체비셰프 필터

선형아날로그 전자필터
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이 기사의 리드 섹션은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오. (2019년 11월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

체비셰프 필터는 버터워스 필터보다 가파른 롤오프가 있는 아날로그 또는 디지털 필터로 패스밴드 리플(타입 I) 또는 스톱밴드 리플(타입 II)이 있다. 체비셰프 필터는 필터 범위에 걸쳐 이상화된 필터 특성과 실제 필터 특성 사이의 오류를 최소화하는 속성을 갖는다(예: [Daniels] 참조),[루토바크]),^{[citation needed]} 그러나 패스밴드에 잔물결이 일고 있다. 이러한 유형의 필터는 수학적인 특성이 체비셰프 다항식으로부터 파생되었기 때문에 Pafnuty Chebyshev의 이름을 따서 명명되었다. 제1종 체비셰프 필터는 보통 "체비셰프 필터"라고 하며, 제2종 필터는 대개 "역방향 체비셰프 필터"라고 한다.

체비셰프 필터에 내재된 패스밴드 리플 때문에 특정 애플리케이션에서는 패스밴드에서는 반응이 부드럽지만 스톱밴드에서는 반응이 더 불규칙한 필터를 선호한다.^{[citation needed]}

유형 I Chebyshev 필터(Chebyshev 필터)

제1종 체비셰프 필터는 체비셰프 필터의 가장 일반적인 유형이다. The gain (or amplitude) response, ${\displaystyle G_{n}(\omega )}$, as a function of angular frequency ${\displaystyle \omega }$ of the nth-order low-pass filter is equal to the absolute value of the transfer function ${\displaystyle H_{n}(s)}$ evaluated at ${\displaystyle s=j\omega }$:

${\displaystyle G_{n}(\omega )=\왼쪽 H_{n}(j\omega )\오른쪽={\frac {1}{\sqrt{1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}\왼쪽({\frac {\omega }{\omega _{0}}\오른쪽)}}}}$

여기서 ${\displaystyle \varepsilon }$은(는) 리플레인자, ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle \omega_{0}$은 컷오프 주파수$$, ${\displaystyle {Tn}_{}}$${\displaystyle$ $T_{n$$}}}$은(는) $순서$의 체비셰프 다항식이다.

The passband exhibits equiripple behavior, with the ripple determined by the ripple factor ${\displaystyle \varepsilon }$. In the passband, the Chebyshev polynomial alternates between -1 and 1 so the filter gain alternate between maxima at G = 1 and minima at ${\displaystyle G=1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}$.

따라서 리플 계수 ε은 데시벨 단위의 패스밴드 리플 Δ와 관련된다.

${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {10^{\reason /10}-1}.}$

컷오프 주파수 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에서 이득은$$ 다시 값 $1{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle 1\sqrt{\mathrm{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$ 1$/{\sqrt{1+\varepsilon ^{2}}}$을 갖지만 주파수가$$ 증가함에 따라 정지대역 안으로 계속 떨어진다. 이 동작은 오른쪽의 도표에 나타나 있다. 컷오프 주파수를 -3dB로 정의하는 일반적인 관행은 일반적으로 체비셰프 필터에는 적용되지 않는다. 대신 컷오프는 이득이 최종 시간 동안 리플 값으로 떨어지는 지점으로 간주된다.

3dB 주파수 Ω은_H Ω₀ by:

${\displaystyle \omega _{H}=\omega _{0}\cosh \왼쪽({\frac {1}{n}}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\barepsilon }\right)}$

체비셰프 필터의 순서는 아날로그 전자장치를 사용하여 필터를 실현하는 데 필요한 반응성 성분(예: 인덕터)의 수와 동일하다.

복잡한 평면의 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle j\omega }$축에$$ 0을 허용함으로써 정지 대역에 리플이 허용될 경우 고른 고른 롤오프를 얻을 수 있다. 그러나, 이것은 정지 대역의 억제를 감소시킨다. 그 결과를 타원형 필터라고도 하며, 카우어 필터라고도 한다.

