블로흐 정리

응축 물질 물리학에서 블로흐의 정리는 주기 퍼텐셜에서 슈뢰딩거 방정식의 해는 주기 함수에 의해 변조된 평면파로 표현될 수 있다고 말합니다. 이 정리는 1929년에 이 정리를 발견한 물리학자 펠릭스 블로흐의 이름을 따서 붙여졌습니다.^[1] 수학적으로, 그것들은 쓰입니다^[2].

블로흐 함수

$\psi(\mathbf {r})=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r}u(\mathbf {r} )$

where $\mathbf {r}$ is position, $\psi$ is the wave function, $u$ is a periodic function with the same periodicity as the crystal, the wave vector $\mathbf {k}$ is the crystal momentum vector, $e$ is Euler's number, $그리고$ i ${\displaystyle$ i $}$ 는 $i$ 허수 단위입니다.

이러한 형태의 함수는 Bloch functions 또는 Bloch state로 알려져 있으며, 결정질 고체에서 전자의 파동함수 또는 상태에 적합한 기초 역할을 합니다.

스위스 물리학자 Felix Bloch의 이름을 따서, Bloch electron(또는 덜 자주 Bloch Waves)라고 불리는 Bloch 함수의 관점에서 전자를 설명하는 것은 전자 밴드 구조의 개념의 기초가 됩니다.

이러한 고유 상태는 첨자를 $\psi _{n\mathbf {k} }$ ψ nk ${\displaystyle \psi$ _{n $\mathbf$ {k}}}로 사용하며 $,$ $n$ 서 n ${\displaystyle$ n}은 밴드 인덱스라고 하는 이산 인덱스입니다. 이는 동일한 $\mathbf {k}$ ${\$ 각각 다른 주기 $성분$ u ${\displaystyle$ u $})$ 를 가진 많은 다른 파동 함수가 있기 때문에 존재합니다. $u$ $n$ 된 n $n$ 밴드 내에서 $\psi _{n\mathbf {k} }$ ψ n {\ $displaystyle$ \psi _ ${$ $n\mathbf {$ k}}}은 k {\ $displaystyle$ \ $mathbf$ {k $}$ 에너지와 마찬가지로 $\mathbf {k}$ 연속적으로 $\mathbf {k}$ 합니다 $.$ 또한 $\psi _{n\mathbf {k} }$ ψ n k ${\displaystyle \$ psi _{n\mathbf {k}}}는 상수 역방향 격자 벡터 K {\displaystyle \mathbf {K}} 또는 ψ n = ψ n (k + K ) {\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} =\psi _{n(\mathbf {k+K})}}까지 고유합니다. 따라서, 파동 벡터 $\mathbf {k}$ ${\$ 는 일반성 손실 없이 상호 격자의 첫 번째 브릴루인 영역으로 제한될 수 있습니다 $\mathbf {k}$ .

적용 및 결과

적용가능성

블로흐 정리의 가장 일반적인 예는 결정의 전자를 설명하는 것으로, 특히 전자 밴드 구조와 같은 결정의 전자적 특성을 특성화하는 데 있습니다. 그러나 Bloch-wave 설명은 주기적인 매체에서 파동과 같은 현상에 더 일반적으로 적용됩니다. 예를 들어, 전자기학에서 주기적인 유전체 구조는 광결정으로 이어지고, 주기적인 음향 매체는 음결정으로 이어집니다. 일반적으로 회절 역학 이론의 다양한 형태로 취급됩니다.

파동벡터

전자가 Bloch 상태에 있다고 가정합니다.

\psi(\mathbf {r})=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r}u(\mathbf {r}),

여기서

u

는 결정격자와 같은 주기성을 가진 주기성입니다. 전자의 실제 양자 상태는 k나 u가

아니라

\psi

ψ {\displaystyle

\psi

\psi

}

에 의해 완전히 결정됩니다.

이것

은 k와

u

가 유일하지 않기 때문에 중요합니다. 구체적으로,

\psi

ψ {\displaystyle

\

psi }를 k를 사용하여

위

와 같이 쓸 수 있다면,

(

k + K)를

사용

하여

쓸 수도 있습니다. 여기서 K는 임의의 역격자 벡터입니다(오른쪽 그림 참조). 따라서 상호 격자 벡터에 의해 다른 파동 벡터는 동일한 Bloch 상태 집합을 특성화한다는 점에서 동등합니다.

