RC 회로

저항-캐패시터 회로(RC 회로) 또는 RC 필터 또는 RC 네트워크는 저항기와 캐패시터로 구성된 전기 회로입니다.전압 또는 전류 소스에 의해 구동될 수 있으며 이러한 소스는 서로 다른 반응을 생성합니다.1차 RC회로는 저항 1개와 콘덴서 1개로 구성되며 가장 단순한 유형의 RC회로이다.

RC 회로를 사용하여 특정 주파수를 차단하고 다른 주파수를 통과시킴으로써 신호를 필터링할 수 있습니다.가장 일반적인 2개의 RC 필터는 하이패스필터와 로우패스필터입니다.대역통과 필터와 밴드스톱 필터에는 보통 RLC 필터가 필요하지만 RC 필터를 사용하여 작성할 수 있습니다.

서론

저항기(R), 캐패시터(C) 및 인덕터(L)의 3가지 기본적인 선형 패시브 일괄 아날로그 회로 구성요소가 있습니다.이것들은, RC 회선, RL 회선, LC 회선, 및 RLC 회선으로 조합할 수 있습니다.두문자어는 어떤 컴포넌트가 사용되고 있는지를 나타냅니다.이들 회로는 그 중에서도 아날로그 전자제품의 기초가 되는 중요한 유형의 동작을 많이 나타냅니다.특히 수동 필터 역할을 할 수 있습니다.이 문서에서는 RC회로를 직렬 및 병렬 형태로 설명합니다(아래 그림 참조).

스러운 반응

RC 로 rc

가장 단순한 RC 회로는 외부 전압 소스 없이 단일 루프에서 서로 연결된 저항기와 충전된 캐패시터로 구성됩니다.회로가 닫히면 캐패시터는 저장된 에너지를 저항을 통해 방출하기 시작합니다.커치호프의 전류 법칙을 사용하여 캐패시터 전체의 전압을 확인할 수 있습니다.이것은 시간에 의존합니다.저항을 통과하는 전류는 캐패시터에 누적된 전하의 시간 도함수와 크기가 같아야 합니다(부호는 반대).이것은 선형 미분 방정식을 낳는다.

Cdisplaystyle C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}}=0,}

$여기$ 서 C는 캐패시터의 캐패시턴스입니다.

V에 $대해$ 이 방정식을 풀면 지수 붕괴 공식이 생성됩니다.

Vdisplaystyle V(t)=V_{0}e^{-{\frac {t}{RC}},}},}

$여기$ 서₀ V는 $시간$ t = $0$ 에서의 캐패시터 전압입니다.

에 대한 전압 .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output .s .mw-parser-output으로 떨어져 그 시간이 필요했다.Frac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}V0/e은 RC시간 계속 조르고 by,[1] 주어진다라고 불린다.

displaystyle=RC,})

이 공식에서 $θ$ 는 초 $단위$ 로, R은 옴 $단위$ 로, C는 패러드 단위로 측정됩니다.

$캐패시턴스$ C(패러드)를 가진 캐패시터의 복잡한 임피던스 $Z C$ (옴 단위)는 다음과 같습니다.

displaystyle Z_{C}=블랙 {1}{sC}}

복소수 $주파수$ s는 일반적으로 복소수입니다.

s +displaystyle s=\display +j\obega,}

서 ''는

$j$ 는 가상 단위를 나타냅니다. $j 2$ = $-1$ ,
θ는 지수감쇠상수(네퍼/초)이다.
θ는 정현파 각 주파수(초당 라디안 단위)이다.

정상

사인파 정상 상태는 입력 전압이 순수 사인파(지수 감쇠 없음)로 구성된 특수한 경우입니다.그 결과 $\sigma =0$ $\sigma =0$ $(\displaystyle$ \ $displaystyle = 0)$ 이 $\sigma =0$ 되면 임피던스는

}{\displaystyle Z_{C}=frac {1}{j\opega C}=-{\frac {j}{\opega C}},

직렬 RC 회로

회로를 분압기로 간주함으로써 캐패시터 전체의 전압은 다음과 같습니다.

{1}{{1}{V_)=displaystyle V_{C}={frac {C}{Cs}}{Cs}}}{Cs}}}{Cs}}}{R}}}}V_{\mathrm {in} }(s)}

은 다음과 같습니다.

{1V_ {s)=svsfrac {R}{\displaystyle V_{R}{R}{\FR}V_{\mathrm {in} }(s),}

함수 ★★★★

캐패시터를 통해 입력 전압에서 전압으로 전달 함수는 다음과 같습니다.

H_{C}(s)=paramfrac {V_{\mathrm {in}(s)}}=paramfrac {1}{1+RCS}}

마찬가지로, 입력에서 저항을 통해 전압으로의 전달 함수는 다음과 같습니다.

