최소 다항식 2cos(2pi/n)

For an integer ${\displaystyle n\geq 1}$, the minimal polynomial ${\displaystyle \Psi _{n}(x)}$ of ${\displaystyle 2\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}$ is the non-zero monic polynomial of degree ${\displaystyle 1}$ for ${\displaystyle n=1,2}$ and degree ${\displaystyle }$${\displaystyle \frac{}{}}$${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (n}$) ${\displaystyle {1}{1}{$2}}\$varphi$ ($n)}$ 정수 계수가 있는$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 3 ${\displaystyle n\geq$ 3$}$에 대해$$ $\psi n{\displaystyle {\mathrm{}}_{}{}_{}}$(${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$( 2 ${\displaystyle \frac{}{}}$n${\displaystyle }$) = ${\displaystyle 0}${\$displaystystyle \Psi _{n}\!$$\left(2\cos \left)({\frac {2\pi }{n}\오른쪽)\0$ $여기$서 $\phi {\displaystyle (n}$) ${\displaystyle \varphi(n)}$은 오일러의 토텐적 함수를 나타낸다$$.특히 n ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle n\leq$ 2$,}$의 경우 ${\displaystyle 1}$ $1{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= x${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \PSI$_${1}(x)=x-2}$및$$ $\psi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= $\displaysty \Psi _{2(x)=x+2$가 있다$.$$}$

모든 n에 대해 다항식 ${\displaystyle {nn}_{}(x}$) {\$displaystyle \Psi _{n$}(x$)}$은(는) 모닉이고 정수 계수를 가지며 정수와 합리적인 숫자에 대해 해석할 수 없다.그 뿌리는 모두 실재하며${\displaystyle ,}$ n과 1 ≤ ≤ n ${\displaystyle \frac{}{}}$ (2 k ime n$){\$로 k coprime을 가진$$ 실수 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \cos }$ 2 cos ${\displaystyle \backslash }$ (복사격성은 k = n = 1에 대해서만 발생할 수 있음을 의미한다.이러한 뿌리는 통일의 원시 n번째 뿌리의 실제 두 배다.

다항식 ${\displaystyle {\psi n}_{}}$(${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \Psi _{n}(x)}$은 모든 루트가 실제이고 주기적인 갈루아 그룹을 가진 불분명한 다항식의 대표적인 예다$$.

예

처음 몇 개의 다항식 \${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \Psi _{n}(x)}$은(는)

${\displaystyle {\begin{aigned}\psi _{1}(x)&=x-2\\\\psi _{2}(x)&=x+2\\\\\Psi _{3}(x)&=x+1\\\Psi _{4}(x)&=x\\\Psi _{5}(x)&=x^{2}+x-1\\\Psi _{6}(x)&=x-1\\\Psi _{7}(x)&=x^{3}+x^{2}-2x-1\\\Psi _{8}(x)&=x^{2}-2\\\Psi _{9}(x)&=x^{3}-3x+1\\\Psi _{10}(x)&=x^{2}-x-1\\\\psi _{11}(x)&=x^{5}+x^{4}+4x^{3}-3x^{2}+3x+3x+1\\\\\.Psi _{12}(x)&=x^{2}-3\\\Psi _{13}(x)&=x^{6}+x^{5}-5x^{4}-4x^{3}+6x^{2}+3x-1\\\Psi _{14}(x)&=x^{3}-x^{2}-2x+1\\\Psi _{15}(x)&=x^{4}-x^{3}-4x^{2}+4x+1\\\Psi _{16}(x)&=x^{4}-4x^{2}+2\\\Psi _{17}(x)&=x^{8}+x^{7}-7x^{6}-6x^{5}+15x^{4}+10x^{3}-10x^{2}-4x+1\\\\Psi _{18}(x)&=x^{3}-3x-1\\\psi _{19}(x)&=x^{9}+x^{8}+8x^{7}-7x^{6}+21x^{5}+15x^{4}-20x^{3}-10x^1\\\}Psi _{20}(x)&=x^{4}-5x^{2}+5\end{정렬}}}}$

n이 홀수인 경우 명시적 형식

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 홀수 소수인 경우 다항식 ${\displaystyle {\psi n}_{}}$(${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \Psi _{n}(x)}$은(는) Pascal 삼각형을 통과하는 "지그재그 경로"에 이어 이항 계수의 관점에서 작성할 수 있다$$.