첫 번째 브릴루인 영역은 $k$ 값들의 제한된 집합이며, 그들 중 어떤 두 개도 동치가 아니지만, 가능한 $모든$ k는 첫 번째 브릴루인 영역에서 하나의 벡터(그리고 오직 하나의 벡터)와 동치입니다. 따라서 $k$ 를 첫 번째 브릴루인 영역으로 제한하면 모든 블로흐 상태는 $고유$ 한 k를 갖습니다. 따라서 첫 번째 Brillouin 구역은 예를 들어 밴드 구조에서 중복성 없이 모든 Bloch 상태를 묘사하는 데 자주 사용되며 많은 계산에서 동일한 이유로 사용됩니다.

$k$ 에 감소된 플랑크 상수를 곱하면 전자의 결정 운동량과 같습니다. 이와 관련하여 전자의 그룹 속도는 블로흐 상태의 에너지가 $k$ 에 따라 어떻게 변하는지에 따라 계산할 수 있습니다. 자세한 내용은 결정 운동량을 참조하십시오.

상세예

블로흐 정리의 결과가 특정 상황에서 도출되는 상세한 예는 1차원 격자 내 입자(주기적 포텐셜)를 참조하십시오.

정리

블로흐의 정리는 다음과 같습니다.

완벽한 결정의 전자에 대해서는 다음과 같은 두 가지 성질을 가진 파동함수의 기초가 있습니다.

각각의 파동함수는 에너지 고유 상태이고,
이러한 각 파동 함수는 Bloch 상태이며, 이 파동 함수 $\psi$ ψ {\displaystyle $\$ psi}를 형식으로 작성할 수 있음을 의미합니다. $\psi(\mathbf {r})=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r}u(\mathbf {r}),$ 여기서 $u (r)$ 은 결정의 원자 구조와 같은 주기성을 가지므로, ${\displaystyle u_{\mathbf {k}}(\mathbf {x})=u_{\mathbf {k}(\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a}).$

증명

격자 주기율을 이용하여

출처:^[3]

예선: 결정대칭, 격자, 상호격자

결정의 정의적 특성은 병진 대칭인데, 이것은 결정이 적절한 양으로 이동하면 모든 원자가 같은 위치에 있게 된다는 것을 의미합니다. (유한 크기의 결정은 완벽한 병진 대칭을 가질 수는 없지만, 유용한 근사치입니다.)

3차원 결정체는 3개의 기본 격자 $벡터 1$ a, $a 2,$ $a$ 를₃ 가진다. 결정체가 이 세 벡터들 중 어느 것에 의해 이동되거나 또는 그들의 조합된 형태로 이동된다면,

n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3},

여기

서_i n은 3개의 정수이고, 그러면 원자들은 그들이 시작했던 것과 같은 위치들의 집합에 있게 됩니다.

증명에 도움이 되는 또 다른 성분은 역격자 벡터입니다. 이 $벡터들$ 은 $a$ · b = $2$ π이지만 i ≠ j일 때 a · b = 0인 성질을 가지는 3개의 벡터 $b,$ b, $b$ (역길이 단위)입니다. (b에 대한 공식은 역격자 벡터를 참조하십시오.)

번역 연산자에 대한 보조정리

${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ ^ ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ 1, ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ 2 ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ {\ $displaystyle {\hat {T}_{n_{1}, n_{2}, n_{3}}$ 는 모든 파동함수를 $na 11$ + $na 22$ + $na 33$ 양(위와 같이 $n$ 은_j 정수)만큼 이동시키는 번역 연산자를 의미합니다 ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ . 블로흐 정리의 증명에 도움이 되는 사실은 다음과 같습니다.

보조정리 — $파동함수$ ψ가 모든 변환 연산자의 고유 상태(동시)인 경우 ψ는 Bloch 상태입니다.

보조정리 증명

우리가 모든 번역 연산자들의 고유 상태인 $파동함수$ ψ를 가지고 있다고 가정하자. 이것의 특별한 경우로서,

\psi(\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=C_{j}\psi (\mathbf {r} )

j

= 1,

2, 3

의 경우,

C

는 r에 의존하지 않는 세 개의 수(고윳값)입니다. θ

,

θ, e = C로 θ

하는

세 가지 숫자를 선택하여 다른 형태로

C

를 작성하는 것이 도움이 됩니다.

