아그네시의 마녀

수학에서 아그네시의 마녀(이탈리아어 발음: [aˈeeezizi, -esisi; -ːzizi])는 원의 정반대의 두 점으로부터 정의되는 입방면 곡선이다.그것은 이탈리아의 수학자 마리아 가에타나 아그네시로부터, 그리고 항해용 시트라는 이탈리아어의 오역으로부터 이름을 얻었다.아그네시 이전에 같은 곡선을 페르마, 그란디, 뉴턴에 의해 연구되었다.

아크탄젠트 함수의 파생형 그래프는 아그네시의 마녀의 예를 형성한다.코우치 분포의 확률밀도함수로서 아그네시의 마녀는 확률론에서 응용을 한다.또한 다항식별 함수의 근사치에서 룬지의 현상을 발생시키며, 스펙트럼 라인의 에너지 분포를 근사하게 하고, 언덕의 모양을 모형화한다.

마녀는 두 가지 정의 지점 중 한 곳에서 정의 원에 접하고 다른 지점에서는 원과 접선 선에 점증하지 않는다.정의 원과 접하는 지점에 독특한 꼭지점(극도의 곡률점)이 있으며, 이 점 역시 그 지점에서 오스카하는 원이다.또한 2개의 유한 변곡점과 1개의 무한 변곡점이 있다.마녀와 점근선 사이의 영역은 정의원 면적의 4배이며, 그 정의선 주위의 곡선의 회전량은 그 정의원 혁명의 토러스 부피의 2배이다.

건설

이 곡선을 구성하려면 두 점 O와 M으로 시작하고 OM을 직경으로 하여 원을 그리십시오.원의 다른 점 A에 대해서는, N을 제2의 선 OA와 M의 접선 선의 교차점이 되도록 한다.P는 OM에서 A까지 수직인 선과, OM에서 N까지 평행한 선과의 교차점이 되도록 한다.그리고 P는 아그네시의 마녀에게 눕는다.마녀는 O와 M의 같은 선택으로부터 이런 식으로 구성될 수 있는 모든 포인트 P로 구성되어 있다.^[1]그것은 제한적인 경우로서 포인트 M 자체를 포함한다.

방정식

점 O가 원점에 있고 점 M이 양의 Y 축에 있고 직경이 OM인 원은 반지름 a를 가지고 있다고 가정하자.그리고 나서 O와 M으로 구성된 마녀는 데카르트 방정식을^[2][3] 가지고 있다.

${\displaystyle y={\frac {8a^{3}{x^{2}+4a^{2}}.}$

이 방정식은 a = 1/2을 선택하여 폼으로 단순화할 수 있다.

${\displaystyle y={\frac {1}{x^{2}+1}.}$

단순화된 형태에서, 이 곡선은 아크탄젠트 함수의 파생 모델을 그래프로 나타낸 것이다.^[4]

또한 아그네시의 마녀는 파라메트릭 방정식으로 설명될 수 있는데, 파라메트릭 방정식은 매개변수 θ이 OM과 OA 사이의 각도로서 시계방향으로 측정된다.^[2][3]

$\displaystyle x=2a\tan \theta ,}$

${\displaystyle y=2a\cos ^{2}\theta .}$

특성.

이 곡선의 주요 특성은 적분 미적분에서 도출할 수 있다.마녀와 점근선 사이의 영역은 고정원 면적의 ${\displaystyle \mathrm{4배}}$, ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$^[2][3][5]아그네시 마녀의 점근에 대한 회전량은 $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {a\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\$ 4$\pi ^{2}a^{3$^[2] 마녀의 정의 원을 같은 선으로 회전시켜 형성된 토러스 부피의 2배다.^[5]

곡선은 정의 원과 접선하는 지점에서 고유한 꼭지점을 가진다.즉, 곡률이 국소 최소치 또는 국소 최대치에 도달하는 유일한 지점이다.^[6]마녀의 정의 원은 또한 정점에 있는 오스카하는 원이며,^[7] 같은 방향과 곡선을 공유함으로써 그 지점에서 곡선을 "키스"하는 독특한 원이다.^[8]이것은 곡선의 정점에 있는 오스카 원이기 때문에 3차 접촉이 있다.^[9]

곡선에는 두 개의 변곡점이 있다.