$n$${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{2m}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n=2m+1}$및

${\displaystyle {\displaysty}\chi _{n}(x):&={\binom {m}{0}}x^{m}+{\binom {m-1}{0}}x^{m-1}-{\binom {m-1}{1}}x^{m-2}-{\binom {m-2}{1}}x^{m-3}+{\binom {m-2}{2}}x^{m-4}+{\binom {m-3}{2}}x^{m-5}--++\cdots \\&=\sum _{k=0}^{m}(-1)^{\lfloor k/2\rfloor }{\binom {m-\lfloor (k+1)/2\rfloor }{\lfloor k/2\rfloor }}x^{m-k}\\&={\binom {m}{m}}x^{m}+{\binom {m-1}{m-1}}x^{m-1}-{\binom {m-1}{m-2}}x^{m-2}-{\binom {m-2}{m-3}}x^{m-3}+{\binom {m-2}{m-4}}x^{m-4}+{\binom {m-3}{m-5}}x^{m-5}--++\cdots \\&=\sum _{k=0}^{m}(-1)^{\lfloor (m-k)/2\rfloor }{\binom {\lfloor (m+k)/2\rfloor }{k}}x^{k},\end{aligned}}}$

$그$ 다음 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle p_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\chi }_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \Psi _{p}(x)=\chi _{p}(x$$)\}$ primes p ${\displaystyp p}.$

If ${\displaystyle n}$ is odd but not a prime, the same polynomial ${\displaystyle \chi _{n}(x)}$, as can be expected, is reducible and, corresponding to the structure of the cyclotomic polynomials ${\displaystyle \Phi _{d}(x)}$ reflected by the formula ${\$$displaystyle \prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x)=x^{n}-1}$, turns out to be just the product of all ${\displaystyle \Psi _{d}(x)}$ for the divisors ${\displaystyle d>1}$ of ${\displaystyle n}$, including ${\displaystyle n}$ itself:

${\displaystyle \prod _{d\mid n \atop d>1}\psi _{d}(x)=\chi _{n}(x).}$

This means that the ${\displaystyle \Psi _{d}(x)}$ are exactly the irreducible factors of ${\displaystyle \chi _{n}(x)}$, which allows to easily obtain ${\displaystyle \Psi _{d}(x)}$ for any odd ${\displaystyle d}$, knowing its degree ${\displaystyle {\frac {1}$$\{$$2}\varphi (d)}.$ 예를 들어,

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{15}(x)&=x^{7}+x^{6}-6x^{5}-5x^{4}+10x^{3}+6x^{2}-4x-1\\&=(x+1)(x^{2}+x-1)(x^{4}-x^{3}-4x^{2}+4x+1)\\&=\PSI _{3}(x)\cdot \Psi _{5}(x)\cdot \Psi _{15}(x).\end{정렬}}}$

n이 짝수인 경우 명시적 형식

Chebyshev 다항식 및 위의$$ $홀수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$에 대한 제품 공식의 측면에서 아래 공식에서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$까지 도출할 수 있다.

${\displaystyle \prod _{d\mid n \atop d>1}\psi _{d}(x)={\Big (}\chi _{n+1}(x)+\chi _{n-1(x){\Big )}.}$

$이$와는 별도로 n =${\displaystyle {2k}^{}}$ ${\$가 짝수$$ 전력이라면 k ${\displaystyle \mathrm{k}}$ 2${\displaystyle k\$geq 2}에$대해$재귀가$$ 있다(OEIS: A158982 참조).

${\displaystyle \Psi \{2^{k+1$$^{2}-2}$,

$\psi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Psi _{4}(x)=x}$ 로 시작$.$

뿌리.

이후Ψ n()){\displaystyle \PsΨ n()){\displaystyle \Psi_{n}())의 근원은}2~왜냐면에 의해 1≤ k<>⁡(2π kn){\displaystyle 2\cos \left({\frac{2\pi k}{n}}\right)},[1], n2{1\leq k<,{\frac{n\displaystyle}{2}}}과gcd(k, n))1{\displaystyle \gcd(k,n)=1}. 주어진다.나는 _ᆩ())${}$은(는) 모니크(monic)로,

${\displaystyle \Psi \{n}(x)=\displaystyle \prod _{\begin{array}{{n}}}\\\gcd(k,n)=1\end{array}}\cos \left({\fr {2\pik}}{n\rig)\rig)\rif)\rif)\rift)\rif)\rig)\rig)\rift.}$

이 결과를 ${\displaystyle \cos }$ cos${\displaystyle (x}$) ${\displaystyle \cos(x)}$ 함수가 짝수라는 사실과 결합하면$,$ $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\$ $2$$\cos \left({\frac {2\pi$ k$}{n}\rig$)는 모든 양의 $정수{\displaystyle }$ n$}$과 정수 $k{\displaystyle }$ ${\displaystysty k}$에 대한 대수 정수라는 것을 알 수 있다$.$