\psi(\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=e^{2\pii\theta _{j}\psi(\mathbf {r} )

다시

말하지만, θ는 r에

의존

하지 않는 세 개의 숫자입니다.

k

=

θ

b

+ θb + θb를 정의합니다. 여기서 b는 역 격자 벡터입니다(위 참조). 마지막으로 정의합니다.

u(\mathbf {r})=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r}\psi(\mathbf {r})\,

그리고나서

{\begin{aligned}u(\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})&=e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})}\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})\\&={\big (}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{j}}{\big )}{\big (}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} ){\big )}\\&=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-2\pi i\theta _{j}}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )\&=u(\mathbf {r}).\end{align}}

이것은

당신

이 격자의 주기성을 가지고 있다는 것을 증명합니다. ψ

r

)

\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),

=

아이크

⋅ r(r)이므로 {\displaystyle \psi(\mathbf {r}) = e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r}u(\mathbf {r}), 상태가 Bloch 상태임을 증명합니다.

마지막으로, 우리는 다음과 같은 블로흐 정리의 주요 증명을 위한 준비가 되었습니다.

위와 같이 ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ ^ ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ , ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ , ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ {\ $displaystyle {\hat {T}_{n_{1}, n_{2}, n_{3}}$ 는 모든 파동함수를 $na 11$ + $na 22$ + $na 33$ 양만큼 이동시키는 번역 연산자를 의미하며 ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ , $여기$ 서_i n은 정수입니다. 결정이 병진 대칭을 가지므로 이 연산자는 해밀턴 연산자와 함께 통근합니다. 또한 이러한 모든 번역 운영자는 서로 통근합니다. 따라서 해밀턴 연산자와 가능한 ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!$ T ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!$ ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!$ 1 ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!$ ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!$ ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!$ n ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!$ $displaystyle {\hat {T}_{n_{1}}, n_{2}, n_{3}}$ 연산자의 ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!$ 동시 고유 기저가 존재합니다. 이 기초가 저희가 찾고 있는 것입니다. 이 기저에서 파동 함수는 에너지 고유 상태이며(해밀턴 고유 상태이기 때문에), 또한 Bloch 상태입니다(번역 연산자의 고유 상태이기 때문에 위의 보조정리 참조).

연산자 사용

출처:^[4]

우리는 번역 연산자를 정의합니다.

{\begin{aligned}{\hat {\mathbf {T}}}_{\mathbf {n}}\psi(\mathbf {r})&\psi(\mathbf {r} +\mathbf {T} _{\mathbf {n})\&=\psi(\mathbf {r} +n_{1}\mathbf {a} _{1} +n_{2}\mathbf {a} _{2} +n_3}\mathbf {a} _{3})\&=\psi(\mathbf {r} +\mathbf {A} \mathbf {n})\end{aligned}

와 함께

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2} &\mathbf {a} _{3}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {n} ={\begin{pmatrix}n_{1}\n_{2}\n_{3}\end{pmatrix}}

우리는 평균 주기 전위의 가설을 사용합니다.

U(\mathbf {x} +\mathbf {T} _{\mathbf {n}) = U(\mathbf {x} )

그리고 해밀턴을 사용한 독립적인 전자 근사치는

{\hat {H}}={\frac{\hat {\mathbf {p}}}^{2m}}+U(\mathbf {x} )

Hamiltonian은 번역에 대해 불변이므로 번역 운영자와 통근해야 합니다.

[{\hat {H}}, {\hat {\mathbf {T}}}_{\mathbf {n}]=0

그리고 두 연산자는 공통의 고유함수 집합을 가져야 합니다. 따라서 번역 연산자의 고유 함수를 살펴보기 시작합니다.

{\hat {\mathbf {T}}_{\mathbf {n}}\psi(\mathbf {x})=\lambda _{\mathbf {n}\psi(\mathbf {x})

주어진

{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }

{\

은

{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }

가산 연산자입니다.