${\displaystyle \left(\pm {\frac {2a}{\sqrt{3}},{\frac {3a}{2}}\오른쪽)}}$

각도 $\theta {\displaystyle }$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle 6\mathrm{}}$ ${\displaystyle \theta$=\$pm \pi /6}$에 해당함$.$^[2][3] 투사 평면에서 곡선으로 간주할 때 무한대의 선이 점근에 의해 교차되는 지점에도 세 번째 무한 변곡점이 있다.그것의 변곡점 중 하나는 무한하기 때문에, 마녀는 어떤 비성격 큐빅 곡선의 유한한 실제 변곡점의 최소 개수를 가진다.^[10]

마녀와 그 무증상 사이에 새겨질 수 있는 직사각형의 가장 큰 면적은 높이가 정의 원의 반지름이고 너비가 원의 지름의 두 배가 되는 직사각형의 경우 $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$이다$.$^[5]

역사

초기 연구

이 곡선은 피에르 드 페르마트가 1659년 논문에서 4각형에서 연구했다.그 안에서 페르마트는 곡선 아래 영역을 계산하고 (상세없이) 같은 방법이 디오클레스의 시스소이드로도 확장된다고 주장한다.Fermat은 그 곡선이 그에게 "Ab urdito geometra"[학습된 지오미터에 의해]^[12] 제안되었다고 쓰고 있다.파라디스, 플라크 & 비아데르(2008)는 페르마에게 이 곡선을 제시한 지오미터가 앙투안 데 랄루베르였을 것이라고 추측한다.^[13]

이 곡선에 대해 위에 주어진 건축물은 그란디 (1718)에 의해 발견되었고, 같은 건축물은 아이작 뉴턴에 의해서도 일찍이 발견되었지만, 1779년에 사후에야 출판되었다.^[14]그란디(1718)는 또한 곡선에 대해 베르시에라(이탈리아어로) 또는 베르소리아(라틴어로)라는 이름을 제안했다.라틴어 용어는 돛을 돌리는 밧줄인 시트에도 쓰이지만, 그란디는 대신에 단지 그의 건축에 나타난 버진 기능을 언급하려는 의도였을지도 모른다.^{[5][14][15][16]}

1748년 마리아 게타나 아그네시는 초기 미적분학 교과서인 Institutioni ad ad uso deella gioventvent altiana를 출판했다.^[11]그 안에서, 처음에 두 개의 다른 곡선을 고려한 후에, 그녀는 이 곡선에 대한 연구를 포함한다.그녀는 곡선을 기하학적으로 일정한 비율을 만족하는 점의 중심점으로 정의하고, 그 대수 방정식을 결정하고, 그 꼭지점, 점근선, 변곡점을 찾는다.^[17]

어원

마리아 가에타나 아그네시는 베르시에라 그란디에 따라 곡선의 이름을 지었다.^[15][17]공교롭게도 당시 이탈리아에서는 신의 적수인 악마를 라틴 적수에서 파생된 아베르시에로나 베르시에로 같은 다른 말로 말하는 것이 일반적이었다.특히 베르시에라는 악마의 아내, 즉 '마녀'^[18]를 가리키는 데 사용되었다.이 때문에, 케임브리지의 존 콜슨 교수는 곡선의 이름을 "마녀"로 잘못 해석했다.^[19]아그네시에 관한 다른 현대 작품들과 곡선에 관한 다른 작품들은 이 오역이 정확히 어떻게 일어났는지 약간 다른 추측을 제시한다.^[20][21]Struik은 다음과 같이 언급한다.^[17]

[bersiera]라는 단어는 라틴어 베테레에서 유래된 말로, 턴을 뜻하지만, 이탈리아어 아바지에라, 암컷 데블의 약칭이기도 하다.영국의 어떤 위트가 그것을 '마녀'로 번역한 적이 있는데, 그 바보 같은 말장난은 여전히 우리 대부분의 영어 교과서에 사랑스럽게 보존되어 있다……이 곡선은 페르마(Oeuvres, I, 279–280; III, 233–234) 등의 저술에서 이미 나타났으며, 베르시에라라는 이름은 귀도 그란디(Quadratura circuli et hyperbolae, Pisa, 1703)에서 유래하였다.곡선은 뉴턴의 분류에서 63타입이다. ...이런 의미에서 '마녀'라는 용어를 처음 사용한 것은 B였을지도 모른다.윌리엄슨, 통합 미적분학, 7 (1875), 173;^[22] 옥스포드 영어 사전을 참조하라.

