신적 비율: 이성적 삼각측정과 보편적 기하학

신적 비율: 합리 삼각측정과 보편적 기하학은 수학자 노만 J. 와일드버거가 유클리드 기하학과 삼각측정에 대해 제안한 대안적 접근법에 대해 쓴 2005년 책으로, 합리적 삼각측량법이라고 불린다.이 책은 삼각법, 유클리드 거리 및 각도 측정의 일반적인 기본 양을 각각 거리 제곱과 사인 제곱으로 대체하는 것을 지지한다.이는 (대체 수량은 표준 개발로 표현할 수 있고 그 반대의 경우도 마찬가지이므로) 논리적으로 표준 개발과 동등하다.저자는 자신의 접근방식이 불합리한 숫자의 필요성을 피하는 것과 같은 몇 가지 장점을 가지고 있다고 주장한다.

이 책은 와일드버거가 출판사 와일드 에그를 통해 본질적으로 자체 출간한 것이다.^[1]이 책의 공식과 이론은 정확한 수학으로 간주되지만 실용적 또는 교육학적 우월성에 대한 주장은 주로 와일드버거가 직접 추진하고 있으며 엇갈린 평가를 받고 있다.

개요

신비례의 주요 개념은 거리를 이 책에서 사분선으로 개명한 제곱 유클리드 거리로 대체하고, 그들의 씨네 정사각형으로 각도를 대체하는 것으로, 이 책에서 스프레드로 개명하며 두 선 사이의 (회전량이 아니라) 분리의 척도로 생각되는 것이다.신성한 비율은 이 두 개념 모두 거리와 각도에서 간접적으로가 아니라 선 세그먼트 또는 한 쌍의 교차선을 결정하는 점의 데카르트 좌표에서 직접 정의한다.이러한 방식으로 정의되며, 좌표의 합리적인 함수로, 좌표로부터의 거리 계산에 필요한 제곱근이나 좌표로부터의 각도를 계산하는데 필요한 역삼각계 함수의 필요 없이 직접 계산할 수 있다.^[1]

신 비율에 따르면, 이 교체품은 다음과 같은 몇 가지 주요 이점을 가진다.

• 합리적 숫자 좌표에 의해 주어진 점의 경우, 점 쌍의 사분오열과 점의 3배 확산이 다시 합리적이어서, 비합리적인 숫자의 필요성이나, 실제 숫자를 정의하는 데 사용되는 한계의 개념을 피한다.^[1]
• 또한 실수를 피함으로써 와일드버거가 주장하는 것이 각도의 정의와 실수의 계산가능성에서도 기초적인 문제임을 회피한다.^[1]
• 그것은 사분면에 동일한 공식을 사용해 유한장 등 다른 수 체계로 아날로그적 개념을 직접 확장할 수 있도록 한다.^[1]

또한 이 방법은 두 각도가 같은 스프레드를 가지기 때문에 선 쌍에 의해 형성된 두 개의 보조 각도의 모호성을 피한다.이 시스템은 보다 직관적이며, 2차원부터 3차원까지 더 쉽게 확장된다고 주장한다.^[2]그러나 이러한 편익에 대한 대가로 거리와 각도의 부가성을 상실하게 되는데, 예를 들어 선분할을 둘로 나누면 그 길이가 두 조각의 길이의 합이지만, 조각의 사분오차를 결합하는 것은 더 복잡하고 제곱근을 필요로 한다.^[1]

조직 및 주제

신성한 비율은 네 부분으로 나뉜다.제1부에서는 거리와 각도를 대체하기 위해 사방과 스프레드의 사용에 대한 개요를 제시하고, 이들의 장점을 논증한다.제2부는 제1부의 주장을 공식화하고, 이를 엄격하게 증명한다.^[1]선을 점의 무한 집합으로 정의하기보다는 동질 좌표로 정의하며, 점 및 선의 발생률을 시험하는 공식에 사용될 수 있다.사인처럼 코사인(cosine)과 탄젠트는 "크로스"와 "트위스트(twist)"라고 불리는 이성적 등가물로 대체되며, 신비례는 피타고라스 정리 버전,^[2] 시네스의 법칙, 코사인(cosines) 법칙 등 이러한 양과 관련된 삼각형 정체성의 다양한 유사성을 개발한다.^[3]

파트 3은 앞의 두 부분에서 개발된 도구를 사용하여 삼각형 및 원뿔형의 기하학을 개발한다.^[1]자신의 편 길이에서 삼각형의 면적을 계산하는 헤론의 공식, 폼에 새겨진 각도 정리는 각도 원의 화음으로 다른 지점부터 원에 정해진 각도가 같은지 같은 음 잘 알려 져 결과, quadrance과 확산의 측면에서 그리고 그에 따라 숫자의 자의적 분야에 일반화되reformulated 있다.[2][4]마지막으로 제4부는 물리학과 측량에서 실용적 응용을 고려하고, 고차원 유클리드 공간과 극좌표까지 확장을 개발한다.^[1]

