Bloch의 정리(복잡한 변수)

복잡한 분석에서, 수학 내의 한 분야인 블로흐의 정리는 홀로모르픽 함수에 역행하는 원반 크기에 대한 하한을 부여한다.그것은 안드레 블로흐의 이름을 따서 지어졌다.

성명서

f를 단위 디스크 z ≤ 1의 홀로모르픽 함수로 하자. f f(0) = 1. 그러면 이 디스크에는 반경 b의 디스크와 분석 함수 φ이 존재하며, f(()는 이 디스크의 모든 z에 대해 z가 된다.여기서 b > 1/72는 절대 상수다.

란다우의 정리

f가 f′(0) = 1 속성을 가진 단위 디스크의 홀로모르픽 함수인 경우, f의 이미지는 반경 l의 디스크를 포함하고 여기서 l ≥ b는 절대 상수다.

이 정리는 에드먼드 란다우의 이름을 따서 명명되었다.

발레론의 정리

블로흐의 정리는 조르주 발리론의 다음과 같은 정리에 영감을 받았다.

정리.f가 일정하지 않은 전체 함수인 경우, 임의로 큰 반지름의 디스크 D와 분석 기능 φ이 D에 존재하여 f(φ)는 D에 z를 나타낸다.

Bloch의 정리는 소위 Bloch의 원리를 통한 Valiron의 정리에 해당한다.

증명

란다우의 정리

단위 디스크에서 f(0) = 0, f′(0) = 1, f′(z) ≤ 2가 될 때 먼저 그 경우를 증명한다.카우치의 필수 공식에 의하면

${\displaystyle f''(z) =\left {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f'(w)}{(w-z)^{2}}}\,\mathrm {d} w\right \leq {\frac {1}{2\pi }}\cdot 2\pi r\sup _{w=\gamma (t)}{\frac { f'(w) }{ w-z ^{2}}}\leq {\frac {2}{r}},}$

여기서 γ은 z 주위에 r 반시계방향 원이며, 0 < r < 1 - z. 테일러의 정리에 의해 단위 디스크의 각 z에 대해 f(z) = z + zf²″(tz) / 2. 따라서 z = 1/3과 w < 1/6>이 있다.

${\displaystyle (f(z)-w)-(z-w) ={\frac {1}{2}} z ^{2} f''(tz) \leq {\frac { z ^{2}}{1-t z }}\leq {\frac { z ^{2}}{1- z }}={\frac {1}{6}}< z - w \leq z-w .}$

루제의 정리로는 f의 범위가 반경 1/6의 원반을 0 주위에 포함하고 있다.

D(z₀, r)는 radius r 주위에 있는₀ radius의 열린 디스크를 나타내도록 한다.분석 함수 g : D(z₀, r) → g(z₀) 0 0과 같은 C의 경우, 위에서 (g(z₀ + rz) - g(z₀) / (rgg(0))에 적용한 경우는 g의 범위가 D(g(z₀), g(z) r / 6을 포함하고 있음을 의미한다.

일반적인 경우, f′(0) = 1 및 z₀ = 0과 같은 장치 디스크의 분석 함수가 되도록 한다.

• f′(z) ≤ 2 f <(z) for₀ z - z₀ < 1/4인 경우, 첫 번째 사례에 의해 f의 범위는 반경 f((z₀) / 24 = 1/24의 디스크를 포함한다.그렇지 않으면 z₁ - z < 1/4₀ 및 f′(z₁) > 2 f³(z₀)과 같은 z가₁ 존재한다.
• f₁′(z) ≤ 2 f′(z₁)가 z - z < 1/8인 경우, 첫 번째 사례에 의해 f의 범위는 반경 f((z₁) / 48 > f((z₀) / 24 = 1/24의 디스크를 포함한다.그렇지 않으면 z₂ - z < 1/8₁ 및 f′(z₂) > 2 f³(z₁)과 같은 z가₂ 존재한다.

이 주장을 반복하면서 우리는 적어도 f의 범위에서 반경 1/24의 원반을 찾아내서 정리를 증명하거나, z_n - z_n−1 < 1/2과ⁿ⁺¹ f′(z_n) > 2f′(z_n−1) > 2f′(z)과 같은 무한 시퀀스 (z_n)를 찾는다. 후자의 경우 시퀀스가 D(0, 1/2)로 되어 있기 때문에 f′은 모순인 D(0, 1/2)로 한없이 된다.

블로흐의 정리

위 란다우의 정리 증명에서 루제의 정리는 f의 범위에서 적어도 1/24의 반지름 D를 찾을 수 있을 뿐만 아니라, 단위 디스크 내부에 작은 디스크 D가₀ 있어서 모든 w ∈ D에 대해 f(z) = w를 갖는 독특한 z ∈ D가₀ 존재한다는 것을 암시한다.따라서 f는 D₀ ∩ f⁻¹(D)에서 D에 이르는 생체해석함수인 만큼 역 φ도 역함수 정리에 의해 분석된다.

블로흐와 란다우의 상수

Bloch의 정리에서 하한선 1/72는 최선의 방법이 아니다.이 정리가 가지고 있는 모든 b의 우월성으로 정의되는 숫자 B를 Bloch의 상수라고 한다.Bloch의 정리는 B ≥ 1/72를 말해주지만, B의 정확한 값은 아직 알 수 없다.

란다우의 정리에서 비슷하게 정의된 최적 상수 L을 란다우의 상수라고 한다.정확한 값도 알 수 없다.

현재 B에 대해 가장 잘 알려진 경계는

${\displaystyle 0.4332\approx {\frac {\sqrt {3}}{4}}+2\times 10^{-4}\leq B\leq {\sqrt {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{3}})\Gamma ({\frac {11}{12}})}{\Gamma ({\frac {1}{4}})}}\approx 0.4719,}$

여기서 γ은 감마함수다.하한은 첸과 게히에 의해 증명되었고, 상한은 알포르스와 그룬스키로 거슬러 올라간다.란다우 상수에도 상한을 주었다.

그들의 논문에서, 알포르스와 그룬스키는 그들의 상한이 실제로 B와 L의 진정한 가치라고 추측했다.

참조

• Ahlfors, Lars Valerian; Grunsky, Helmut (1937). "Über die Blochsche Konstante". Mathematische Zeitschrift. 42 (1): 671–673. doi:10.1007/BF01160101. S2CID 122925005.
• Baernstein, Albert II; Vinson, Jade P. (1998). "Local minimality results related to the Bloch and Landau constants". Quasiconformal mappings and analysis. Ann Arbor: Springer, New York. pp. 55–89.
• Bloch, André (1925). "Les théorèmes de M.Valiron sur les fonctions entières et la théorie de l'uniformisation". Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. 17 (3): 1–22. doi:10.5802/afst.335. ISSN 0240-2963.
• Chen, Huaihui; Gauthier, Paul M. (1996). "On Bloch's constant". Journal d'Analyse Mathématique. 69 (1): 275–291. doi:10.1007/BF02787110. S2CID 123739239.