원시 부분 및 내용

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대수학에서 정수 계수가 있는 다항식(또는 보다 일반적으로 고유 인자화 영역에 계수가 있는 다항식)의 내용은 그 계수의 가장 큰 공통점이다.그러한 다항식의 원시적인 부분은 그 내용에 의한 다항식의 몫이다.따라서 다항식은 원시 부분과 그 함량의 산물이며, 이 인자화는 계수의 고리 단위에 의한 내용물의 곱셈(그리고 원시 부분의 곱셈은 단위의 역에 의한 곱셈)에 따라 독특하다.

다항식은 내용이 1이면 원시적이다.따라서 다항식의 원시 부분은 원시 다항식이다.

가우스의 다항식 보조정리에서는 원시 다항식(동일한 고유 인자화 영역에 계수가 있는)의 산물도 원시적이라고 밝히고 있다.이는 두 다항식의 산물의 내용과 원시 부분이 각각 내용물의 산물이며 원시 부분의 산물임을 암시한다.

최대 공통분포의 연산이 일반적으로 다항식 인자화보다 훨씬 쉽기 때문에 다항식 인자화 알고리즘의 첫 번째 단계는 일반적으로 원시 부품-함량 인자화의 연산이다(다항식 § 원시 부품-함량 인자화 참조).그러면 내용물과 원시 부분을 따로따로 인수하기 위해 인자화 문제가 줄어든다.

내용 및 원시 부분은 합리적인 숫자에 대한 다항식 및 보다 일반적으로 고유한 인자화 영역의 분수 영역에 대한 다항식으로 일반화될 수 있다.이것은 본질적으로 가장 큰 공통점 계산과 정수에 대한 다항식 및 합리적인 수에 대한 다항식의 인자화 문제를 동등하게 만든다.

정수를 넘어서.

정수 계수가 있는 다항식의 경우, 함량은 계수의 최대 공통점 또는 가법 역분할 수 있다.선택은 임의적이며, 원시 부분의 선행 계수가 양수인 추가 관례에 따라 달라질 수 있다.

예를 들어 -${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle \mathrm{30}}$ x${\displaystyle }$- ${\displaystyle 20}$ ${\displaystyle -12x^{3}+30x-20}$의 내용은 –12, 30 및 -20의 가장 큰 공통점이기 때문에 2 또는 –2일 수 있다$$.2를 콘텐츠로 선택하면 이 다항식의 원초적인 부분은

${\displaystyle -6x^{3}+15x-10={\frac {-12x^{3}+30x-20}{2}},}$

-따라서 원시-부분-내용 요소화는

${\displaystyle -12x^{3}+30x-20=2(-6x^{3}+15x-10).}$

심미적인 이유로 사람들은 종종 부정적인 내용을 선택하는 것을 선호한다. 여기서 –2는 원시-부분-내용 요소화를 제공한다.

${\displaystyle -12x^{3}+30x-20=-2(6x^{3}-15x+10)}$

특성.

이 글의 나머지 부분에서는 일반적으로 정수의 링이 될 수 있는 고유한 요인화 영역 R보다 다항식 또는 필드 위의 다항식 링을 고려한다.R에서 가장 큰 공통점들은 잘 정의되며, R의 단위에 의해 곱셈에 따라 고유하다.

R에 계수가 있는 다항식 P의 내용 c(P)는 계수의 가장 큰 공통점이며, 따라서 단위에 의해 곱셈까지 정의된다.P의 원시 부분 pp(P)는 그 내용에 의한 P의 지수 P/c(P)이다. R에 계수가 있는 다항식이며, 단위에 의한 곱셈까지 고유하다.단위 u에 의한 곱셈에 의해 내용이 변경되는 경우, 평등을 유지하기 위해서는 원초적인 부분을 같은 단위로 나누어 변경해야 한다.

${\displaystyle P=c(P)\operatorname {pp}(P),}$

이를 P의 원시-부분-내용 인자화라고 한다.

내용과 원시 부분의 주요 특성은 가우스의 보조정리 결과인데, 두 원시 다항식의 산물이 원시적이라고 주장하는데, 다항식은 1이 계수의 가장 큰 공통점일 경우 원시적이다.이는 다음을 암시한다.

• 다항식 제품의 내용은 그 내용의 제품이다.

${\displaystyle c(P_{1}P_{2})=c(P_{1}c(P_{2}).}$

• 다항식 산물의 원시 부분은 원시 부분의 산물이다.

${\displaystyle \operatorname {pp}(P_{1}P_{2})=\operatorname {pp}(P_{1})\operatorname {pp}(P_{2}).}$

• 다항식의 최대 공통점(R)의 내용은 해당 내용 중 최대 공통점(R)이다.

${\displaystyle c(\operatorname {gcd})(P_{1},P_{2})=\operatorname {gcd}(c(P_{1}),c(P_{2}).}$

• 다항식 최대 공통점(R)의 원시 부분은 원시 부분의 최대 공통점(R)이다.

${\displaystyle \operatorname {pp}(\operatorname {gcd})(P_{1},P_{2})=\operatorname {gcd}(\operatorname {pp}(P_{1}),\operatorname {pp}(P_{2}).}$

• R에 대한 다항식의 완전한 인자화는 내용의 인자화(R)와 원시 부분의 인자화(다항 링)의 산물이다.

마지막 속성은 다항식의 원시-부분-내용 인자화 연산을 통해 내용 및 원시 부분의 별도 인자화 연산으로 완전한 인자화 연산을 감소시킨다는 것을 암시한다.이것은 일반적으로 흥미로운데, 주요 부분-내용 요소화의 계산은 R에서 가장 큰 공통 분자 연산만을 포함하기 때문이다. 이는 보통 요소화보다 훨씬 쉽다.

