가우스 필터

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전자 및 신호 처리에서 가우스 필터는 임펄스 응답이 가우스 함수(또는 참 가우스 응답은 무한 임펄스 응답을 가지므로 그에 대한 근사치)인 필터입니다.가우스 필터는 상승 및 하강 시간을 최소화하면서 스텝 함수 입력에 대한 오버슈트가 없는 특성을 가지고 있습니다.이 동작은 가우스 필터가 가능한 최소 그룹 지연을 갖는다는 사실과 밀접하게 관련되어 있습니다.가우스 필터는 고주파 억제와 더불어 불확실성 원리의 임계점이 되는 공간적 확산을 최소화합니다.이러한 특성은 오실로스코프^[1] 및 디지털 통신 ^[2]시스템과 같은 영역에서 중요합니다.

수학적으로 가우스 필터는 입력 신호를 가우스 함수로 변환하여 수정합니다. 이 변환을 바이얼스트라스 변환이라고도 합니다.

정의.

1차원 가우스 필터에는 다음과 같은 임펄스 응답이 있습니다.

${\displaystyle g(x)=syslogrt {frac {a}{\pi }} e^{-ax^{2}}$

주파수 응답은 푸리에 변환에 의해 주어집니다.

${\displaystyle {g}(f)=e^{-\pi ^{2}f^{2}/a}}$

f$\displaystyle$f를$$ 통상 주파수로 $사용$합니다.이러한 방정식은 또한 표준 편차를 매개 변수로 표현될 수 있습니다.

$({displaystyle g(x)=syslogfrac {1}{\syslogrt {2\pi}}}\syslog }}e^{-x^{2}/(2\syslog ^{2}}}})$

그리고 주파수 응답은

$(\displaystyle {g}(f)=e^{-f^{2}/(2\display_{f}^{2})})$

g$x)$의 2개의 공식으로 $(\$$displaystyle$$g$$(x)$의 함수로서, g$)$의 2개의 공식으로 $(\$$$_${f})$의 함수로서$display$(\displaystyle \$hat {g}(f)$의 2개의 공식으로 ((\displaystyle \sigma$)$의 곱을 적으면 d 규격의 곱임을 알 수 있다.주파수 영역의 표준 편차는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\sigma }_{}}$ f${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \frac{1\mathrm{}}{}}$ $π$ \$displaystyle$\ displays \$displays$ \ $displays$_ { f }$$$=$== $frac$ { $1 }$ { 2 \ pi$$} ,

여기서 표준 편차는 물리적 단위로 표현된다. 예를 들어 시간과 주파수의 경우 각각 초와 헤르츠로 표현된다.

2차원에서는 방향당 1개씩 두 개의 가우시안 산물이다.

$({displaystyle g(x,y)=syslogfrac {1}{2\pi \pi ^{2}})e^{-(x^{2}+y^{2})/(2\syslog ^{2}}})$ ^[3][4][5]

여기서 x는 수평 축의 원점으로부터의 거리이고 y는 수직 축의 원점으로부터의 거리이며 θ는 가우스 분포의 표준 편차입니다.

디지털 실장

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가우스 함수는 x${\displaystyle }$µ${\displaystyle }$( -${\displaystyle \mathrm{},}$ , ${\displaystyle )}$ $){$ $displaystyle$ x$\in$ ( $\infty$, \$infty$)}$용이며$ 이론상으로는 무한 창 길이가 필요합니다.단, 필터 창은 급속히 부패하기 때문에 필터 창을 잘라내고 좁은 창에는 필터를 직접 구현하는 것이 합리적이며, 실제로는 단순한 직사각형 창 기능을 사용합니다.그 외의 경우는, 잘라내기 때문에 중대한 에러가 발생할 가능성이 있습니다.다른 창 기능을 사용하면 더 나은 결과를 얻을 수 있습니다. 자세한 내용은 축척 공간 구현을 참조하십시오.

필터링에는 컨볼루션(convolution)이 포함됩니다.필터 함수는 적분 변환의 커널이라고 불립니다.가우스 커널은 연속적입니다.가장 일반적으로 이산 등가물은 연속 가우스에서 점을 샘플링하여 생성되는 샘플링된 가우스 커널입니다.다른 방법은 어떤 목적을 위해 우수한 특성을 가진 이산 가우스^[6] 커널을 사용하는 것입니다.표본화된 가우스 커널과 달리 이산 가우스 커널은 이산 확산 방정식의 해법이다.

가우스 함수의 푸리에 변환은 가우스 함수를 생성하므로 신호(가능하면 겹치는 창 블록으로 분할된 후)는 고속 푸리에 변환, 가우스 함수와 곱셈 및 다시 변환할 수 있습니다.이것은 임의의 유한 임펄스 응답 필터를 적용하는 표준 절차이며 필터 창의 푸리에 변환을 명시적으로 알고 있는 유일한 차이입니다.

중심 한계 정리로 인해, 가우스 값은 이동 평균과 같은 매우 단순한 필터의 여러 실행으로 근사할 수 있습니다.단순 이동 평균은 일정한 B-스플라인(직사각형 펄스)을 가진 컨볼루션에 해당하며, 예를 들어 이동 평균의 4회 반복은 필터 창으로서 입방 B-스플라인을 생성하므로 가우스 값에 상당히 근접합니다.이동 평균은 계산 비용이 매우 저렴하기 때문에 레벨을 매우 쉽게 계단식화할 수 있습니다.