청중

《신성한 비율》은 독자들의 수학 배경의 방식에 크게 영향을 미치지는 않지만, 그 많은 긴 공식, 유한 분야에 대한 빈번한 고려, 그리고 (제1부 이후) 수학적인 엄격함에 대한 강조는 인기 있는 수학 청중의 장애물이 될 가능성이 높다.대신 주로 수학 교사와 연구자를 위해 쓰여진다.하지만 수학 학생들도 읽을 수 있고, 수학 수업의 기초가 될 수 있는 운동도 포함되어 있다.^[1][5]

임계수신호

평론가들이 가장 긍정적으로 평가한 책의 특징은 거리와 각도 기하학의 결과를 유한한 분야로 확장한 작품이었다.Reviewer 로라 Wisewell 이 일을 인상적인 그리고 그 결과 가장 작은 한정된 필드는 규칙적인 오각형을 장독이다 F 19{\displaystyle \mathbb{F}에 매료되었다는 것을 발견했다 _{19}}.[1]마이클 헨리를 호출하는 연장의 삼각형은 원뿔 부분 기하학으로 유한한 분야에 참가한 3세의 책" 우아한 이론의 위대한 gen.음.정말또한 윌리엄 바커는 이 책의 이런 측면에 대해 "특히 참신하다"고 말하며 새로운 연구 방향을 열 가능성이 있다고 시인했다.^[3][5]

와이즈웰은 이 작품에서 귀속되지 않은 채 제시된 세부 결과 중 실제로 얼마나 많은 결과가 참신한지 의문을 제기한다.^[1]이러한 관점에서, 마이클 헨리는 유클리드 거리 제곱의 사용은 예를 들어 거리 기하학, 최소 제곱 통계학 및 볼록 최적화에 이용되는 등 "다른 곳에서 편리한 경우가 많았다"^[3]고 지적한다.제임스 프랭클린(James Franklin)은 관례적으로 선형 대수학을 사용하여 모델링한 3차원 이상 공간의 경우 신비례에 의한 스프레드의 사용은 삼각함수 대신 도트 제품을 포함하는 표준 방법과 크게 다르지 않다고 지적한다.^[4]

헨리가 지적한 와일드버거의 방법의 장점은 단순한 대수학만을 포함하기 때문에 증명서는 따라 하기 쉽고 컴퓨터가 검증하기 쉽다는 것이다.그러나 그는 이 책의 전반적인 이론에서 더 큰 단순성을 주장하는 것은 거리, 각도, 시네 등의 해당 고전적 개념과 비교하는 것이 아니라 고전적 삼각측량법에서 훨씬 더 광범위한 도구들을 비교하는 잘못된 비교에 있다고 제안한다.그는 또한 과학적인 계산기를 가진 학생에게 제곱근과 삼각함수를 피하는 공식은 문제가 되지 않는다고 지적하고,^[3] 바커는 새로운 공식은 종종 더 많은 수의 개별적인 계산 단계를 수반한다고 덧붙였다.^[5]복수의 검토자가 학생들에게 삼각법을 가르치는 데 필요한 시간의 감소가 매우 환영할 것이라고 생각했지만,^[2][4][6] 폴 캠벨은 이러한 방법들이 실제로 학습 속도를 높일 수 있을지에 대해 회의적이다.^[6]게리 르베르샤는 "와일드버거가 제작하기로 약속한 학생들을 겨냥한 교과서와 학생 기니피그와 관련된 통제 실험들을 보는 것은 흥미로울 것"이라고 썼다.^[2]그러나 2020년^[update] 현재 이러한 교과서와 실험은 출판되지 않고 있다.

와이즈웰은 기존의 기하학에는 이러한 방법들이 회피하는 근본적 결함이 있다는 주장에 납득할 수 없다.^[1]바커는 와이즈웰과 동의하면서 와일드버거의 무한대 철학적 의혹을 공유하는 다른 수학자들이 있을 수 있으며, 이 작품이 그들에게 큰 관심을 가져야 한다고 지적한다.^[5]

복수의 검토자가 제기하는 최종적인 문제는 관성이다: 이러한 방법들이 더 낫다고 주장할 때, 이러한 관점에서 기하학과 삼각법을 재학습하는 큰 개별적 노력을 가치 있게 만들기에 충분한가, 그리고 고전적 지리학 대신에 그것들을 사용하기 위해 학교 교과과정을 재교육하는 제도적 노력을 할 수 있는 충분한가?미터법과 삼각법?헨리와 바커, 르베르샤는 이 책이 이에 대한 주장을 펴지 못했다고 결론짓지만 ^[2][3][5]산드라 알링하우스는 이 작품을 "전통적인 제도적 경직성에 상대적으로 거의 투자하지 않은" 그녀의 수학 지리학 같은 분야들이 그러한 교체의 약속을 증명할 수 있는 기회로 보고 있다.^[7]

참고 항목

• Perles 구성(Perles configuration), 합리적인 좌표로 나타낼 수 없는 유클리드 평면의 유한한 점 및 선 세트

참조