거의 주기함수

수학에서 거의 주기적인 함수는, 느슨하게 말하면, 적절히 길고 잘 분포된 "대부분의 주기"를 주어진, 원하는 정확도 수준 내에서 주기적인 실제 수의 함수다. 이 개념은 하랄드 보어에 의해 처음 연구되었고 후에 비야체슬라프 스테파노프, 헤르만 바일, 아브람 사모일로비치 베시코비치 등이 일반화되었다. 존 폰 노이만이 처음 연구한 지역적으로 콤팩트한 아벨리아 그룹에도 거의 주기적인 기능의 개념이 있다.

거의 주기성은 위상 공간을 통해 자신의 경로를 역추적하는 것처럼 보이는 역동적인 시스템의 속성이지만, 정확히 그렇지는 않다. 예를 들어, 궤도에 있는 행성들이 비례할 수 없는 기간들과 함께 이동하는 행성계가 있을 것이다. 디오판틴 근사치에서 크론커의 정리는 한번 일어나는 어떤 특정한 구성이 어떤 특정한 정확도 이내로 재발한다는 것을 보여주기 위해 사용될 수 있다: 우리가 충분히 오래 기다리면 우리는 행성이 모두 원호의 1초 이내에 그들이 한때 있던 위치로 되돌아간다.

동기

거의 주기적인 기능에 대한 몇 가지 불공평한 정의가 있다. 첫번째는 하랄드 보어(Harald Bohr)에 의해 주어졌다. 그의 관심은 처음에는 유한 디리클레 시리즈에 있었다. 실제로 리만제타 함수 ζ(s)를 유한하게 하기 위해 시리즈를 잘라냄으로써 유한한 형태의 항을 얻게 된다.

${\displaystyle e^{(\displayma +it)\log n}\,}$

( s + it) – 실제 부분 σ과 상상의 부분의 합을 ( with + it. σ을 고정하여, 복잡한 평면의 단일 수직선에 주의를 제한하는 것, 이것 또한 다음과 같이 볼 수 있다.

${\displaystyle n^{\displayma }e^{(\log n)it}.\,}$

그러한 용어들의 유한한 합을 취하면 그 지역에 대한 분석적 지속의 어려움을 피할 수 있다. < < 1. 여기서 '주파수' 로그 n은 모두 동일하지는 않을 것이다(정수 n이 복수적으로 독립적이기 때문에 합리적인 숫자에 대해 선형적으로 독립적이며, 이는 주요 인자로 귀결된다).

독립적인 주파수를 갖는 삼각 다항식의 유형을 고려하려는 이러한 초기 동기로, 수학적 분석을 적용하여 이 기본 기능들의 집합의 폐쇄를 다양한 규범에서 논의하였다.

이 이론은 1920년대와 1930년대에 베시코비치, 스테파노프, 웨일, 폰 노이만, 튜링, 보치너 등에 의해 다른 규범을 이용하여 개발되었다.

균일함수 또는 보어 또는 보치너(Bochner)가 거의 주기적인 기능

보어(1925년)^[1]는 균일 규범에 대해 삼각 다항식의 폐쇄로 균일하게 거의 주기적인 기능을 정의했다.

${\displaystyle \ f\ _{\infit }=\supp_{x}f(x) }$

(R의 경계 함수 f) 즉, 함수 f는 거의 주기적인 것으로서, 만약 매 > > 0에 대해 균일한 규범과 관련하여 f로부터 ε 이하의 거리에 있는 사인파와 코사인파의 유한한 선형 결합이 존재한다면, 기능 f는 거의 주기적인 것이다. 보어는 이 정의가 모든 ε > 0: 즉, 변수 t making의 번역 T(ε) = T에 대해 비교적 밀도 높은 ε 근주기 집합의 존재와 동등하다는 것을 증명했다.

$\displaystyle \왼쪽 f(t+T)-f(t)\오른쪽 <\varepsilon .}$

보치너(1926년)로 인한 대체 정의는 보어(Bohr)와 동일하며 비교적 간단하게 다음과 같이 진술할 수 있다.

f 번역의 모든 시퀀스 {ssu(t + T_n)가 t에 대해 균일하게 수렴되는 시퀀스(-discuit, +ti)를 갖는 경우 함수 f는 거의 주기적이다.