극과 영

단순성을 위해 컷오프 주파수는 통일과 동일하다고 가정한다. 체비셰프 필터의 게인함수의 극$$$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}{m}_{}}$ ) ${\displaystyle(\omega _{pm})$은 게인함수의 분모의 0이다. 복합 주파수 s를 사용하면 다음과 같은 경우에 이러한 현상이 발생한다.

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-js)=0.\,}$

정의${\displaystyle }$- ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle s}$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \theta }$ ) ${\displaystyle -js=\cos(\theta )}$ 및$$ 체비셰프 다항식 수율의 삼각계 정의 사용:

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\cos(\theta )=1+\varepsilon ^{2}\cos ^{2}(n\theta )=0.\,}$

▼ ${\displaystyle \theta}$에 대한 해결 중

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{n}\arccos \leftleft\frac {\pm j}{\barepsilon }\right)+{\frac {m\pi}{n}}}}}$

여기서 호 코사인 함수의 다중 값은 정수 지수 m을 사용하여 명시적으로 만든다. 체비셰프 게인 함수의 극은 다음과 같다.

${\displaystyle s_{pm}=j\cos(\theta )\,}$

${\displaystyle =j\cos \lefts\frac {1}{n}}\arccos \lefts\frac {\pm j}{\varepsilon }\오른쪽)+{\frac {m\pi}{n}\오른쪽).}$

삼각함수와 쌍곡선 함수의 특성을 사용하여 명시적으로 복잡한 형식으로 작성할 수 있다.

${\displaystyle s_{pm}^{\pm }=\pm \sinh \left({\frac {1}{n}\mathrm {arsinh} \refrac {1}{{\barepsilon }\right)\sin(\ta _{m})$

${\displaystyle +j\cosh \lefts\frac {1}{n}\mathrm {arsinh} \lefts\frac {1}{\barepsilon }\right)\cos(\theta _{m})}$

여기서 m = 1, 2, ..., n 및

${\displaystyle \theta _{m}={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}}.}$

This may be viewed as an equation parametric in ${\displaystyle \theta _{n}}$ and it demonstrates that the poles lie on an ellipse in s-space centered at s = 0 with a real semi-axis of length ${\displaystyle \sinh(\mathrm {arsinh} (1/\varepsilon )/n)}$ and an imaginary semi-axis of leng${\displaystyle \cosh }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{r}}$ ${\displaystyle \mathrm{s}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle h}$( 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \epsilon }$)${\displaystyle }$/ n${\displaystyle }$) . ${\displaystyle \cosh(\mathrm {arsinh} (1/\barepsilon )/n)$의 th.$}$

전송 함수

위의 표현은 이득 G의 극을 산출한다. 각각의 복잡한 극에는 복잡한 결합인 또 다른 것이 있고, 각 결합 쌍에는 쌍의 부정적인 두 가지가 더 있다. 전달 기능은 안정적이어야 하며, 그 극이 음의 실제 부품을 갖는 이득의 극이며, 따라서 복잡한 주파수 공간의 왼쪽 절반 면에 위치한다. 그런 다음 전송 함수는

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{2^{n-1}\varepsilon }\\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{{s-s_{pm}^{-}}}}}}}}}}}}$

여기서 $s{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle p_{}^{}}$ ${\displaystyle m_{}^{}}$- ${\$은(는) 위의 방정식에서 얻은, 실제 용어 앞에 음의 기호가 있는 이득의 극일 뿐이다$$.

그룹 지연

그룹 지연은 각도 주파수에 관한 위상의 파생물로 정의되며, 서로 다른 주파수에 대해 위상 차이에 의해 도입된 신호의 왜곡을 측정한 것이다.

${\displaystyle \tau_{g}=-{\frac {d}{d\omega}}\arg(H(j\omega )}}$

ε=0.5의 5차 타입 I 체비셰프 필터에 대한 이득과 그룹 지연은 왼쪽 그래프에 표시된다. 득실에는 잔물결이 있고 패스밴드에는 그룹이 지연되지만 스톱밴드에서는 그렇지 않다는 것을 알 수 있다.