사이클로토믹 다항식과의 관계

For a positive integer ${\displaystyle n}$, let ${\displaystyle \zeta _{n}=\exp \left({\frac {2\pi i}{n}}\right)=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)i}$, a primitive ${\displaystyle n}$-th root of unity. Then the minimal polynomial of ${\displaystyle \zeta _{n}}$ is given by the ${\displaystyle n}$-th cyclotomic polynomial ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$. Since ${\displaystyle \zeta _{n}^{-1}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)-\sin$$\left({\frac {2\pi }{n}}\right)i}$, the relation between ${\displaystyle 2\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}$ and ${\displaystyle \zeta _{n}}$ is given by ${\displaystyle 2\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)=\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}}$.이러한 관계는 0이 아닌 콤플렉스 $숫자{\displaystyle }$ z ${\displaystyle z}$을(를) 보유하는 Lehmer에 의해 증명된 다음과 같은 아이덴티티로 표시될 수 있다$.$^[2]

${\displaystyle \Psi _{n}\왼쪽(z+z^{-1}\오른쪽)=z^{-{-{\frac {\varphi (n)}{2}}}\Phi _{n}z}$

체비셰프 다항식과의 관계

1993년 왓킨스와 자이틀린은 ${\displaystyle {\psi n}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ ^[1]$\Psi _{n}(x)}$과 제1종 체비셰프 다항식 사이에 다음과 같은 관계를 설정하였다.

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{2s}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n=2s+1$}이$($가) 홀수인 경우^{[verification needed]}

${\displaystyle \prod _{d\mid n}\psi _{d}(2x)=2(T_{s+1}(x)-T_{s}(x)),}$

$그리고{\displaystyle }$ n${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{2s}}$ $[\displaystyle n=2s}$이(가) 짝수일 경우

${\displaystyle \prod _{d\mid n}\psi _{d}(2x)=2(T_{s+1}(x)-T_{s-1}(x).}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 2}$의 전력이라면, 더 나아가 직접적^[3] 전력도 가지고 있다$.$

${\displaystyle \PSI _{2^{k+1}(2x)=2T_{2^{k-1}(x).}$

상수계수의 절대값

${\displaystyle {\psi n}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \Psi _{n}(x)}$의 상수 계수의 절대값은 다음과 같이 결정할 수 있다$$.^[4]

${\displaystyle \Psi _{n}(0) ={\begin{cases}0&{\text{if}}\ n=4,\\2&{\text{if}}\ n=2^{k},k\geq 0,k\neq 2,\\p&{\text{if}}\ n=4p^{k},k\geq 1,p>2\ {\text{prime,}}\\1&{\text{otherwise.}}}\end{case}}$

생성된 대수 수 필드

The algebraic number field ${\displaystyle K_{n}=\mathbb {Q} \left(\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}\right)}$ is the maximal real subfield of a cyclotomic field ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$. If ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K_{n}}}$ denotes the ring of integers of ${\displaystyle K_{n}}$, then ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K_{n}}=\mathbb {Z} \left[\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}\right]}$. In other words, the set ${\displaystyle \left\{1,{\zeta }_n+{\zeta }_n^{-1},\dots ,{\left({\zeta }_n+{\zeta }_n^{-1}\right)}^{\frac{\phi (n)}{2}-1}\right\}}$${\displaystyle \left\{1,\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1},\ldots ,\left(\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}\right)^{{\frac {\varphi (n)}{2}}-1}\right\}}$ is an integral basis of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K_{n}}}$. In view of this, the discriminant of the algebraic number field ${\displaystyle K_{n}}$ is equal to the di다항식^[5] ${\displaystyle {\psi n}_{}x}$) ${\displaystyle \Psi _{n}(x)},$즉

${\displaystyle D_{K_{n}}={\begin{cases}2^{(m-1)2^{m-2}-1}&{\text{if}}\ n=2^{m},m>2,\\p^{(mp^{m}-(m+1)p^{m-1}-1)/2}&{\text{if}}\ n=p^{m}\ {\text{or}}\ 2p^{m},p>2\ {\text{prime}},\\\left(\prod _{i=1}^{\omega (n)}p_{i}^{e_{i}-1/(p_{i}-1)}\right)^{\frac {\varphi (n)}{2}}&{\text{if}}\ \omega (n)>1,k\neq 2p^{m}.\end{case}}}$

참조