이산적인 경우 표준 편차는 다음과 같이 관련된다.

${\displaystyle \cdot \cdot _{f}=syslogfrac {N}{2\pi }}$

여기서 표준 편차는 표본 수로 표현되며 N은 표본의 총 개수입니다.통계량에서 항을 차용하면 필터의 표준 편차는 필터 크기의 측도로 해석할 수 있습니다.가우스 필터의 차단 주파수는 주파수 영역의 표준 편차에 의해 정의될 수 있습니다.

${\displaystyle f_{c}=\display frac {1}{2\pi \display }}$

모든 수량이 물리적 단위로 표현됩니다.${\$ { $displaystyle \sigma }$가 샘플로 측정되는 경우 컷오프 빈도(물리 단위)는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

${\displaystyle f_{c}=flac {F_{s}}{2\pi \pi }}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 F s$\$는 샘플링 속도입니다.이 컷오프 주파수에서 가우스 필터의 응답 값은 exp(-0.5) 0 0.607과 같습니다.

단, 컷오프 주파수를 절반의 전력점으로 정의하는 것이 일반적입니다.여기서 필터 응답은 전력 스펙트럼에서는 0.5(-3dB)로 감소하거나 진폭 스펙트럼에서는 1/µ2 70 0.707로 감소합니다(예: 참조).버터워스 필터).필터 응답에 대한 임의의 컷오프 값 1/c의 경우 컷오프 주파수는 다음과 같이 주어진다.

${displaystyle f_{c}=syslogrt {ln(c)}}\cdot \syslog _{f}$^[7]

c = 2의 경우 마지막 방정식에서 주파수 영역의 표준 편차 이전의 상수는 약 1.1774로, 절반 최대 전폭(FWHM)의 절반입니다(가우스 함수 참조).c = ≤2의 경우 이 상수는 약 0.8326과 같습니다.이러한 값은 1에 매우 가깝습니다.

단순한 이동평균은 균일한 확률분포에 대응하므로 n$(\displaystyle$ n$)$ $크기$의 필터 폭은 표준편차$n$2 -${\displaystyle \sqrt{1}}$)${\displaystyle \sqrt{}}$/ $(\$$displaystyle$${(n^{2}-1)/12$를 가진다.따라서${\displaystyle {\mathrm{}}_{},}$ …,${\displaystyle {}_{}}$, n, n, n, $n{\displaystyle }$, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n$,$ n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n,${\displaystyle m_{}}${\$displaystyle {n}_{1},\display,{n}_{m}}$의 표준편차를 산출합니다.

$({displaystyle\displaystyle=displayrt {n_{1}^{2}+\cdots +n_{m}^2}-m}{12}}}$

(표준 편차는 합계가 아니라 분산이 합계가 됩니다.)

가우스 커널에는 ${\displaystyle \mathrm{6\mu }}$ ${\displaystyle -}$({$displaystyle 6\sigma$ -$$1)의$$ 값이 $필요$합니다.예를 들어$,$ $3{\displaystyle }$({$displaystyle${{$sigma}})$의 경우 길이 17의 커널이 필요합니다.5포인트의 실행 중 평균 필터의 $시그마$는 2$(\$입니다. 세 번 실행$$시 2(\$displaystyle\sigma})$가 됩니다.낮은 근사치가 아닌 가우스를 사용하여 장점이 초과되는 부분은 여전히 볼 수 있다.

이 공식은 2차원으로 적용될 때 원점에 최대값이 있는 가우스 표면을 생성합니다. 원점의 등고선은 원점을 중심으로 하는 동심원입니다.2차원 회전행렬을 식에서 미리 계산하여 2차원 데이터로 합성한다.결과 매트릭스 신규값의 각 요소는 해당 요소 근방의 가중평균으로 설정된다.초점 요소는 가장 무거운 무게(가우스 값이 가장 높음)를 받고 인접 요소는 초점 요소와의 거리가 커질수록 더 작은 무게를 받습니다.화상 처리에서는, 매트릭스내의 각 요소가 휘도나 색강도등의 픽셀 속성을 나타내, 전체적인 효과를 가우스 블러라고 부릅니다.

가우스 필터는 비원인입니다. 즉, 필터 창이 시간 영역의 원점에 대해 대칭임을 의미합니다.따라서 가우스 필터가 물리적으로 실현 불가능한 상태가 됩니다.필터 대역폭이 신호보다 훨씬 큰 어플리케이션에서는 일반적으로 이 문제는 발생하지 않습니다.실시간 시스템에서는 들어오는 샘플이 필터 창을 채워야 필터가 신호에 적용되기 때문에 지연이 발생합니다.어떤 지연량도 이론적인 가우스 필터의 인과관계를 만들 수 없지만(가우스 함수는 어디에서나 0이 아니기 때문에) 가우스 함수는 매우 빠르게 0으로 수렴되기 때문에 약간의 지연으로 필요한 공차를 얻을 수 있으며 부동소수점 표현의 정확성까지도 가능합니다.

적용들

이 섹션은 확장해야 합니다.추가함으로써 도움이 될 수 있습니다. (2012년 5월)

• GSM은 GMSK 변조를 적용하므로
• 가우스 필터는 GFSK에서도 사용됩니다.
• 이미지 처리에 사용되는 캐니 에지 디텍터.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스