({displaystyle H_{R}(s)=vfrac {V_{rm {in}}}}=vfrac {RCS}{1+RCS}}})

과 영

두 전달 기능 모두 1개의 극이 다음 위치에 있습니다.

}{\displaystyle s=-{\frac {1}{RC}}}

또한 저항기 전체의 전압 전송 함수는 원점에 위치한 0을 가집니다.

과

RC 및 RC: RC: RC 회선 및 위상전송 함수

는 두두 the the the the the the the 음음 음음 the음 the the the the 음 the 음 the the the the the 。

오른쪽 RC^=\left {{V_{C}(j\obega)}{V_{\mathrm {in}(j\obega}}}\right =sfrac {1}{\bigrt1+\obega}(RC^2})

★★★★★★★★★★★★★★★★★」

{V_mathrm { =\ { RC오른쪽big}{\obe RC}{\big }=\left(\frac {V_{R}(j\obega)}{V_{\mathrm {in}(j\obega}}}\right =\frac {mathrm {in}{\bigrt}{\obe RC}{\big }

은 '위'입니다.

\\Omega)=\^{-RC\displaystyle \phi _{C}=\angle H_{C}(j\Omega)=\fact\Omega RC\right}

★★★★★★★★★★★★★★★★★」

=\ H_)=\{1}{\ RCright},\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(j\ope)=\tan ^{-1}{frac}{fright} {fright} {fright})

이러한 표현은 출력을 나타내는 페이저의 통상적인 표현으로 치환할 수 있습니다.

}{R}}{enddisplaystylementC}&=G_{C}V_{\mathrm {in}e^{j\phi_{C}}\V_{\mathrm {in}e^{j\phi_R}{\end}}, 정 c c c 。

내 .

I {displaystyle I(s)=mathrm {in}(s){R+\ {csCs}}{Cs}}{Cs}}}V_{\mathrm {in} }(s),}

RC RC

각 전압에 대한 임펄스 응답은 해당 전송 함수의 역라플라스 변환입니다.임펄스 또는 Dirac 델타 함수로 구성된 입력 전압에 대한 회로의 응답을 나타냅니다.

은 「Dr.C.」입니다.

h_{C}(tfrac {1}{RC}e^{-{\frac {t}{\frac {t}{\displaystyle h_C} {tflac}}RC}}u(t)=black{1}{\flac}}e^{-{\flac}}u(t})

$여기$ 서u( $t)$ 는 헤비사이드 스텝 함수이고 $θ$ = $RC$ 는 시간 상수입니다.

은 찬찬지지음음음음음음음음음음음음음음음음음음음음음음 similarly similarly similarly similarly이다.

displaystyle h_{R}(t)=\delta(t)-{RC}e^{-{\frac {t}{\frac {t}{t}{\displaystyleRC}}u(t)-{\delta(t)-{\frac}}e^{-{\frac}{frac}{frac}}{frac}}}{frac}}}}}}u(t})

여기서 $θ$ ( $t)$ 는 Dirac 델타 함수입니다.

이것들은 주파수 도메인식입니다.이러한 분석을 통해 회로(또는 필터)가 통과 및 제거되는 주파수를 알 수 있습니다.이 분석은 빈도가 매우 크고 매우 작아짐에 따라 이러한 이득에 어떤 일이 일어나는지에 대한 고려에 기초한다.

$ω$ → $:$ 로서:

{\ 0{and}\G_{R}\to 1,.#displaystyle G_{C}\displaystyle G_{R}\ 1입니다.}

$ω$ → $0$ 으로 지정:

1 0 (*displaystyle G_{C} 1 1쿼 G_{R} 0 0 ） 。}

이는 출력이 캐패시터를 통해 취해진 경우 고주파가 감쇠(접지 단락)되어 저주파가 통과됨을 나타냅니다.따라서 회로는 로우패스필터로서 동작합니다.단, 출력이 저항을 통과하면 고주파가 통과되고 저주파가 감쇠됩니다(콘덴서가 주파수가 0에 가까워지면 신호를 차단하므로).이 설정에서는, 회선은 하이 패스 필터로서 동작합니다.

필터가 통과하는 주파수 범위를 대역폭이라고 합니다.필터가 신호를 필터되지 않은 전력의 절반까지 감쇠시키는 지점을 컷오프 주파수라고 합니다.이를 위해서는 회로의 이득이 다음과 같이 감소해야 합니다.

G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}

C

G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}

G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}

R

G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}

G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}

(\

displaystyle

G_

{C

}

= G_

{R} =

flac {1}

{\

displayrt {2}}

)

G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}

。

위의 방정식을 풀면 산출된다.

\mathrm {c} =subscfrac {1} {RC} } \quad {mbox {or} \subsc f_{\mathrm {c} =subscfrac {1} {2\pi RC}

필터가 원래 전력의 절반으로 감쇠하는 주파수입니다.