{\hat {\mathbf {T}}_{\mathbf {n}_{1}}_{\mathbf {T}}_{\mathbf {n}_{2}\psi(\mathbf {x})=\psi(\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n}_{1}+\mathbf {A} \mathbf {n}_{2})={\hat {\mathbf {T}}_{\mathbf {n}_{1}+\mathbf {n}_{2}\psi(\mathbf {x})

여기서 고유값 방정식을 대입하고 양변을 나누는

\psi (\mathbf {x} )

ψ (x)

{\displaystyle \psi (\

mathbf {x})}를 사용하면

\lambda _{\mathbf {n}_{1}}\lambda _{\mathbf {n}_{2}}=\lambda _{\mathbf {n}_{1}+\mathbf {n}_{2}

이는 다음의 경우에도 해당합니다.

\lambda _{\mathbf {n} = e^{s\mathbf {n} \cdot \mathbf {a}}

여기서

∈ C

{\displays styles\

in

\mathbb

{C}

만약 우리가 볼륨 V의 단일 원시 셀 위에서 정규화 조건을 사용한다면,

1=\int_{V} \psi(\mathbf {x}) ^{2}d\mathbf {x} =\int_{V}\left {\hat {\mathbf {T}}}_{\mathbf {n} }\psi(\mathbf {x})\right ^{2}d\mathbf {x} = \lambda _{\mathbf {n} ^{2}\int_{V} \psi(\mathbf {x}) ^{2}d\mathbf {x}

따라서

1= \ lambda _{\mathbf {n} ^{2}

그리고.

s=ik

여기서

k ∈ R

{\displaystyle

k

\in

mathbb {R}. 마지막으로,

\mathbf {\hat {T}}_{n}}\psi(\mathbf {x})=\psi(\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a})=e^{ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {a}\psi(\mathbf {x})

그것은 블로흐 파동에 해당합니다. for

\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )

with

u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} )

군론을 이용하여

문자 이론으로^[5]^{: 345–348} 증명

모든 번역은 단일하고 아벨리안입니다. 번역은 단위 벡터로 작성될 수 있습니다.

{\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{3}n_{i}\mathbf {a}_{i

우리는 이것들을 통근 운영자로 생각할 수 있습니다.

{\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\tau }}_{1}{\boldsymbol {\tau }}_{2}{\boldsymbol {\tau }}_{3

어디에

{\boldsymbol {\tau }}_{i}=n_{i}{\hat {\mathbf {a}}_{i

τ $^i {\displaystyle {\boldsymbol {\tau}}$ _{i} 연산자의 상용성은 무한, 1차원 및 아벨리안인 세 개의 통근 순환 부분군을 제공합니다. 아벨 군의 축소할 수 없는 모든 표현은 1차원입니다.^[6]

그들이 1차원일 때 행렬 표현과 문자는 동일합니다. 문자는 군의 복소수에 대한 표현이거나 이 경우 1차원 행렬인 표현의 흔적이기도 합니다. 이 모든 부분군들은 순환형이므로, 그들은 통일성의 적절한 뿌리가 되는 문자들을 가지고 있습니다. 실제로 생성기 $\gamma$ γ {\displaystyle $\gamma$ \gamma }는 n γ 1 ${\displaystyle$ \gamma ^{n}= $1},$ 따라서 문자 χ(γ) n = 1 {\displaystyle \chi (\gamma)^{n}=1}을 준수해야 합니다. 이것은 유한 순환 그룹의 경우에는 간단하지만 무한 순환 그룹의 셀 수 있는 무한 경우(즉, 여기서 번역 그룹)에는 문자가 유한하게 남아 있는 $n\to \infty$ → ${\displaystyle$ n\ $to$ \infty }에 대한 제한이 있습니다.

문자가 통일성의 뿌리인 경우, 각 부분군에 대해 문자는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\chi _{k_{1}}({\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}(n_{1},a_{1}))=e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}

퍼텐셜에 Born-von Karman 경계 조건을 도입하면 다음과 같습니다.

{\displaystyle V\left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right) = V(\mathbf {r} +\mathbf {L} ) = V(\mathbf {r} )

여기서 L은

a_{i}

{\displaystyle

a_

{

i

}의

a_{i}

배수로도 볼 수 있는

{\displaystyle

\mathbf {a}

\mathbf

{

a}

\mathbf {a}

의 거시적 주기율입니다.