이성을 넘어서.

원시-부분-내용 인자화는 다음과 같이 합리적인 계수를 갖는 다항식까지 확장될 수 있다.

합리적인 계수를 가진 다항식 P가 주어진다면, 동일한 공통분모 d로 그 계수를 다시 쓰면서 P를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle P={\frac {Q}{d}},}$

여기서 Q는 정수 계수를 갖는 다항식이다.P의 내용은 Q의 내용 d에 의한 지수 즉,

${\displaystyle c(P)={\frac {c(Q)}{d},}$

P의 원초적인 부분은 Q의 원초적인 부분이다.

${\displaystyle \operatorname {pp}(P)=\operatorname {pp}(Q)}$

이 정의는 공통분모의 선택에 좌우되지 않으며, 원시-부분-내용 요소화가 유효하다는 것을 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle P=c(P)\operatorname {pp}(P).}$

이것은 이성보다 모든 다항식이 정수에 대한 고유한 원시 다항식과 연관되어 있고, 유클리드 알고리즘이 이 원시 다항식의 연산을 허용하고 있음을 보여준다.

그 결과 이성보다 다항식을 고려하는 것은 정수에 대한 원시 다항식을 고려하는 것과 같다.필드에 계수가 있는 다항식이 정수 계수가 있는 다항식보다 더 일반적이기 때문에, 이 동등성은 정수 계수가 있는 다항식을 인수하는 데 사용될 수 있다.사실, 진실은 정반대다. 합리적인 계수를 가진 다항식 인자를 고려하기 위해 알려진 모든 효율적인 알고리즘은 이 동등성을 문제 p의 일부 소수 p를 줄이기 위해 사용한다(다항식의 인자화 참조).

유클리드 알고리즘은 합리적인 계수를 가진 다항식에 대해 정의되지만, 이 동등성은 다항식의 최대 공통점 계산에도 사용된다.실제로 이 경우 유클리드 알고리즘은 많은 분수의 감소된 형태를 계산해야 하며, 이로 인해 유클리드 알고리즘은 정수에 대한 다항식만 사용하는 알고리즘보다 효율성이 떨어진다(다항식 최대 공통점 참조).

분수계 이상

정수의 링과 이성계의 필드가 각각 고유한 인수 영역 R과 그 분수 K 필드로 대체되는 경우 앞 절의 결과는 유효하다.

이것은 일반적으로 다변량 다항식을 인수하는 데 사용되며, 고유한 인수화 도메인 위에 있는 다항식 링도 고유한 인수화 도메인임을 증명하는 데 사용된다.

다항식 링의 고유 인자화 특성

필드 위의 다항식 링은 고유한 요인화 도메인이다.고유한 요인화 영역을 넘는 다항식 링도 마찬가지다.이를 증명하기 위해서는 일반적으로 불연속자의 수에 대한 재발로 추론될 수 있기 때문에 일변량 사례를 고려하는 것으로 충분하다.

고유한 요인화 특성은 유클리드 보조정리 결과의 직접적인 결과:돌이킬 수 없는 요소가 제품을 나누면 그 요소들 중 하나를 나눈다.필드 위에 있는 일변량 다항식의 경우, 이것은 그 자체가 유클리드 알고리즘에서 비롯되는 베주트의 정체성에서 비롯된다.

그러므로, R은 필드가 아닌 고유한 인자화 도메인이 되고, R에 대한 일변량 다항식 링은 R[X]이 되도록 한다.R[X]의 R(Rreducible lement r)은 R(R)의 R(Rreducible led) 원소 또는 R[X]의 R(Reduccible led) 원시 다항식이다.

If r is in R and divides a product ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ of two polynomials, then it divides the content ${\displaystyle c(P_{1}P_{2})=c(P_{1})c(P_{2}).$$}$ 따라서$$ 유클리드(Eucleid)의 R의 보조정리(remema)에 의해 내용 중 하나를 나누게 되고, 따라서 다항식 중 하나를 나눈다.

r이 R이 아니라면 원시 다항식(reducable)이다(reduccessible이기 때문이다.그러면 유클리드의 R[X] 내 보조정리기는 K[X] 내 유클리드의 보조정리로부터 바로 결과가 나오는데, 여기서 K는 R의 분수 분야다.

다변량 다항식의 인자화

필드 또는 정수에 걸쳐 다변량 다항식을 인수하는 경우, 불확도가 한 개 적은 다항 링에 계수가 있는 일변량 다항식으로 간주할 수 있다.그러면 원초적인 부분과 내용을 따로따로 인자화하도록 인자가 줄어든다.내용이 한 가지 덜 불확실한 만큼, 그 방법을 재귀적으로 적용하여 인수할 수도 있다.원시 부분을 인자화하기 위해, 표준 방법은 나머지 변수의 정도를 변경하지 않는 방법으로 계수의 불분수에 정수를 대입하고, 그 결과 일변량 다항식을 인자화하며, 그 결과를 원시 부분의 인자화로 끌어올리는 것으로 구성된다.

참고 항목

• 합리적 뿌리 정리

참조

• B. Hartley; T.O. Hawkes (1970). Rings, modules and linear algebra. Chapman and Hall. ISBN 0-412-09810-5.
• 181페이지
• David Sharpe (1987). Rings and factorization. Cambridge University Press. pp. 68–69. ISBN 0-521-33718-6.