II 유형 체비셰프 필터(체비셰프 필터 반대)

역 체비셰프 필터로도 알려져 있는 타입 II 체비셰프 필터 타입은 타입 I만큼 빨리 굴러가지 않고, 더 많은 구성요소가 필요하기 때문에 덜 흔하다. 패스밴드에는 리플이 없지만, 스톱밴드에는 에퀴플이 있다. 이익은 다음과 같다.

${\displaystyle G_{n}(\omega ,\omega _{0})={\frac {1}{\frac {1+{\barepsilon ^{2}T_{n}^{2}\왼쪽(\omega _{0}/\omega \오른쪽)}}}}}.}$

정지대역에서는 체비셰프 다항식이 -1과 1 사이에서 진동하므로 이득이 0과 0 사이에서 진동한다.

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}}}}}$

그리고 이 최대치에 도달하는 가장 작은 주파수는 컷오프 주파수 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\$이다$.$ 따라서 매개변수 ε은 다음과 같이 데시벨 단위의 정지대 감쇠와 관련된다.

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{\sqrt{10^{\reason /10}-1}.}$

5dB의 정지대역 감쇠의 경우 ε = 0.6801; 10dB의 감쇠의 경우 ε = 0.3333. 주파수₀ f = Ω₀/2π는 컷오프 주파수다. 3dB 주파수 f는_H f에₀ 의해 다음과 관련된다.

$f_{\displaystyle f_{H}={\frac {f_{0}}{\cosh \left({1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\barepsilon }}}}}}}}}.}$

극과 영

컷오프 주파수가 통일과 동일하다고 가정할 때, 체비셰프 필터 이득의$$ 극$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ m )${\displaystyle(\omega _{pm})$은 이득 분모의 0이다.

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{pm})=0.}$

타입 II Chebyshev 필터의 이득 극은 타입 I 필터의 극의 역행이다.

${\displaystyle {\frac {1}{s_{pm}^{}}{}}}=\pm \sinh \leftleft\frac {1}{{n}\refrac {1}{\varepsilon}\right}\cin(\ta _{m})\sin}$

${\displaystyle \qquad +j\cosh \left\frac {1}{n}\mathrm {arsinh} \lefts\frac {1}{\barepsilon }\right)\cos(\teta _{m})}$

여기서 m = 1, 2, ..., n. 타입 II 체비셰프 필터의$$ 0$({\displaystyle }$Ω ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$) ${\displaystyle(\omega _{zm})$은 게인 분자의 0이다.

${\displaystyle \varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{zm})=0.\,}$

따라서 타입 II 체비셰프 필터의 0은 체비셰프 다항식의 0의 역이다.

${\displaystyle 1/s_{zm}=-j\cos \left({\frac\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}\오른쪽)}$

m = 1, 2, ..., n의 경우.

전송 함수

전달 함수는 게인함수의 왼쪽 반면에 있는 극에 의해 주어지며, 0은 같지만 이 0은 이중 0이 아닌 단일이다.

그룹 지연

ε=0.1이 있는 5차 타입 II 체비셰프 필터의 이득과 그룹 지연은 왼쪽 그래프에 표시된다. 스톱밴드의 이득에는 파동이 있지만 패스밴드는 그렇지 않다는 것을 알 수 있다.

실행

카우어 위상

패시브 LC 체비셰프 로우패스 필터는 카우어 토폴로지를 사용해 실현할 수 있다. n번째 순서 체비셰프 프로토타입 필터의 인덕터 또는 콘덴서 값은 다음 방정식을 사용하여 계산할 수 있다.^[1]

${\displaystyle G_{0}=1}$

${\displaystyle G_{1}={\frac {2}A_{1}:{\gamma }}$

${\displaystyle G_{k}={\frac {4A_{k-1}A_{k}}{B_{k-1}G_{k-1}},\qquad k=2,3,4,\dots,n}$

${\displaystyle G_{n+1}={\begin{case}1&{\text}{{n}\text{{n}\\coth ^{2}\좌측({\frac {\beta }}}}\right)&{n{n{ven}\case}}}}}}}}$

G₁, G는_k 콘덴서 또는 인덕터 요소 값이다. f_H, 3dB 주파수는 다음과 같이 계산된다: ${\displaystyle f_{}}$ H${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \cosh }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{nosh}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\epsilon }{}}$) ${\$$H}=f_{0}\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\barepsilon }}\right)}$

계수 A, γ, β, A_k, B는_k 다음과 같은 방정식으로 계산할 수 있다.

