s-평면의

수학과 공학에서 s-평면은 라플레이스가 변환하는 복잡한 평면이다. 시간 기반 함수로 모델링된 시간 영역의 프로세스를 보는 대신 주파수 영역의 방정식으로 보는 수학 영역이다. 공학과 물리학에서 그래픽 분석 도구로 사용된다.

시간 $t$ ${\displaystyle t$ $}$ 의 $f$ 실제 함수 $f$ ${\displaystyle$ $f$ $}$ 을(를) $e^{-st}$ - $e^{-st}$ $e^{-st}$ ${\$ e $^{-$ $s=\sigma +i\omega$ $}$ 에 $e^{-st}}$ 곱한 함수의 적분을 0에서 $\infty$ ${\$ $displaystystyle \infty$ $}$ 까지 취함으로써 s-plane로 변환된다 $t$ $s=\sigma +i\omega$ 여기서 $\큰$ s = $σ$ = $s=\sigma +i\omega$ =.

F(s)=\int _{0}^{}\f(t)e^{-st}\,dt\;\;\in \mathb {C}}

t-도메인에서 s-도메인으로의 이러한 변환은 Laplace 변환으로 알려져 있으며 F $F(s)$ ) $F$ 라는 함수를 f $f$ 의 Laplace 변환이라고 한다 $F(s)$ $f$ 라플라스 변환은 푸리에 분석 과정과 유사하다. 사실 푸리에 시리즈는 라플라스 변환의 특별한 경우다. 푸리에 분석에서 고조파 사인파 및 코사인파가 신호로 곱되며, 결과적 통합은 해당 주파수(즉, 주파수 영역의 한 지점에서 신호의 에너지)에 대한 표시를 제공한다. 라플라스 변환은 같은 일을 하지만 더 일반적으로 한다. $e^{-st}$ - $e^{-st}$ $e^{-st}$ ${\$ e $^{-st}}$ 은(는) $e^{-i\omega t}$ $e^{-i\omega t}$ - i $e^{-i\omega t}$ t $e^{-i\omega t}$ {\ $displaystyle e$ ^{- $i\omega$ t $}$ 성분을 $e^{-i\omega t}$ 통해 주파수 응답을 캡처할 뿐만 아니라 $e^{-st}$ $e^{-\sigma t}$ $e^{-\sigma t}$ - $e^{-\sigma t}$ t ${\$ 성분을 $e^{-\sigma t}$ 통해 붕괴 효과도 포착한다. 예를 들어, 감쇠 사인파는 라플라스 변환을 사용하여 올바르게 모델링할 수 있다.

s-평면의 함수는 역 래플라스 변환을 사용하여 시간의 함수로 다시 변환될 수 있다.

f(t)={1 \over 2\pi i}\lim _{T\to \infit }\int_{\gamma -iT}^{\gamma +iT}F^{st}\ds

여기서 실제 숫자 $\gamma$ $\gamma$ 을 선택하여 $\gamma$ $F(s)$ 경로가 F $F(s)$ ( $F(s)$ $){\displaystyle F(s)}$ 의 수렴 영역 내에 있다 $F(s)$ 그러나 이 복잡한 적분을 사용하기보다는 대부분의 관심 기능이 라플라스 변환 쌍의 표와 코우치 잔여 정리를 사용하여 번역된다.

s-plane 방정식의 복잡한 뿌리를 분석하고 이를 Argand 다이어그램에 표시하면 실시간 시스템의 주파수 응답과 안정성에 대한 정보가 드러날 수 있다. 이 과정을 루트 로커스 분석이라고 한다.

참고 항목

외부 링크

s-평면에서 z-평면으로 매핑하는 그림
Kevin Brown (2015) Laplace Transforms at Math Pages.

이 수학적 분석 관련 기사는 단조롭다. 위키피디아를 확장하여 도울 수 있다.

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