네트워크 합성

네트워크 합성은 선형 전기 회로의 설계 기법이다.합성은 주파수 또는 주파수 응답의 규정된 임피던스 함수에서 시작하여 필요한 응답을 생성할 수 있는 네트워크를 결정한다.이 기법은 주어진 회로의 반응(또는 기타 동작)을 계산하는 네트워크 분석과 비교해야 한다.네트워크 합성 전에는 네트워크 분석만 가능했지만, 이것은 어떤 형태의 회로가 분석되어야 하는지 이미 알고 있어야 한다.선택된 회로가 원하는 응답에 가장 근접하게 일치한다는 보장도 없고, 회로가 가장 단순하다는 보장도 없다.네트워크 통합은 이러한 두 가지 문제를 직접적으로 다룬다.네트워크 합성은 역사적으로 패시브 네트워크 합성과 관련이 있지만, 그러한 회로에 국한되지는 않는다.

이 밭은 빌헬름 카우어가 로날드 M을 읽고 세운 것이다. 포스터의 1924년 논문 A 리액턴스 정리포스터의 정리는 임피던스 함수의 부분적인 부분적인 팽창에 의해 임의의 수의 원소로 LC 회로를 합성하는 방법을 제공했다.Cauer는 포스터의 방법을 RC와 RL 회로로 확장하고, 새로운 합성 방법과 일반 RLC 회로를 합성할 수 있는 방법을 찾아냈다.제2차 세계 대전 이전의 다른 중요한 발전은 오토 브루네와 시드니 달링턴 덕분이다.1940년대에 라울 보트와 리처드 더핀은 일반 사례에서 변압기를 필요로 하지 않는 합성 기법을 발표하였다(이 제거는 한동안 연구자들에게 골칫거리였다).1950년대에는 합성에 필요한 원소의 수를 최소화하는 문제에 많은 노력을 기울였지만 성공은 제한적이었다.최소화 문제가 다시 연구 활동 영역이 된 2000년대까지는 현장에서 거의 한 일이 없지만 2018년 기준으로는 여전히 미해결 문제다.

네트워크 합성의 주요 적용은 네트워크 합성 필터의 설계지만 이것만이 유일한 적용은 아니다.다른 것들 중에는 임피던스 매칭 네트워크, 시간 지연 네트워크, 방향 연결 장치 및 평준화가 있다.2000년대 들어 네트워크 합성이 전기뿐 아니라 기계 시스템에도 적용되기 시작했으며, 특히 포뮬러 원 경주에서는 더욱 그러했다.

개요

네트워크 합성은 네트워크 형태에 대한 어떤 선입견도 없이 규정된 방식으로 동작하는 전기 네트워크를 설계하는 것이다.일반적으로, 임피던스는 패시브 컴포넌트를 사용하여 합성되어야 한다.즉, 저항(R), 인덕턴스(L) 및 캐패시턴스(C)로 구성된 네트워크다.그러한 네트워크는 항상 복잡한 주파수 변수의 합리적인 함수 형태로 $Z{\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle Z$로 표시된 임피던스를 가지고 있다.즉 임피던스는 s 단위의 두 다항식의 비율이다.^[1]

네트워크 합성에는 세 가지 광범위한 연구 영역이 있다. 즉, 합리적인 기능을 가진 요건 근사치, 그 기능을 네트워크로 합성하는 것, 그리고 합성 네트워크의 동등성을 결정하는 것이다.^[2]

근사치

이상화된 규정 함수는 다항식으로 정확하게 설명할 수 있는 경우는 거의 없을 것이다.그러므로 네트워크를 정확히 재현하기 위해 네트워크를 합성하는 것은 불가능하다.^[3]간단하고 일반적인 예는 벽돌담 필터다.이것은 저역 통과 필터의 이상적인 반응이지만, 그것의 조각상 연속적인 반응은 불연속성 때문에 다항식으로는 나타낼 수 없다.이러한 어려움을 극복하기 위해 근사 이론을 이용하여 규정된 기능에 근접하는 합리적인 함수를 발견한다.^[4]일반적으로 근사치가 가까울수록 다항식의 정도가 높고 네트워크에 더 많은 요소가 요구될 것이다.^[5]

이러한 목적을 위해 네트워크 합성에는 많은 다항식 및 함수가 사용된다.선택은 설계자가 최적화하고자 하는 규정된 기능의 매개변수에 따라 달라진다.^[6]가장 초기에 사용된 것 중 하나는 패스밴드 내에서 최대 평탄한 반응을 초래하는 버터워스 다항식이었다.^[7]일반적인 선택은 다른 매개변수의 개선과 교환하여 패스밴드 응답이 이상에서 얼마나 벗어날 수 있는지를 설계자가 지정하는 체비셰프 근사치다.^[8]시간 지연, 임피던스 일치, 롤오프 및 기타 많은 요건을 최적화하는 데 다른 근사치를 사용할 수 있다.^[9]