거의 주기적인 보어 함수는 본질적으로 실제의 보어 콤팩트화에 대한 연속적인 함수와 동일하다.

스테파노프 거의 주기적인 함수

스테파노프의 공간 S는^p V.V.에 의해 거의 주기적인 기능(p ≥ 1의 경우)이 도입되었다. 스테파노프(1925).^[2] 그것은 보어의 거의 주기적인 기능을 포함하고 있다. 그것은 규범에 따른 삼각 다항식의 폐쇄다.

${\displaystyle \ f\ _{S,r,p}=\sup _{x}\왼쪽({1 \over r}\int _{x}^{x+r} f(s) ^{p}\\,ds\right)^{1/p}}}}$

r의 고정된 양의 값에 대해; r의 다른 값에 대해, 이 규범들은 동일한 위상과 거의 주기적인 함수의 동일한 공간을 제공한다. (그러나 이 공간에 대한 규범은 r의 선택에 달려 있다.)

Weyl 거의 주기적인 함수

Weyl의 공간^p W는 Weyl(1927년)에 의해 거의 주기적인 함수(p ≥ 1의 경우)가 도입되었다.^[3] 거의 주기적인 함수의 S공간을 포함하고 있다^p. 세미노름 아래 삼각 다항식 폐쇄다.

${\displaystyle \f\ _{W,p}=\lim _{r\to \f\}\{S,r,p}}$

경고: 콤팩트 서포트(compact support)의 경계 함수처럼 ƒ = 0인 비제로 함수가 있으므로 바나흐 공간을 얻으려면 이러한 함수에 의해 지수를 구해야 한다.

베시코비치 거의 주기적 함수

베시코비치(Besicovitch)^[4]의 공간 B는^p 베시코비치(1926년)에 의해 도입되었다. 세미노름 아래 삼각 다항식 폐쇄다.

${\displaystyle \f\ _{B,p}=\limsup _{x\to \ft }\{x}\int_{-x}^{x}f ^{p}\}\{p}}}{p}}}}{p}}}}}}}}}$

경고: 콤팩트 서포트(compact support)의 경계 함수처럼 ƒ = 0인 비제로 함수가 있으므로 바나흐 공간을 얻으려면 이러한 함수에 의해 지수를 구해야 한다.

B의² Besicovitch 거의 주기적인 함수는 (필수적으로 수렴되는 것은 아님) 확장성을 가진다.

${\displaystyle \sum a_{n}e^{i\lambda _{n}t}}$

유한한 σa와 진짜인_n reala와 함께. 반대로 그러한 모든 시리즈는 일부 베시코비치 주기 함수의 확장이다(독특하지 않다).

베시코비치(Besicovitch)의 거의 주기적 함수(p ≥ 1)의 공간 B는^p 거의 주기적 함수의 공간 W를^p 포함한다. 만약 하나의 인용구가 "null" 함수의 하위 공간을 계산한다면, 그것은 리얼의 Bohr compactivation에 있는^p L 함수의 공간과 동일할 수 있다.

지역적으로 콤팩트한 아벨리아 그룹에서 거의 주기적인 기능

이러한 이론적 발전과 추상적 방법(피터-와일 정리, 폰트랴긴 이원화, 바나흐 알헤브라스)의 출현으로 일반적인 이론이 가능해졌다. 국소적으로 콤팩트한 아벨리아 그룹 G와 관련하여 거의 주기적인 개념은 L^∞(G)에서 F 함수의 개념으로 되어 G에 의해 해석되어 상대적으로 콤팩트한 집합이 된다. 동등하게, 거의 주기적인 함수의 공간은 G의 유한한 선형 조합의 표준 닫힘이다. G가 압축된 경우 거의 주기적인 함수는 연속함수와 동일하다.

G의 보어 콤팩트화(Bohr compactization)는 G의 이중 그룹의 모든 불연속 문자들로 이루어진 콤팩트한 아벨 그룹이며, G를 밀집된 하위 그룹으로 포함하는 콤팩트 그룹이다. G에 대한 거의 주기적인 기능의 공간은 G의 Bohr 압축에 대한 모든 연속적인 기능의 공간으로 식별할 수 있다. 보다 일반적으로 Bohr 압축은 모든 위상학적 그룹 G에 대해 정의될 수 있으며, Bohr 압축에 대한 연속적인 또는 L^p 함수의 공간은 거의 주기적인 펑티로 간주할 수 있다.젠체하는 사람 국소 콤팩트한 연결 그룹 G의 경우 G에서 보어 콤팩트화까지의 맵은 G가 콤팩트 그룹의 중심 확장인 경우 또는 동등하게 콤팩트 그룹과 유한 차원 벡터 공간의 산물인 경우에만 주입된다.