이 효과는 이득 변동보다 일반적으로 덜 흥미롭지만 위상은 주파수에 따라 달라진다.

$ω$ → $0$ 으로 지정:

\displaystyle \phi _{C}\to 0\mbox {and}\display \phi _{R}\to 90^{\display}=blac {pi }{2}}{\mbox {radians}},}

$ω$ → $:$ 로서:

\displaystyle \phi _{C}\to -90^{\display}=-{\frac {pi}{2}}{mbox{and}}\display \phi _{R}\to 0,}

따라서 DC(0Hz)에서 콘덴서 전압은 신호 전압과 위상이 일치하지만 저항 전압은 90°만큼 리드합니다.주파수가 증가함에 따라 캐패시터 전압은 신호에 대해 90° 지연되며 저항 전압은 신호와 동상이 됩니다.

시간 도메인에 관한 고려 사항

이 섹션은 자연 로그 상수인 e에 $대한$ 지식에 의존합니다.

시간 도메인 동작을 도출하는 가장 간단한 방법은 위에 제공된 V $및 R$ V 식에 $대한 C$ Laplace 변환을 사용하는 것입니다.이는 $효과적$ 으로 jµ → $s$ 를 변환합니다. 스텝 입력을 가정할 때(즉 $in$ , t = 0 $이전$ $V$ = $0$ , $이후 in$ V = $V$ ):

디스플레이 스타일V_{\mathrm {in}(s)&=V\cdot {1}{s}\V_{C}&=V\cdot {1}{1+sRC}}\cdot {1}{s}\V_{R}&=V\cdot {1+sRC}\cdot {frac {1}{s},\end { aligned}}

콘덴서 전압 스텝-응답.

저항 전압 스텝-응답.

부분 분수 확장 및 역 라플라스 변환 수율:

{\displaystyle\begin{C}(t)&=V\left(1-e^{-{\frac{t}}{RC}}\right)\\V_{R}(t)&=Ve^{-{\frac {t}{RC}}},\end { aligned}}

이 방정식은 캐패시터가 충전 중일 때 캐패시터와 저항기의 전압을 각각 계산하기 위한 것입니다.방전 시 방정식은 그 반대입니다.이러한 방정식은 C = $Q / V$ $및$ V = $IR$ 관계를 $사용$ 하여 충전 및 전류 측면에서 다시 작성할 수 있습니다(옴의 법칙 참조).

따라서 그림과 같이 콘덴서의 전압은 시간이 경과함에 따라 $V$ 로 향하는 반면 저항기의 전압은 0으로 향하는 경향이 있습니다.이는 콘덴서가 시간이 지남에 따라 공급 전압에서 충전되고 최종적으로 완전히 충전된다는 직관적인 시점과 일치합니다.

이러한 방정식은 직렬 RC 회로에 시간 상수가 있음을 나타냅니다. 일반적으로 $δ$ = RC는 구성 요소 전체의 전압이 최종 값의 1 $/ e$ $이내$ 까지 상승(캐패시터 조정)하거나 하강(저항 조정)하는 데 걸리는 시간입니다.즉, $θ$ 는 V( $1~ 1 / e$ )에_R 도달하고 V $($ 1 $/ e)$ 에 $도달$ 하는 데 $걸리는 C$ 시간입니다.

변화율은 $µ당$ 1 - 1/ $e$ 의 $소수$ 입니다.따라서 t = $Nµ$ 에서 t = ( $N +$ 1) $µ$ 로 $이동$ 할 때 전압이 t = $Nµ$ 의 $레벨$ 에서 최종 값으로 약 63.2% 이동하게 됩니다.따라서 콘덴서는 µ $이후$ 약 63.2%까지 충전되며, 약 $5µ$ 이후는 기본적으로 완전 충전(99.3%)됩니다.콘덴서가 완전히 충전된 상태에서 전압 소스를 단락 회로로 교체하면 콘덴서 전체의 전압이 $V$ 에서 0으로 t와 $함께$ 기하급수적으로 떨어집니다.콘덴서는 $δ이후$ 약 36.8%까지 방전되며, $약$ 5º이후에는 기본적으로 완전 방전(0.7%)됩니다.회로의 전류 $I$ 는 옴의 법칙을 통해 저항 전체의 전압과 동일하게 작동합니다.

이러한 결과는 회로를 설명하는 미분 방정식을 풀어서도 얻을 수 있습니다.

{\frac {V_{\mathrm {in}}-V_{C}}{R}}&=C{\frac {dV_{C}}{dt}}\V_{\mathrm {in}}}-V_{C},\end { aligned}

첫 번째 방정식은 적분 계수를 사용하여 해결되고 두 번째 방정식은 쉽게 따라갑니다. 해법은 Laplace 변환을 통해 얻은 것과 정확히 동일합니다.