실현

합리적인 기능을 부여하면, 그 기능이 이산형 패시브 네트워크로서 실현 가능한지를 판단하는 것이 보통 필요하다.그러한 모든 네트워크는 합리적인 기능에 의해 설명되지만, 모든 합리적인 기능이 이산적인 수동적 네트워크로서 실현 가능한 것은 아니다.^[10]역사적으로, 네트워크 통합은 전적으로 그러한 네트워크와 관련이 있었다.현대의 능동적 컴포넌트는 이러한 한계를 많은 애플리케이션에서 덜 관련되게 만들었지만,^[11] 더 높은 무선 주파수에서 수동적 네트워크는 여전히 선택의 기술이다.^[12]수동적 네트워크로서 그 기능이 실현 가능한지를 예측하는 합리적인 기능의 단순한 속성이 있다.일단 어떤 기능이 실현 가능하다고 결정되면, 그것으로부터 네트워크를 합성할 수 있는 많은 알고리즘이 있다.^[13]

등가성

합리적인 기능으로부터의 네트워크 실현은 독특하지 않다.동일한 기능이 많은 동등한 네트워크를 실현할 수 있다.네트워크의 메쉬 분석에서 형성된 임피던스 매트릭스의 결합 변환은 모두 등가 네트워크의 임피던스 매트릭스(Analogue filter § Realisability and equality)라고 알려져 있다.^[14]다른 임피던스 변환은 알려져 있지만, 발견되어야 할 동등성 등급이 더 있는지 여부는 공개 질문이다.^[15]

네트워크 합성 연구의 주요 분야는 최소의 요소 수를 사용하는 실현을 찾는 것이었다.이 문제는 일반 사례에 대해 완전히 해결되지는 않았지만,^[16] 실제 응용이 가능한 많은 네트워크에 대해 해결책이 제공된다.^[17]

역사

네트워크 합성 분야는 독일의 수학자 겸 과학자 빌헬름 카우어(1900~1945)에 의해 설립되었다.이론에 대한 첫 번째 힌트는 미국의 수학자 로널드 M에서 나왔다. 포스터(1896–1998)는 1924년에 A 리액턴스 정리를 발표했을 때.카우어는 즉시 이 작품의 중요성을 인식하고 일반화, 증설에 착수했다.1926년 그의 논문은 "사전화된 주파수 의존의 장애의 실현"에 관한 것이었으며, 그 분야의 시작이다.카우어의 가장 세밀한 작업은 제2차 세계 대전 중에 이루어졌으나, 종전 직전에 살해되었다.그의 작품은 전쟁 중에는 널리 출판될 수 없었고, 그의 가족이 그의 논문을 모아 넓은 세상을 위해 출판한 것은 1958년이 되어서였다.한편 미국에서는 카우어의 전쟁 전 출판물과 전쟁 중 포착된 자료를 바탕으로 진척이 이루어졌다.^[18]

영국의 독학 수학자 겸 과학자 올리버 허비사이드(1850–1925)는 RLC 네트워크의 임피던스가 항상 주파수 연산자의 합리적인 함수라는 것을 처음으로 보여주었지만, 합리적인 함수로부터 네트워크를 실현하는 방법은 제공하지 않았다.^[19]카우어는 합리적인 기능이 수동적 네트워크로서 실현 가능하기 위해 필요한 조건을 발견했다.남아프리카 공화국 오토 브루네(1901~1982)는 이후 이 조건에 대해 PRF(positive-real function)라는 용어를 만들었다.카우어는 PRF가 필요하고 충분한 조건이지만 증명할 수 없다고 가정하고, 당시 미국의 대학원생이었던 브루네에게 연구 프로젝트로 제안했다.^[20]브루네는 1931년 박사학위 논문에서 사라진 증거를 발표했다.^[21]

포스터의 실현은 LC 네트워크로 제한되었고, 병렬로 된 다수의 직렬 LC 회로 또는 직렬로 된 다수의 병렬 LC 회로의 두 가지 형태 중 하나였다.포스터의 방법은 $Z{\displaystyle (s}$) ${\디스플레이$ 스타일 $Z}$을(를) 부분 분수로 확장하는$$ 것이었다.카워는 포스터의 방법이 RL과 RC 네트워크로 확장될 수 있다는 것을 보여주었다.Cauer는 $또한{\displaystyle }$ 다른 방법을 발견했다; 사다리 네트워크를 형성하는 지속적인 분수로 Z${\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\디스플레이$ 스타일 $Z}$을(를$)$ 확장하는 것, 다시 두 가지 가능한 형태로.^[22]일반적으로 PRF는 RLC 네트워크를 대표한다. 세 가지 요소가 모두 존재하는 경우 현실화가 더 까다롭다.Cauer와 Brune 모두 RLC 네트워크의 구현에 이상적인 변압기를 사용했다.변압기를 포함시켜야 하는 것은 회로의 실제 구현에서 바람직하지 않다.^[23]