오디오 및 음악 합성에서의 Quasiperiodic 신호

음성 처리, 오디오 신호 처리, 음악 합성에서 준조화 신호라고도 불리는 퀘이퍼다이오드 신호는 사실상 주기적인 파형이지만 반드시 주기적인 것은 아니다. 이것은 그 이름의 위키백과 기사의 의미에서 퀘이퍼다이오드 함수를 제공하는 것이 아니라, 거의 주기적인 함수와 유사한 것으로서, 어떤 한 기간이 그것의 인접 기간과 사실상 동일하지만 더 먼 시간에 있는 기간과 반드시 유사하지는 않은 거의 주기적인 함수다. 모든 부분 또는 오버톤이 조화(모든 오버톤이 톤의 기본 주파수의 정수 배수인 주파수)인 음악 톤(초기 공격 과도 후)의 경우가 이에 해당한다.

신호 $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\$가) 주기 $P{\displaystyle }$ ${\$P$\ }$과(와$)$ 완전히 주기적인 경우 신호가$$ 정확히 충족됨

$\displaystyle x(t)=x(t+P)\qquad \forall t\in \mathb {R}}$

또는

${\displaystyle {\Big }x(t)-x(t+P){\빅 }=0\qquad \forall t\in \mathb {R} .\ }$

푸리에 시리즈 표현은

${\displaystyle x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\inf}{n}\cos(2\pi nf_{0}t)-{n}\sin(2\pi nf_{0}t){\big ]}}}}$

또는

${\displaystyle x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\r_{n}\cos(2\pi nf_{0}t+\varphi _{n}}}}}$

여기서 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \frac{1}{}}$ P ${\$은(는) 기본 주파수이며$$ 푸리에 계수는

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{P}\int _{t_{0}^{0}+Px(t)\,dt\}}$

${\displaystyle a_{n}=r_{n}\cos \left(\varphi _{n}\right)={\frac {2}{P}\{0}^{0}+Px(t)\cos(2\pi nf_{0}t)\d\quad n\geq 1}}}}$

${\displaystyle b_{n}=r_{n}\sin \left(\varphi _{n}\right)=-{\frac {2}{P}\int_{0}^{0}+Px(t)\sin(2\pi nf_{0}t)\,dt\}}}$

여기서 t ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle t_{0}\$}은(는) 든지 될 수 있다$$: - < < + < $#\$ -$\\infit <t_{0}<+\fty \$

The fundamental frequency ${\displaystyle f_{0}\ }$, and Fourier coefficients ${\displaystyle a_{n}\ }$, ${\displaystyle b_{n}\ }$, ${\displaystyle r_{n}\ }$, or ${\displaystyle \varphi _{n}\ }$, are constants, i.e. they are not functions of time. 고조파 주파수는 기본 주파수의 정확한 정수 배수다.

${\displaystyle x}$( t${\displaystyle }$) ${\$이(가) quasiperiodic이면

${\displaystyle x(t)\cHB(}t+P(t){\big )}\ }$

또는

${\displaystyle {\Big }x(t)-x{\big(}t+P(t){\big ){\Big }{\Big }<\varepsilon \ \}$

어디에

${\displaystyle 0<\epsilon \ll {\big \Vert }x{\big \Vert }={\sqrt {\overline {x^{2}}}}={\sqrt {\lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{-\tau /2}^{\tau /2}x^{2}(t)\,dt}}.\ }$

이제 푸리에 시리즈는

${\displaystyle x(t)=a_{0}(t)\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}(t)\cos \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)-b_{n}(t)\sin \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)\right]}$

또는

${\displaystyle x(t)=a_{0}(t)\\sum _{n=1}^{\n_{n}(t)\cos \left(2\pi n\int _{0}^{0}f_{0}(\tau )\,d\\\tau + {n}t(t)\rig)\right}$

또는

${\displaystyle x(t)=a_{0}(t)+\sum _{n=1}^{\infit }r_{n}(t)\cos \left(2\pi \int_{0}{0}f_{n}(\tau )\,d\tau +\n(0)\rig)\rig)}$

여기서 ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{P}{}}$( t${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\$은(는) 가능한 시간 변수의 기본 주파수이며 시간 변수의 푸리에 계수는 다음과 같다.