인테그레이터

고주파에서의 캐패시터 전체의 출력을 고려합니다.

{\displaystyle\gg{frac{1}{RC}},}

이는 캐패시터가 충전할 시간이 부족하여 전압이 매우 작다는 것을 의미합니다.따라서 입력 전압은 저항 전체의 전압과 거의 동일합니다.이를 확인하려면 위의 I $(\displaystyle$ I $)$ $I$ 을 $I$ 고려하십시오.

I=mathfrac {V_{\mathrm {in}}}}}{R+{\frac {1}{j\omega C}}}},

하지만 설명된 주파수 조건은 다음과 같은 것을 의미합니다.

{\displaystyle \mega C\gg {frac {1} {R}},

그렇게

I\약 {\frac {V_{\mathrm {in}}} {R}

옴의 법칙일 뿐이죠

지금이다,

V_{C}=paramfrac {1}{C}\int _{0}^{t}I,dt,

그렇게

V_{C}\약 {frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}V_{\mathrm {in},dt,

콘덴서 전체에 걸친 인테그레이터입니다.

차별화 요소

저주파수에서의 저항기 전체의 출력을 고려합니다.

\displaystyle \ll \frac {1} {RC}, .

즉, 콘덴서는 전압이 소스의 전압과 거의 같아질 때까지 충전할 시간이 있습니다.다시 한 번 저에 $대한$ 표현을 생각해보면

R\ll {frac {1} {\Omega C}},

그렇게

디스플레이 스타일I&\approx {V_{\mathrm {in}}{\frac {1}{j\mathrm {in}}\V_{\mathrm {in}}\approx {j\mathrm {in}}=V_{C},\end { aligned}}

지금이다,

{begin{r}V_{R}&=IR=C{\frac {dV_{C}}{dt}}R\\V_{R}&\approx RC{\frac {dV_{in}}{dt}},\end {aligned}

저항기 전체의 차별화 요인입니다.

OP 앰프의 입력 및 피드백 루프에 저항기와 캐패시터를 적절히 배치함으로써 보다 정확한 통합 및 분화를 달성할 수 있습니다(OP 앰프 적분기 및 OP 앰프 미분기 참조).

PWM RC 시리즈 회로

병렬 회로

병렬 RC 회로

병렬 RC 회로는 일반적으로 직렬 회로보다 관심이 적습니다.이는 주로 출력 $전압 out$ V가 입력 $전압 in$ V와 같기 때문에 전류 소스에 의해 공급되지 않는 한 이 회로가 입력 신호의 필터 역할을 하지 않습니다.

복잡한 임피던스:

디스플레이 스타일I_{R}&=paramfrac {V_{\mathrm {in}}}}{R}}\\I_{C}&=j\omega CV_{\mathrm {in}},\end { aligned}}

이는 캐패시터 전류가 저항(및 소스) 전류와 90° 위상 어긋남을 나타냅니다.또는 지배 미분 방정식을 사용할 수 있다.

디스플레이 스타일I_{R}&=paramfrac {V_{\mathrm {in}}}}{R}}\\I_{C}&=C{\frac {dV_{\mathrm {in}}}}{dt}},\end { aligned}}

전류 소스에 의해 공급될 때 병렬 RC 회로의 전송 기능은 다음과 같습니다.

{V_{\mathrm {out}}}{I_{\mathrm {in}}}=sq {R}{1+sRC}}, .

합성

경우에 따라서는, 의 소정의 합리적 함수로부터 RC회로를 합성할 필요가 있습니다.수동 요소에서 합성이 가능하려면 함수가 양의 실함수여야 합니다.RC 회로로 합성하려면 모든 임계 주파수(극과 영점)가 음의 실제 축에 있어야 하며 각각 동일한 수의 극과 영점 사이를 번갈아 이동해야 한다.또한 유리함수가 어드미턴스가 아닌 임피던스를 나타낸다고 가정할 때 원점에 가장 가까운 임계 주파수는 극이어야 한다.

합성은 LC 회로 합성에 사용되는 포스터 합성 또는 코어 합성을 수정하여 달성할 수 있습니다.코어 합성의 경우 저항기와 콘덴서의 사다리 네트워크가 발생합니다.^[2]

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Horowitz & Hill, 1.13페이지
^ 박시 & 박시, 3-30-37페이지

참고 문헌

미국, Bakshi, A.V., Circuit Analysis - II, Technical Publications, 2009년 ISBN 9788184315974.
Horowitz, Paul; Hill, Winfield, The Art of Electronics (제3판), 케임브리지 대학 출판부, 2015 ISBN 0521809266.

[1] Horowitz & Hill, 1.13페이지

[2] 박시 & 박시, 3-30-37페이지

[2]

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서론

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