양실함수

흔히 PR함수나 PRF로 약칭되는 양실함수는 전기망 합성에서 처음 생겨난 수학함수의 일종이다.복합변수의 복합함수인 Z(s)이다. 합리적 함수는 양성실체부위를 가지며 복합면의 오른쪽 절반에서 분석되어 실제 축의 실제 값을 갖는다면 PR 속성을 갖는 것으로 정의된다.

기호에서 정의는,

${\displaystyle {\begin{aigned}&\re [Z]0\quad {\text{if}}\quad \re\&\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\.임 [Z]=0\quad {\text{if}}\quad \im(s)=0\end{arged}}}$

전기 네트워크 분석에서 Z는 임피던스 식을 나타내며 s는 종종 그것의 실제 부분과 가상 부분으로 표현되는 복잡한 주파수 변수다.

$\displaystyle s=\disma +i\omega \,\!}$

PR 조건을 명시할 수 있는 조건

${\displaystyle {\begin{aigned}&\re [Z]0\quad {\text{if}}\quad \sigma >0\&\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\.임 [Z]=0\quad {\text{if}}\quad \omega =0\end}정렬}}$

PR 조건의 네트워크 분석의 중요성은 실현 가능성 조건에 있다. Z는 PR 조건을 만족하는 경우에만 단일 포트 합리 임피던스로 실현 가능하다.이러한 의미에서 실현가능하다는 것은 임피던스가 유한한(헨스 이성적) 수의 이산 이상적인 패시브 선형 요소(전기 용어의 저항기, 인덕터 및 캐패시터)로부터 구성될 수 있다는 것을 의미한다.^[1]

정의

양성-실제 함수라는 용어는 원래 오토 브루네가^[1][2] 정의한 함수 Z를 기술하기 위해 정의한 것이다.

• 합리적이다(두 다항식의 지수).
• s가 진짜일 때 진짜다.
• s가 양의 실제 부품을 가질 때 양의 실제 부품을 가지고 있음

많은 저자들은 적어도 첫 번째 사례에서 합리성을 명시적으로 요구하거나 ^[3]합리적 기능에 대한 주의를 제한함으로써 이 정의를 엄격히 준수한다.^[4]그러나, 합리적인 기능에 국한되지 않은 비슷한 보다 일반적인 조건은 일찍이 카우어(Cauer)에 의해 고려된 바 있으며,^[1] 어떤 저자들은 이러한 유형의 조건 때문에 긍정-실재라는 용어를 인용하는 반면, 다른 저자들은 이를 기본적 정의의 일반화로 간주하고 있다.^[4]

역사

이 조건은 필요한 조건이라고 판단한 빌헬름 카우어(1926년)^[5]에 의해 처음 제안되었다.오토 브루네(1931)^[2][6]는 그 조건에 대해 '긍정적 현실'이라는 용어를 만들어 냈고, 실현가능성을 위해 필요하면서도 충분하다는 것을 증명했다.

특성.

• 두 PR 함수의 합은 PR이다.
• 두 가지 PR 기능의 구성은 PR이다.특히 Z가 PR이라면 1/Z와 Z(1/s)도 PR이다.
• PR 함수의 모든 0과 극은 왼쪽 반평면 또는 가상 축의 경계에 있다.
• 상상의 축에 있는 모든 극과 영은 단순하다(다중성이 1이다).
• 상상의 축에 있는 모든 극은 실제의 양의 잔류물을 가지고 있으며, 마찬가지로 상상의 축에 있는 어떤 0에서도 함수는 실제의 양의 양의 파생물을 가지고 있다.
• 오른쪽 반평면에 걸쳐서 PR함수의 실제 부분의 최소값은 상상의 축에서 발생한다(분석함수의 실제 부분이 평면 위의 고조파 함수를 구성하므로, 따라서 최대 원리를 만족시키기 때문이다).
• 합리적인 PR 함수의 경우 극의 수와 0의 수가 최대 1개씩 다르다.

일반화

더 넓은 종류의 수동형 선형 전기 네트워크의 부동함수를 특징짓기 위한 의도로 몇 가지 일반화가 이루어지기도 한다.

비이성 함수

(반무한 사다리와 같은) 무한한 수의 구성요소로 구성된 네트워크의 임피던스 Z는 s의 합리적인 함수가 될 필요가 없으며, 특히 음의 실제 s축에 분기점이 있을 수 있다.따라서 PR의 정의에서 그러한 기능을 수용하기 위해서는 모든 실제 s에 대해 기능이 실재한다는 조건을 완화할 필요가 있으며, s가 양수일 때만 이것을 요구한다.따라서 비합리적인 함수 Z는 만약의 경우에 한하여 PR이다.

• Z는 열린 우측 절반 s 평면에서 분석한다(Re[s] > 0).
• s가 양수이고 실제일 때 Z가 실제임
• Re[s]가 0일 때 Re[s] ≥

어떤 저자들은 이 보다 일반적인 정의에서 출발하여, 그것을 합리적인 사례로 구체화한다.

행렬 값 함수

둘 이상의 포트가 있는 선형 전기 네트워크는 임피던스 또는 입장 행렬로 설명할 수 있다.따라서 PR의 정의를 매트릭스 값 함수로 확장함으로써 수동적인 선형 다중 포트 네트워크와 그렇지 않은 네트워크를 구별할 수 있다.비합리적인 매트릭스 값 함수 Z는 다음과 같은 경우에만 PR이다.

• Z의 각 요소는 열린 우측 절반 s 평면에서 분석한다(Re[s] > 0).
• s가 양이고 실제일 때 Z의 각 요소는 실제가 된다.
• Re[s] ≥ 0일 때 은둔자^† 부분(Z) + Z(s)/2는 양의 반확정이다.

참조

• 빌헬름 카우어 (1932년)Poisson Integrated for Fositive Real Parts, 미국수학협회 회보 38:713–7, Project 유클리드 링크.
• W. Cauer(1932) "위버 펑크티멘 mit positivemet Realteil", Matheaticische Annalen 106: 369–94.