${\displaystyle a_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}\int_{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2x(\tau )\,d\tau \}}}$

${\displaystyle a_{n}(t)=r_{n}(t)\cos {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}={\frac {2}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\cos {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau {\big )}\,d\tau \qquad n\geq 1}$

${\displaystyle b_{n}(t)=r_{n}(t)\sin {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}=-{\frac {2}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\sin {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau {\big )}\,d\tau \ }$

각 부분의 순간 주파수는

${\displaystyle f_{n}(t)=nf_{0}(t)+{\frac {1}{2\pi }}}\varphi _{n}^{\prime }(t).\,}$

Whereas in this quasiperiodic case, the fundamental frequency ${\displaystyle f_{0}(t)\ }$, the harmonic frequencies ${\displaystyle f_{n}(t)\ }$, and the Fourier coefficients ${\displaystyle a_{n}(t)\ }$, ${\displaystyle b_{n}(t)\ }$, ${\$$displaystyle r_{n}($${\displaystyle t}$$)\$ 또는 ${\displaystyle {\phi n}_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\$은(는) 반드시 일정하지$$ 않으며, 시간의 함수가 느리게 변화하더라도 시간의 함수다. 다르게 명시된 이러한 시간 함수는 $x{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$t${\displaystyle }$) ${\$이(가) quasiperiodic으로 간주될$$ 수 있는 기본 주파수보다 훨씬 적은 주파수로 제한된다.

${\displaystyle \mathrm{부분}}$ 주파수 ${\displaystyle f_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\$은(는) 거의 고조파이지만$$ 꼭 그렇지는 않다. The time-derivative of ${\displaystyle \varphi _{n}(t)\ }$, that is ${\displaystyle \varphi _{n}^{\prime }(t)\ }$, has the effect of detuning the partials from their exact integer harmonic value ${\displaystyle nf_{0}(t)\ }$. A rapidly changing ${\displa$$ystyle \varphi _{n}(t)\}$은(는) 해당 부분에 대한 순간 주파수가 정수 고조파 값에서 심각하게 분리됨을 의미하며$$, 이는 $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\$가) quasiiodic이 아님을$$ 의미한다.

참고 항목

• 퀘이페리오다이오드 함수
• 주기함수
• 퀘이페리오디컬 타일링
• 푸리에 시리즈
• 가법합성
• 하모니 시리즈(음악)
• 컴퓨터 음악

참조

참고 문헌 목록

• Amerio, Luigi; Prouse, Giovanni (1971), Almost-periodic functions and functional equations, The University Series in Higher Mathematics, New York–Cincinnati–Toronto–London–Melbourne: Van Nostrand Reinhold, pp. viii+184, ISBN 0-442-20295-4, MR 0275061, Zbl 0215.15701.
• A.S. Besicovitch, "Almost period functions", Cambridge Univ. 누름(1932년)
• Bochner, S. (1926), "Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen", Math. Annalen, 96: 119–147, doi:10.1007/BF01209156
• S. Bochner와 J. von Neumann, "2그룹의 거의 주기적 함수" Trans. 아머. 수학. Soc. 37 no. 1(1935) 페이지 21-50
• H. Bohr, "Almost-periodic functions", 첼시, 재인쇄(1947)
• Bredikhina, E.A. (2001) [1994], "Almost-periodic functions", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Bredikhina, E.A. (2001) [1994], "Besicovitch almost periodic functions", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Bredikhina, E.A. (2001) [1994], "Bohr almost periodic functions", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Bredikhina, E.A. (2001) [1994], "Stepanov almost periodic functions", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Bredikhina, E.A. (2001) [1994], "Weyl almost periodic functions", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• J. von Neumann, "Almost Periody Functions in a Group I", Trans. 아머. 수학. Soc, 36 no. 3 (1934) 페이지 445–492

외부 링크

• "Almost periodic function (equivalent definition)". PlanetMath.