아일스 직사각형

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아일스 직사각형은 직각 삼각형 4개로 구성된 직사각형으로, 기하급수적으로 15°와 75°^[1]의 삼각함수의 값을 찾기 위해 일반적으로 사용된다.그것은 더글러스 S의 이름을 따서 명명되었다.토론토에 있는 키플링 콜리지아테 학원의 고등학교 교사였던 Ailles.^[2][3]

건설

30°~60°~90° 삼각형은 길이 1, 2, $3$의 옆면을 가지고 있다$.$ 이러한 삼각형 두 개를 그림에 표시된 위치에 배치하면 가장 작은 직사각형이 $폭{\displaystyle \mathrm{}1\sqrt{\mathrm{}}}$ + 3${\$ 1$+{\sqrt{3}$과 $높이{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ 3$${\$displaystystyle {\sqrt{3$을 그려준다.원래 삼각형의 위쪽 모서리를 연결하면 길이 2, 2 및 (피타고라스 정리) $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ 2 ${\$ 2${\sqrt${\sqrt${2}}:}$의 옆면이 있는 둘 사이에 45°–45°–90°의 삼각형이 생성된다$.$직사각형 상단의 나머지 공간은 $15{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$°와 75°의 예각과 ${\displaystyle 3}$- 1 ${\displaystyle {\sqrt{3}-1$ ${\displaystyle 3}$+ 1 ${\displaystyle {\sqrt{3}+1$ ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ {\$displaystystyle$ 2${\sqrt{\$sqrt$}}}}}$의 옆면이 있는 직사각형이다$.$

파생 삼각법 공식

직사각형의 구성으로부터, 그것은 다음을 따른다.

${\displaystyle \sin 15^{\buffer }=\cos 75^{\buffer }={\frac {{\sqrt{3}-1}{2}}}{\frac {{\sqrt{6}-{\sqrt{2}},}}},}}},},}$

${\displaystyle \sin 75^{\buffer }=\cos 15^{\buffer }={\frac {{\sqrt{3}}+1}{2}}{\prac {{\sqrt{6}}}}},},}$

${\displaystyle \tan 15^{\flaim }=\frac{\sqrt{3}-1}{\\sqrt{3}+1}={\frac{{\sqrt{3}-1}:{3-1}^{3-1}}}:{3-{\sqrt{3,},}$

그리고

${\displaystyle \tan 75^{\flaim }=\frac{\sqrt{3}}+1}{\prac {{\sqrt{3}-1}={\prac{{\sqrt{3}+1)^{3-1}:{3-1}}}.}$

변종

An alternative construction (also by Ailles) places a 30°–60°–90° triangle in the middle with sidelengths of ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$, and ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$. Its legs are each the hypotenuse of a 45°–45°–90° triangle, one with legs of length ${\displaystyl$$e 1}$과(와) 길이의 $다리$가 3 ${\${\$sqrt{3}}$인 1개$.$^[4][5]15°–75°–90° 삼각형은 위와 같다.

참고 항목

• 정확한 삼각값

참조