반면 스테판 스티글러는 그란디 자신이 "말로 하는 연극에 탐닉하고 있었을 수도 있다"고 제안하는데, 이는 악마에 버진, 사인 기능을 여자 가슴의 모양에 연결하는 이중 말장난(둘 다 이탈리아어로 "seno"라고 쓸 수 있다)^[14]이다.

적용들

곡선의 축척 버전은 Cauchy 분포의 확률밀도함수다.이것은 다음 랜덤 실험에 의해 결정된$$ 랜덤 $변수{\displaystyle }$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 확률 분포로, $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ -축$$ 위의$$ 고정 점 p ${\displaystyle p}$에 대해 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 통해 랜덤으로 선에서 균일하게 선택하고$$$x{\displaystyle }$ ${\displaysty$ x}을$$좌표가 되도록$$ 한다.이 임의의 선이 축을 가로지르는 지점의코치 분포는 정상 분포와 시각적으로 유사하게 정점 분포가 있지만, 무거운 꼬리는 대칭에도 불구하고 일반적인 정의에 의해 기대값을 갖는 것을 방해한다.마녀 그 자체로 볼 때, 이것은 이 지역의 대칭과 유한 영역에도 불구하고 곡선과 그 점근선 사이의 영역의 중심부에 $대한{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$x}-조율이$$ 잘 정의되어 있지 않다는 것을 의미한다.^[14][23]

수치해석에서는 보간점이 균일한 다항 보간법을 사용한 근사 함수에서 더 많은 점을 사용하면 더 나쁜 근사치를 만들어 보간법이 수렴되기보다는 근사치를 시도하려는 함수에서 벗어나는 경우가 있을 수 있다.이러한 역설적인 행동을 룬지의 현상이라고 한다.It was first discovered by Carl David Tolmé Runge for Runge's function ${\displaystyle y=1/(1+25x^{2})}$, another scaled version of the witch of Agnesi, when interpolating this function over the interval ${\displaystyle [-1,1]}$. The same phenomenon occurs for the witch ${\displaystyle y=1/(1+x^2}$${\displaystyle {}^{})}$ ${\displaystyle y=1/(1+$${\displaystyle \mathrm{x}}$$^{2}$그 자체로$$ [${\displaystyle }$- 5, ${\displaystyle 5]}$ ${\displaystyle [-5,5$^[24] .

아그네시의 마녀는 스펙트럼 라인의 스펙트럼 에너지 분포, 특히 X선 라인에 가깝다.^[25]

매끄러운 언덕의 단면은 마녀와 비슷한 모양을 하고 있다.^[26]이러한 모양의 곡선은 수학적 모델링의 흐름에서 일반적인 지형학적 장애물로 사용되어 왔다.^[27][28]깊은 물속의 고독한 파도도 이런 형태를 취할 수 있다.^[29][30]

이 곡선의 버전은 고트프리트 빌헬름 라이프니즈가 π의 라이프니즈 공식을 도출하기 위해 사용하였다.이 공식, 무한 시리즈

${\displaystyle {\frac {\pi}{4}=1\,-\,{\frac {1}{1}{3}\,+\,{\frac {1}{7}\,+\,{\frac {1}{9}\,-\cdots,}$

can be derived by equating the area under the curve with the integral of the function ${\displaystyle 1/(1+x^{2})}$, using the Taylor series expansion of this function as the infinite geometric series ${\displaystyle 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots }$, and integrating term-by-term.^[3]

대중문화에서

아그네시의 마녀는 로버트 스필러의 소설 제목이다.교사가 용어의 역사를 판별하는 장면도 포함돼 있다.^[31]

아그네시의 마녀는 재즈 사중주 레이디스의 음악 앨범 제목이기도 하다.앨범 표지에는 마녀의 건축 모습이 담겨 있다.^[32]

메모들

외부 링크

위키소스는 1911년 브리태니커 백과사전 기사 "아그네시의 마녀"의 원문을 가지고 있다.

위키미디어 커먼즈에는 아그네시의 마녀와 관련된 미디어가 있다.

• 맥튜터의 유명한 곡선지수에서 "아그네시의 마녀"
• Weisstein, Eric W., "Witch of Agnesi", MathWorld
• 에릭 W의 작품을 바탕으로 한 크리스 바우처의 아그네시의 마녀. Weisstein, The Wolfram 데모 프로젝트.
• "매트릭커브"의 "아그네시의 마녀
• Lamb, Evelyn (28 May 2018), "A Few of My Favorite Spaces: The Witch of Agnesi", Roots of Unity, Scientific American