젠센 공식

복잡한 분석으로 알려진 수학 분야에서는 요한 젠센(1899년)이 도입한 젠센의 공식은 원의 분석함수의 평균 크기를 원 안에 있는 0의 숫자와 연관시킨다.그것은 전체 기능을 연구하는 데 있어서 중요한 진술을 형성한다.

성명서

ƒ은 원점, a₁, a₂, ...에_n 대한 반경 r의 폐쇄디스크 D를 포함하는 복합평면의 한 지역에서 다중성에 따라 반복되는 ƒ 내부의 ƒ의 0이고, ƒ(0)≠ 0이라고 가정한다. 젠슨의 공식에는 다음과 같이 기술되어 있다.

${\displaystyle \log f(0) =\sum \sum \{k=1}^{n}\log \left\frac {a_{k}}{r}\}\pi }\{0}^{2\pi }int _{0}^{i\ta}\}\deta.}}$

이 공식은 디스크 D 내부에 있는 함수 ƒ의 0의 모듈리와 경계 원 z = r의 로그 f(z)의 평균 사이의 연결을 설정하며, 고조파 함수의 평균값 속성의 일반화로 볼 수 있다.즉, f가 D에 0이 없다면, 젠슨의 공식은 다음과 같이 줄어든다.

${\displaystyle \log f(0) ={\frac {1}{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\log f(re^{i\ta }) \d\theta ,}$

이 값은 고조파 함수 ${\displaystyle \mathrm{로그}}$의 평균 값 속성 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle z}$) $displaystyle \log f(z) }$ 입니다$.$

자주 쓰이는 젠센의 공식에 대한 등가문장은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }\{0}^{2\pi }\log f(re^{i\ta }) \;d\d\t} \d\d\t} \d\\\\d} \d\\\t}\;d}\;d} \;;;;;d}\;d} \;d} \;;;;d} \;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;$

여기서 $n{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle n(t)}$은 원점을 중심으로$$ $반경$ t ${\displaystyle$ t$} 디스크$에 있는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 0 수를 나타낸다.

Jensen의 공식은 D에서 단지 meromphic인 함수에 대해 일반화될 수 있다.즉, 다음과 같이 가정한다.

${\displaystyle f(z)=z^{l}{\frac {g(z)}{h(z)}},}$

where g and h are analytic functions in D having zeros at ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {D} \setminus \{0\}}$ and ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{m}\in \mathbb {D} \setminus \{0\}}$ respectively, then Jensen's formula for meromorphic functions sta그것을 테조로 삼다.

${\displaystyle \log \left {\frac {g(0)}{h(0)}}\right =\log \left r^{m-n}{\frac {a_{1}\ldots a_{n}}{b_{1}\ldots b_{m}}}\right +{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log f(re^{i\theta }) \,d\theta .}$

Jensen의 공식은 원 안의 분석함수의 0의 수를 추정하는 데 사용될 수 있다.즉, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) z를₀ 중심으로 한 반지름 R의 디스크에서 함수 분석이고, ${\displaystyle f}${\$displaystyle \ f\}$이(가) 해당 디스크의 경계에서 M으로 경계되는$$ 경우, 동일한 지점₀ z를 중심으로 한 반지름 r < R의 원에 $있는$ f ${\displaystystyle f}$의 0의 수는 초과하지 않는다.

${\displaystyle {\frac {1}{\log(R/r)}}}\log {\frac {M}{f(z_{0})}}.}$

Jensen의 공식은 전체와 용적함수의 가치분포를 연구하는 데 있어서 중요한 진술이다.특히 네반린나 이론의 출발점이다.

포아송-옌센 공식

옌센의 공식은 보다 일반적인 포아송-옌센 공식의 결과로서, 뫼비우스 변환을 z에 적용함으로써 옌센의 공식으로부터 차례로 따르게 된다.그것은 Rolf Nevanlinna에 의해 소개되고 이름이 지어졌다.f가 단위 디스크 내부에₁ 0, a₂, ...이 있는_n 단위 디스크에서 분석적인 함수인 경우, 단위 디스크에서$$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ e ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\$0}e^{$i$\jensi_${0}}}}}}}}$에 대해 포아송-옌센 공식은 다음과 같이 명시되어 있다.

${\displaystyle \log f(z_{0}) =\sum _{k=1}^{n}\log \left {\frac {z_{0}-a_{k}}{1-{\bar {a}}_{k}z_{0}}}\right +{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log f(e^{i\theta }) \,d\theta .}$

여기,

${\displaystyle P_{r}(\omega )=\sum _{n\in \mathb {Z}}}r^{n }e^{in\omega }}}}}}$

단위 디스크의 포아송 커널이다.함수 f에 단위 디스크에 0이 없는 경우, 포아송-젠센 공식은 다음과 같이 감소한다.

${\displaystyle \log f(z_{0}) ={\frac {1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }P_{r_{0}(\varphi _{0}-\theta )\log f(e^{i\ta }}) \d\ta ,}$

즉, 고조파 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ 로그${\displaystyle \mathrm{for}}$ f ( z ) $displaystyle \log f(z) }$에 대한 포아송 공식이다$.$

참조

• Ahlfors, Lars V. (1979), Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, International Series in pure and applied Mathematics (3rd ed.), Düsseldorf: McGraw–Hill, ISBN 0-07-000657-1, Zbl 0395.30001
• Jensen, J. (1899), "Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions", Acta Mathematica (in French), 22 (1): 359–364, doi:10.1007/BF02417878, ISSN 0001-5962, JFM 30.0364.02, MR 1554908
• Ransford, Thomas (1995), Potential theory in the complex plane, London Mathematical Society Student Texts, vol. 28, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-46654-7, Zbl 0828.31001