{\textstyle \mathbf {L} =\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}}

서

{\textstyle \mathbf {L} =\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}}

=

{\textstyle \mathbf {L} =\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}}

∑

Ii

{\textstyle \mathbf {L} =

\

sum _{i} N_{i}\mathbf {a} _{i}

시간에 독립적인 슈뢰딩거 방정식을 단순한 유효 해밀토니안으로 대체하는 것

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )

파동함수로 주기성을 유도합니다.

\psi \left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=\psi(\mathbf {r} )

그리고 각 차원에 대하여, 마침표 L을 갖는 변환 연산자

{\hat {P}}_{\varepsilon \tau_{i}+L_{i}}={\hat {P}}_{\varepsilon  \tau _{i}}

여기서 문자 또한 $L_{i}$ ${\$ 의 번역에 의해 불변임을 알 수 있습니다 $L_{i}$

e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}=e^{ik_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})}

그리고 마지막 방정식으로부터 우리는 각 차원에 대해 주기적인 조건을 얻습니다.

k_{1}n_{1}a_{1}=k_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})-2\pi m_{1}

여기서

m_{1}\in \mathbb {Z}

1

∈ Z {\

displaystyle m_{

1}\

in \mathbb

{Z} }는

k_{1}={\frac {2\pi m_{1}}{L_{1}}}

이고 k

k_{1}={\frac {2\pi m_{1}}{L_{1}}}

= 2 π

k_{1}={\frac {2\pi m_{1}}{L_{1}}}

m 1 L 1 {\

displaystyle

k_{1}={\

frac

{2\pim_{1}}{L_{1}}}

파동 벡터 $k_{1}$ $k_{1}$ ${\$ 은 $m_{1}$ $m_{1}$ ${\$ 과 동일한 $m_{1}$ 방식으로 환원 불가능한 표현을 $k_{1}$ $L_{1}$ 하고, $L_{1}$ 1 {\ $displaystyle L_$ {1 $}$ 은 $L_{1}$ $a_{1}$ 1 {\ $displaystyle a_{1}$ $a_{1}$ 의 결정의 거시적 주기 길이입니다 $a_{1}$ 이러한 맥락에서, 파동 벡터는 번역 연산자의 양자수 역할을 합니다.

3차원 $\chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})\chi _{k_{3}}(n_{3},a_{3})=e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$ χ $\chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})\chi _{k_{3}}(n_{3},a_{3})=e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$ 1 ( $\chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})\chi _{k_{3}}(n_{3},a_{3})=e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$ 1, a $1)$ χ k 2 ( $n$ 2, a 2) χ k 3 (n 3, a 3) = 아이크 ⋅ τ {\displaystyle \chi _{k_{1}}(n_{1}, a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2}, a_{2})\chi _{k_{3}(n_{3}) $a_{3$ }) $=$ e^{ $i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau$ }}}이며, 파동함수의 일반적인 공식은 다음과 같습니다.

{\hat {P}}_{R}\psi _{j}=\sum _{\alpha }\psi _{\alpha }\chi _{\alpha j}(R)

즉, 번역을 위해 그것을 전문으로 하는.

{\hat {P}}_{\varepsilon {\boldsymbol {\tau }}\psi(\mathbf {r})=\psi(\mathbf {r}e^{i\mathbf {k}\cdot {\boldsymbol {\r}}=\psi(\mathbf {r} + {\boldsymbol {\tau }}

그리고 우리는 블로흐의 정리를 증명했습니다.

군론 기술과는 별개로 이 증명은 번역일 뿐만 아니라 군에 대한 블로흐 정리를 일반화하는 방법이 명확해지기 때문에 흥미롭습니다.

이것은 일반적으로 변환과 점군의 조합인 공간군에 대해 수행되며 FCC 또는 BCC와 같은 특정 결정군 대칭이 주어지고 결국 추가 기반이 되는 결정의 대역 구조, 스펙트럼 및 특정 열을 계산하는 데 사용됩니다.^[5]^{: 365–367}^[7]

이 증명에서 추가 점군이 유효 퍼텐셜의 대칭에 의해 구동되는 것이 핵심이지만 해밀턴과 함께 통근해야 한다는 것을 알 수 있습니다.