${\displaystyle \sinh \left\frac {}{2n}\오른쪽)}$

${\displaystyle \ln \left[\coth \left\frac {}{17.37}\오른쪽)\오른쪽]}$

${\displaystyle A_{k}=\sin {\frac {(2k-1)\pi }{2n},\qquad k=1,2,3,\dots,n}$

${\displaystyle B_{k}=\gamma ^{2}+\sin ^{2}\{n}\왼쪽({\frac {k\pi }{n}\오른쪽),\qquad k=1,2,3,\dots ,n}$

여기서 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta}$은(는) 데시벨 단위의 패스밴드 리플이다$$. 숫자${\displaystyle 17.37}${\$displaystyle$$17.37$$}$은(는$)$ 정확한 값 ${\displaystyle 40}$/ $ln$ ${\displaystyle }$( $10$)에서 반올림한다$.$

계산된 G_k 값은 오른쪽과 같이 션트 캐패시터와 직렬 인덕터로 변환하거나 직렬 캐패시터와 션트 인덕터로 변환할 수 있다. 예를 들어,

• C_{1 shunt} = G₁, L_{2 series} = G₂, ...

또는

• L_{1 shunt} = G₁, C_{1 series} = G₂, ...

G가₁ 션트 캐패시터 또는 직렬 인덕터인 경우 G는₀ 각각 입력 저항 또는 전도성에 해당한다는 점에 유의하십시오. G와_n+1 G는_n 같은 관계를 유지하고 있다. 결과 회로는 정규화된 저역 통과 필터다. 주파수 변환과 임피던스 스케일링을 사용하여 표준화된 로우패스 필터를 원하는 컷오프 주파수 또는 대역폭의 하이패스, 밴드패스 및 밴드스톱 필터로 변환할 수 있다.

디지털

대부분의 아날로그 필터와 마찬가지로 체비셰프는 이선형 변환을 통해 디지털(구체 시간) 재귀 형태로 변환될 수 있다. 그러나 디지털 필터는 대역폭이 한정되어 있기 때문에 변형된 체비셰프의 반응 모양이 뒤틀린다. 또는 대응 방식을 뒤틀리지 않는 일치 Z 변환 방법을 사용할 수 있다.

다른 선형 필터와 비교

다음 그림은 계수 수가 같은 다른 공통 필터 유형(5번째 순서) 옆에 있는 Chebyshev 필터를 보여준다.

체비셰프 필터는 버터워스 필터보다 더 날카롭다. 타원형 필터만큼 날카롭지는 않지만 대역폭에 대한 파동은 적다.

참고 항목

필터 디자인

• 베셀 필터
• 빗 필터
• 타원형 필터
• 체비셰프 노드
• 체비셰프 다항식

참조

• Weinberg, Louis; Slepian, Paul (June 1960). "Takahasi's Results on Tchebycheff and Butterworth Ladder Networks". IRE Transactions on Circuit Theory. 7 (2): 88–101. doi:10.1109/TCT.1960.1086643.
• Daniels, Richard W. (1974). Approximation Methods for Electronic Filter Design. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6.
• Williams, Arthur B.; Taylors, Fred J. (1988). Electronic Filter Design Handbook. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-070434-1.
• Matthaei, George L.; Young, Leo; Jones, E. M. T. (1980). Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures. Norwood, MA: Artech House. ISBN 0-89-006099-1.
• 루토박, 미로슬라프, D. 외: 프렌티스 홀(2001)의 신호 처리를 위한 필터 설계.

외부 링크

• 위키미디어 공용의 체비셰프 필터와 관련된 미디어