리에즈 변환

조화 분석의 수학적 이론에서 리에즈 변환은 차원 d > 1의 유클리드 공간으로의 힐버트 변환의 일반화 계열이다.그것들은 단일 적분 연산자의 한 유형으로, 한 함수의 콘볼루션에 의해 주어진다는 것을 의미하며, 다른 함수의 콘볼루션에 의해 원점에 특이점이 있다.구체적으로, R에^d 대한 복합 값 함수 ƒ의 리에즈 변환은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle R_{j}f(x)=c_{d}\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\mathbf {R} ^{d}\backslash B_{\epsilon }(x)}{\frac {(x_{j}-t_{j})f(t)}{ x-t ^{d+1}}}\,dt}$

(1)

j = 1,2,...,d. 상수 c는_d 다음과 같은 치수 정규화 입니다.

${\dplaystyle c_{d}={\frac {1}{\pi \omega_{d-1}={\frac {\gamma[(d+1)/2]}{\pi ^{(d+1)/2}}.}$

여기서 Ω은_d−1 단위(d - 1)-볼의 체적이다.한도는 종종 주된 가치로, 또는 강화 유통과의 조화로써, 다양한 방법으로 쓰여진다.

${\displaystyle K(x)={\frac {1}{\pi \omega_{d-1}\,p.v.{\frac {x_{j}}{x_}{x}}{x{d+1}}}.}$

리에즈 변환은 전위 이론과 고조파 분석에서 고조파 전위의 상이한 가능성 특성에 대한 연구에서 발생한다.특히, 그것들은 칼데론-지그문트 불평등의 증거에서 발생한다(길바그 & 트뤼딩거 1983, §9.4).

승수 속성

Riesz 변환은 Fourier 승수에 의해 주어진다.실제로 Rƒ의_j 푸리에 변환은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\mathcal {F}(R_{j}f)(x)=-i{\frac {x_{j}}{x}}{x}}}{x}}}{x}}}}}x.}$

이 형태에서, 리에즈 변환은 힐버트 변환의 일반화라고 보여진다.낟알은 0도 동질의 분포다.이 마지막 관측의 특별한 결과는 리에즈 변환이 L²(R^d)에서 그 자체로 경계 선형 연산자를 정의한다는 것이다.^[1]

이 동질성 속성도 푸리에 변환의 도움 없이 보다 직접적으로 진술할 수 있다.만일 σ이_s 스칼라 s에 의한 R의^d 팽창인 경우, 즉 σx_s = sx인 경우, σ는_s 풀백을 통한 기능에 대한 작용을 정의한다.

$\displaystyle \sma _{s}^{*}f=f\put \put \ma _{s}.}$

Riesz는 다음과_s 같이 출퇴근을 변환한다.

${\displaystyle \sigma _{s}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\sigma _{x}^{*}f).}$

마찬가지로, 리에즈는 통역을 통해 통근하는 것을 변형시킨다.벡터 a를 따라 R에서^d τ_a 번역이 되게 하라; 즉 τ_a(x) = x + a.그러면

${\displaystyle \tau _{a}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\tau _{a}^{*}f).}$

최종 성질의 경우 리에즈 변환을 단일 벡터성 실체 Rƒ = (Rƒ₁,...,Rƒ_d)로 보는 것이 편리하다.R의^d 회전 ρ을 고려한다.회전은 공간 변수에 작용하며, 따라서 풀백을 통한 기능에 작용한다.그러나 공간 벡터 Rƒ에도 작용할 수 있다.최종 변환 속성은 Riesz 변환이 이 두 가지 작용에 대해 등가변성이 있다고 주장한다. 즉,

${\displaystyle \rho ^{*}R_{j}[(\rho ^{-1})^{*f]=\sum _{k=1}^{d}\rho_{jk}R_{k}f.}$

이 세 가지 특성은 사실 다음과 같은 의미에서 리에즈 변환의 특징을 나타낸다.T=(T₁,...,T_d)가 다음과 같이² L^d(R)에서² L^d(R)까지 경계 선형 연산자의 d-tuple이 되게 한다.

• T는 모든 확장과 번역을 통한다.
• T는 회전과 관련하여 불변하다.

그런 다음, 일부 상수 c의 경우 T = cR.

라플라시안과의 관계

다소 부정확하게, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 Riesz 변환은 방정식의 해법 중 첫 번째 부분파생물을 제공한다$$.

${\displaystyle {(-\Delta )^{\frac {1}{2}}u=f}}$

여기서 Δ는 라플라시안이다.따라서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 Riesz 변환은 다음과 같이 쓸 수 있다$$.

${\displaystyle {Rf=\nabla(-\Delta )^{-{\frac {1}{2}}:f}}}$

특히, 사람은 또한 가지고 있어야 한다.

${\displaystyle R_{i}R_{j}\Delta u=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}}}}$

그래서 Riesz 변환은 어떤 함수의 헤시안 전체에 대한 정보를 그것의 라플라시안 만의 지식으로부터 회복하는 방법을 제공한다.

이것은 이제 좀 더 정밀하게 만들어졌다.$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 슈워츠 함수라고 가정해 보십시오.그렇다면 실제로 푸리에 승수의 명시적인 형태에 의해, 사람은 다음과 같은 것을 갖게 된다.

${\displaystyle R_{i}R_{j}(\Delta u)=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}.}$

그 정체성은 분포의 의미에서 일반적으로 사실이 아니다.예를 들어 $u{\displaystyle }$ {\$displaystyle u}$이(${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$)$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( R d ) {\displaystyle$\$Delta u$\in L^2}(\mathb$ {R} $^{d})$과 같은 강화 분포인 경우$,$ u ${\$$d}라고$만 결론을 내릴 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}=-R_{i}R_{j}\Delta u+P_{ij}(x)}$

일부 다항식 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 경우$.$

참고 항목

• 힐버트 트랜스포메이션
• 포아송 커널
• 리에즈 포텐셜

참조

• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, New York: Springer, ISBN 3-540-41160-7.
• Stein, Elias (1970), Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton University Press.
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Arcozzi, N. (1998), Riesz Transform on spheres and compact Lie groups, New York: Springer, ISSN 0004-2080.