블로흐 정리의 일반화된 버전에서 푸리에 변환, 즉 파동 함수 확장은 순환 그룹에만 적용 가능한 이산 푸리에 변환에서 일반화되므로 문자가 특정 유한 점 그룹에서 제공되는 파동 함수의 문자 확장으로 변환됩니다.

또한 여기에서는 문자(축소 불가능한 표현의 불변성)가 축소 불가능한 표현 자체 대신 기본 구성 요소로 취급될 수 있는 방법을 확인할 수 있습니다.^[8]

속도와 유효질량

시간에 독립적인 슈뢰딩거 방정식을 블로흐 파동함수에 적용하면,

{\hat {H}}_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\left[{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}+U(\mathbf {r})\right]u_{\mathbf {k}}(\mathbf {r})=\varepsilon_{\mathbf {k}u_{\mathbf {k}(\mathbf {r})

경계 조건으로

u_{\mathbf {k}}(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k}(\mathbf {r} +\mathbf {R} )

이것이 유한한 부피로 정의되는 경우, 우리는 무한한 고유값 패밀리를 기대합니다. 여기서

{\mathbf {k} }

{\mathbf {k}

는 해밀턴의 매개변수이므로 연속 매개변수에 의존하는 고유값

\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )

ε n

(

k)

{\displaystyle \varepsilon

_{

n}(\mathbf {

k})}의 "연속 패밀리"에 도달합니다.

{\mathbf {k} }

{\

따라서

{\mathbf {k} }

전자 밴드 구조의 기본 개념에 있습니다.

증명^[9]

E_{\mathbf {k} }\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {x} )\right]\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)

우리는 함께 있습니다.

{\begin{aligned}E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla_{\mathbf {k}}(\mathbf {x})\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\left(i\mathbf {k} \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla_{\mathbf {k}}(\mathbf {x})\right)+i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x}}\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\mathbf {k} ^{2}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-2i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x})\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}u_{\mathbf {k}}(\mathbf {x})+U(\mathbf {x})u_{\mathbf {k}(\mathbf {x})\end{aligned}

이것은 유효 운동량이 두 부분으로 구성된 것으로 볼 수 있음을 보여줍니다.

{\hat {\mathbf {p}}}_{\text{eff}}=-i\hbar \nabla +\hbar \mathbf {k},

표준 운동량

-i\hbar \nabla

-

-i\hbar \nabla

ℏ ∇ {\displaystyle -i\

hbar

\n

abla}

와 결정 운동량

ℏ

\hbar \mathbf {k}

k

{\

displaystyle \hbar

\hbar \mathbf {k}

\mathbf {k}입니다. 결정 운동량은 운동량이 아니라 최소 결합에서의 전자기 운동량과 같은 방식으로 운동량을 나타냅니다. 그리고 운동량의 표준 변환의 일부로.

우리가 도출할 수 있는 유효 속도는

블로흐 전자의 평균 속도

${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k}}^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }={\frac {\hbar }{m}}\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle =\hbar \langle {\hat {\mathbf {v} }}\rangle$

증명^[10]

도함수 ${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}$ ∂ ε n ∂ k {\ $displaystyle {\frac {\partial$ \varepsilon _ ${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}$ $n}}{\$ partial ${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}$ \ ${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}$ ${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}$ }}} ${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}$ ε 2 ∂ ${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}$ n (k) ∂ ki ∂ $kj$ {\ $displaystyle$ {\ $frac$ {\ $partial ^{2$ }\ $varepsilon$ _{n}(\mathbf {k})}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}를 평가합니다. 이들이 다음과 같은 계수인 경우. $k$ 에 대하여 $q$ 가 작다고 간주되는 $q$ 의 전개

\varepsilon_{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q})=\varepsilon_{n}(\mathbf {k})+\sum_{i}{\frac {\varepsilon_{n}}{\partial k_{i}}q_{i}+{\frac {1}{2}\sum_{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon_{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}q_{i}q_{j}+O(q^{3})

ε

\varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )

(

\varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )

+

{\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }

q

) {\displaystyle \

varepsilon_{

n}(\mathbf {k} +\mathbf {q})}이 H ^ k + q {\displaystyle {\hat {H}_{\mathbf {k} +\mathbf {q}}}이 주어졌을 때, q에서 다음과 같은 섭동 문제를 고려할 수 있습니다.

