3	3/2	−1/6
	6	−13/288	19/36	−87/32	13/2	−323/48	0	323/48	−13/2	87/32	−19/36	13/288
6	2			1	−6	15	−20	15	−6	1
	4		−1/4	3	−13	29	−75/2	29	−13	3	−1/4
	6	13/240	−19/24	87/16	−39/2	323/8	−1023/20	323/8	−39/2	87/16	−19/24	13/240

예를 들어, 2차적 정확도를 갖는 세 번째 파생상품은

${\displaystyle f'''(x_{0})\approx {\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h_{x}^{3}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

여기서 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 각 유한 차이 간격 사이의 균일한 격자 간격을 나타내며$$, $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$0 + ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\$

For the ${\displaystyle m}$-th derivative with accuracy ${\displaystyle n}$, there are ${\displaystyle 2p+1=2\left\lfloor {\frac {m+1}{2}}\right\rfloor -1+n}$ central coefficients ${\displaystyle a_{-p},a_{-p+1},...,a_{p-1},a$$_{p}}$.이것들은 선형 방정식 시스템의 해법에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\pmatrix}1&1&#...&1&1\\-p&-p&-p+1&...&p-1&p\\(-p)^{2}&(-p+1)^{2}&...&(p-1)^{2}&p^{2}\\...&...&...&...&...&...\...&...&...&...&...&...&...\&...&...&...\\(-p)^{2p}&(-p+1)^{2p}&...&(p-1)^{2p}&p^{2p}\end{pmatrix}{pmatrix}}{\\\\\\{-p+1}\a_{-p+1}\a_{-p+2}\\\\\...\\...\\...\\a_{p}\end{pmatrix}={\pmatrix}0\\0\\\\\\\...\\m!\\...\0\end{pmatrix},}$

여기서 우측의 0이 아닌 유일한 값은${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{m}}$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle (m+1)}$ -번째$$ 행에 있다.

임의 유도체의 유한 차이 계수 및 정확도 순서를 하나의 차원으로 계산하기 위한 오픈 소스 구현이 가능하다.^[2]

전방 유한차

이 표에는 몇 가지 정확도 순서와 균일한 그리드 간격에 대한 전방 차이의 계수가 수록되어 있다.^[1]

파생상품	정확도	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	−1	1
	2	−3/2	2	−1/2
	3	−11/6	3	−3/2	1/3
	4	−25/12	4	−3	4/3	−1/4
	5	−137/60	5	−5	10/3	−5/4	1/5
	6	−49/20	6	−15/2	20/3	−15/4	6/5	−1/6
2	1	1	−2	1
	2	2	−5	4	−1
	3	35/12	−26/3	19/2	−14/3	11/12
	4	15/4	−77/6	107/6	−13	61/12	−5/6
	5	203/45	−87/5	117/4	−254/9	33/2	−27/5	137/180
	6	469/90	−223/10	879/20	−949/18	41	−201/10	1019/180	−7/10
3	1	−1	3	−3	1
	2	−5/2	9	−12	7	−3/2
	3	−17/4	71/4	−59/2	49/2	−41/4	7/4
	4	−49/8	29	−461/8	62	−307/8	13	−15/8
	5	−967/120	638/15	−3929/40	389/3	−2545/24	268/5	−1849/120	29/15
	6	−801/80	349/6	−18353/120	2391/10	−1457/6	4891/30	−561/8	527/30	−469/240
4	1	1	−4	6	−4	1
	2	3	−14	26	−24	11	−2
	3	35/6	−31	137/2	−242/3	107/2	−19	17/6
	4	28/3	−111/2	142	−1219/6	176	−185/2	82/3	−7/2
	5	1069/80	−1316/15	15289/60	−2144/5	10993/24	−4772/15	2803/20	−536/15	967/240

예를 들어 제3차 정확도를 가진 제1차 파생상품과 제2차 정확도를 가진 제2차 파생상품은 다음과 같다.

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3}{2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\대략 \frac {2f(x_{0}-f(x_{+1})+4f(x_{+2})-f(x_{+3}}}}}}{h_{x}^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}오른쪽)}}}$

그에 상응하는 역행 근사치가 다음과 같이 주어지는 동안

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\대략 \frac {2f(x_{0}-1}-1}+4f(x_{-2})-f(x_{-3}}}}}}}}{h_{x}^{2}}}}}}}}}}}+O\좌(h_{x}^{x}}}}}}{2}우)}}}}}}}우)},}}}}}}}}}$

후진 유한차

일반적으로 후진 근사치의 계수를 구하려면 표에 나열된 모든 홀수 파생상품에 반대 기호를 부여하되, 파생상품의 경우에도 기호는 동일하게 유지한다.다음 표는 이를 설명한다.^[3]

파생상품	정확도	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0
1	1								−1	1
	2							1/2	−2	3/2
	3						−1/3	3/2	−3	11/6
2	1							1	−2	1
	2						−1	4	−5	2
3	1						−1	3	−3	1
	2					3/2	−7	12	−9	5/2
4	1					1	−4	6	−4	1
	2				−2	11	−24	26	−14	3

임의 스텐실 점

모델 d < N {\$displaystyle$ \displaystyle N$}$의$특정$ 임의 $스텐실$ 포인트 s {\$displaystyle$s$}$에 대해 선형 $방정식을 풀어서$ $유한$ 차이 계수를 수 있다

${\displaystyle {\begin{pmatrix}s_{1}^{0}&\cdots &s_{N}^{0}\\\vdots &\ddots &\vdots \\s_{1}^{N-1}&\cdots &s_{N}^{N-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}=d!{\begin{pmatrix}\delta _{0,d}\vdots \\\\delta _{n-1,d}\end{pmatrix},}$

여기서 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 크론커 델타인데,${\displaystyle }i{\displaystyle }$ = ${\displaystyle j}${\$displaystyle i=j}$, 그 밖의 경우에는 0과 같다.

예: $s{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$의 경우$,$ d = 4 {\$displaystyle$ s$=[-3,-2,-1,0,1$ 분화 순서 $d{\displaystyle }$ = ${\displaystyle d=4}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\a_{5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\-3&-2&-1&0&1\\9&4&1&0&1\\-27&-8&-1&0&1\\81&16&1&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\24\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-4\\6\\-4\\1\end{pmatrix}}.}$

근사치의 정확도 순서는 통상적인 형태 $O{\displaystyle }$( ${\displaystyle h^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$( N${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle d^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$) ${\$를 취한다$.$^{[citation needed]}

참고 항목

• 유한차법
• 유한차이
• 오점 스텐실
• 수치분화

참조