{\hat {H}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} ={\hat {H}_{\mathbf {k}}+{\frac {\hbar ^{2}} {m}\mathbf {q} \cdot (-i\n)abla +\mathbf {k} )+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}

2차 섭동 이론은 다음과 같습니다.

E_{n}=E_{n}^{0}+\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}+\sum _{n'\neq n}{\frac { \int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n} ^{2}}{E_{n}^{0}-E_{n'}^{0}}}+...

q

의 선형 순서로 계산하는 방법

\sum_{i}{\frac {\partial \varepsilon_{n}}{\partial k_{i}}q_{i}=\sum_{i}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k}^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}(-i\n)abla +\mathbf {k} )_{i}q_{i}u_{n\mathbf {k} }

적분이 원시 셀 또는 전체 결정 위에 있는 경우, 적분이 주어진 경우

\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k}}^{*}u_{n\mathbf {k}}

세포 또는 결정에 걸쳐 정규화됩니다.

$q$ 를 통해 단순화하여 얻을 수 있습니다.

{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k}}^{*}(-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }

그리고 우리는 완전한 파동 기능을 다시 삽입할 수 있습니다.

{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k}}^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }

유효질량의 경우

유효 질량 정리

${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k})}{\partial k_{i}\partial k_{j}}={\frac {\hbar ^{2}}}\delta _{ij}+\left ({\frac {\hbar ^{2}}}\right)^{2}\sum _{n'\n'eq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} -i\nabla_{i} n'\mathbf {k} \rangle \ lang n'\mathbf {k} -i\nabla_{j} n\mathbf {k} \rangle +\ lang n\mathbf {k} -i\n아발아발아발아발아발아발아발아발아발아! _{j} n'\mathbf {k} \rangle \lang n'\mathbf {k} -i\nabla_{i} n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon_{n}(\mathbf {k})-\varepsilon_{n'}(\mathbf {k}}$

증명^[10]

2차항

{\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq}{\frac { \int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n'\mathbf {k} } ^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}

\psi _{n\mathbf {k} }=|n\mathbf {k} \rangle =e^{i\mathbf {k} \mathbf {x} }u_{n\mathbf {k} }

ψ n

\psi _{n\mathbf {k} }=|n\mathbf {k} \rangle =e^{i\mathbf {k} \mathbf {x} }u_{n\mathbf {k} }

= n

\psi _{n\mathbf {k} }=|n\mathbf {k} \rangle =e^{i\mathbf {k} \mathbf {x} }u_{n\mathbf {k} }

⟩ = ik x un

{\displaystyle

\psi _{n\mathbf {k} = n\mathbf {k} \rangle =e^{i\mathbf {k} \mathbf {x}u_{n\mathbf {k}}}

{\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac { \langle n\mathbf {k}  {\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla ) n'\mathbf {k} \rangle  ^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}

q_{i}

{\

와

q_{i}

q_{j}

{\

를 제거하면 정리가

q_{j}

나옵니다.

{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k})}{\partial k_{i}\partial k_{j}}={\frac {\hbar ^{2}}}\delta _{ij}+\left ({\frac {\hbar ^{2}}}\right)^{2}\sum _{n'\n'eq n}{\frac {\langle n\mathbf {k}  -i\nabla_{i} n'\mathbf {k} \rangle \ lang n'\mathbf {k} -i\nabla_{j} n\mathbf {k} \rangle +\ lang n\mathbf {k} -i\n아발아발아발아발아발아발아발아발아발아! _{j} n'\mathbf {k} \rangle \lang n'\mathbf {k} -i\nabla_{i} n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon_{n}(\mathbf {k})-\varepsilon_{n'}(\mathbf {k}}

오른쪽에 인자 ${\frac {1}{\hbar ^{2}}}$ ℏ 2 ${\displaystyle {\frac$ {1 $}{\hbar$ ^{2}}}를 곱한 양을 유효 질량 $\mathbf {M} (\mathbf {k} )$ M $(k$ ) ${\displaystyle \mathbf {M}(\mathbf {$ k})}이라고 하며, 이를 사용하여 대역의 전하 캐리어에 대한 반고전 방정식을 작성할 수 있습니다.

밴드 내 전하 캐리어에 대한 2차 반고전적 운동 방정식

$\mathbf {M}(\mathbf {k})\mathbf {a} =\mpe\left(\mathbf {E} +\mathbf {v}(\mathbf {k})\times \mathbf {B} \right)$

$\mathbf {a}$ 서 ${\$ 은(는) 가속도입니다 $\mathbf {a}$ . 이 방정식은 근사의 드브로이 파동 유형과^[13] 유사합니다.

밴드 내 전자에 대한 1차 반고전적 운동 방정식

$\hbar {\dot {k}}=-e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$

직관적인 해석으로서, 앞의 두 방정식은 모두 형식적으로 닮았으며, 외부 로렌츠 힘의 뉴턴 방정식과 반고전적인 유사점에 있습니다.

역사와 관련 방정식

블로흐 상태의 개념은 1928년^[14] 펠릭스 블로흐가 결정성 고체에서 전자의 전도를 설명하기 위해 개발했습니다. 그러나 조지 윌리엄 힐(George William Hill, 1877),^[15] 가스톤 플로케(Gaston Floquet, 1883),^[16] 알렉산더 랴푸노프(Alexander Lyapunov, 1892)에 의해 같은 기초 수학도 여러 차례 독립적으로 발견되었습니다.^[17] 따라서 일반적인 미분 방정식에 적용되는 플로케 이론(또는 때로는 랴푸노프-플로케 정리)이라는 다양한 명명법이 일반적입니다. 1차원 주기 퍼텐셜 방정식의 일반적인 형태는 힐의 방정식입니다.^[18]

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,

여기

서 f

(t)

는 주기 전위입니다. 구체적인 주기적 1차원 방정식으로는 크로니그-페니 모형과 마티유 방정식이 있습니다.

수학적으로 Bloch의 정리는 격자군의 단일 문자로 해석되며, 스펙트럼 기하학에 적용됩니다.^[19]^[20]^[21]

참고 항목

참고문헌

^ Bloch, F. (1929). 크리스털기턴의 위버 다이 퀀텐 메카닉 데어 일렉트로넨. Zeitschrift für physik, 52(7), 555-600.
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^ ^a ^b Dresselhaus, M. S. (2002). "Applications of Group Theory to the Physics of Solids" (PDF). MIT. Archived (PDF) from the original on 1 November 2019. Retrieved 12 September 2020.
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^ 면 중심 입방정의 진동 스펙트럼과 비열, 로버트 B. 레이튼 [1]
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^ Ashcroft & Mermer, 1976년 229쪽
^ Ashcroft & Mermer, 1976년 227쪽
^ Felix Bloch (1928). "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern". Zeitschrift für Physik (in German). 52 (7–8): 555–600. Bibcode:1929ZPhy...52..555B. doi:10.1007/BF01339455. S2CID 120668259.
^ George William Hill (1886). "On the part of the motion of the lunar perigee which is a function of the mean motions of the sun and moon". Acta Math. 8: 1–36. doi:10.1007/BF02417081. 이 작품은 1877년에 처음 출판되어 비공개로 배포되었습니다.
^ Gaston Floquet (1883). "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 12: 47–88. doi:10.24033/asens.220.
^ Alexander Mihailovich Lyapunov (1992). The General Problem of the Stability of Motion. London: Taylor and Francis. A씨가 번역했습니다. T. 풀러(T. Fuller)는 에두아르 다보(Edouard Davaux)의 프랑스어 번역본(1907)에서 러시아어 원본 논문(1892)을 번역했습니다.
^ Magnus, W; Winkler, S (2004). Hill's Equation. Courier Dover. p. 11. ISBN 0-486-49565-5.
^ Kuchment, P. (1982), 편미분방정식에 대한 플로케 이론, RUS MATH SURV., 37, 1–60
^ Katsuda, A.; Sunada, T (1987). "Homology and closed geodesics in a compact Riemann surface". Amer. J. Math. 110 (1): 145–156. doi:10.2307/2374542. JSTOR 2374542.
^ Kotani M; Sunada T. (2000). "Albanese maps and an off diagonal long time asymptotic for the heat kernel". Comm. Math. Phys. 209 (3): 633–670. Bibcode:2000CMaPh.209..633K. doi:10.1007/s002200050033. S2CID 121065949.

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