변압기가 필요 없는 실현 방법은 1949년 헝가리계 미국인 수학자 라울 보트(1923~2005)와 미국 물리학자 리처드 더핀(1909~1996)이 제공했다.^[24]보트와 더핀 방법은 미국의 물리학자 폴 1세(Paul I)와 응용 수학자로 인한 1947년 결과물인 리차드의 정리를 반복적으로 적용함으로써 확장을 제공한다. 리차드(1923–^[25]1978)결과적으로 Bot-Duffin 네트워크는 (적어도 높은 수준의 합리적인 기능성을 위해) 실용적 사용이 제한된다. 왜냐하면 필요한 요소의 수는 그 정도에 따라 기하급수적으로 증가하기 때문이다.^[26]원래 Bott-Duffin 방법의 여러 가지 변화는 모두 각 섹션의 요소 수를 6개에서 5개로 줄이지만, 여전히 전체 수는 기하급수적으로 증가하고 있다.^[27]이를 달성한 논문으로는 팬텔(1954년), 레자(1954년), 스토어(1954년), 피알코우 & 게스(1955년) 등이 있다.^[28]2010년 현재, 합리적 기능을 합성하는 데 있어 더 이상 유의미한 진전은 없다.^[29]

1939년 미국의 전기 엔지니어 시드니 달링턴은 어떤 PRF도 L과 C 요소만으로 구성된 2포트 네트워크로서 실현될 수 있고 저항기로 출력에서 종료될 수 있다는 것을 보여주었다.즉, 어떤 네트워크에서도 하나의 저항만 필요하며, 나머지 구성요소는 무손실이다.이 정리는 카우어와 조반니 코치 양쪽에 의해 독자적으로 발견되었다.^[30]단 하나의 인덕터로 R과 C 요소를 이용한 PRF의 합성을 찾는 것은 네트워크 이론에서 해결되지 않은 문제다.^[31]또 다른 미해결 문제는 공통 단말기를 가진 RC 2-포트가 직렬 병렬 네트워크로 실현될 수 있다는 달링턴의 추측(1955)의 증거를 찾는 것이다.^[32]실제 네트워크에서 중요한 고려사항은 특히 상처 부위인 인덕터와 변압기의 수를 최소화하는 것이다.최소화에 많은 노력을 기울였음에도 불구하고 디지털 회로의 부울 대수학처럼 최소화에 대한 일반적인 이론은 발견되지 않았다.^[33][34]

Cauer는 이상적인 필터에 근사치를 만들기 위해 타원적 이성 함수를 사용했다.^[35]타원적 이성 함수의 특별한 경우는 파프누티 체비셰프(1821–1894)로 인한 체비셰프 다항식이며 근사 이론의 중요한 부분이다.^[36]체비셰프 다항식은 필터 설계에 널리 사용된다.1930년 영국의 물리학자 스티븐 버터워스(1885–1958)는 버터워스 다항식(Butterworth polyomials)을 사용하여 최대 평판 필터로 알려진 버터워스 필터를 설계했다.^[37]버터워스의 작품은 카우어와는 완전히 독립되어 있었지만, 후에 버터워스 다항식이 체비셰프 다항식의 제한적인 경우라는 것이 밝혀졌다.^[38]훨씬 이전(1929년)과 다시 독립적으로 미국의 엔지니어 겸 과학자 에드워드 로리 노턴(1898년–1983)은 버터워스의 전기 필터와 완전히 유사한 반응으로 최대 평탄도의 기계 필터를 설계했다.^[39]

2000년대에 이 이론이 큰 기계 시스템에 적용되기 시작하면서 네트워크 합성 이론을 더욱 발전시키는 것에 대한 관심이 힘을 얻었다.^[40]미해결된 최소화의 문제는 부품의 크기와 비용 때문에 전기보다 기계 영역에서 훨씬 더 중요하다.^[41]2017년, 캠브리지 대학의 연구자들은 2분법적 이성적 기능을 고려하는 것에 국한하여, 모든 직렬 병렬 네트워크와 대부분의 임의 네트워크에 대해 그러한 기능의 Bot-Duffin 실현이 최소 반응 수를 가지고 있다고 결정했다(Hughes, 2017).그들은 이 결과가 Bot-Duffin 방법이 이전에 생각했던 것처럼 그렇게 최소적이지 않다는 것을 보여주었기 때문에 놀라운 결과를 발견했다.^[42]이 연구는 부분적으로 라덴하임 카탈로그를 재방문하는 데 초점을 맞췄다.이것은 2회 반응성과 3회 저항 이하의 모든 구별되는 RLC 네트워크를 열거한 것이다.에드워드 라덴하임은 포스터의 학생 시절인 1948년에 이 작업을 수행했다.카탈로그의 목적적합성은 이러한 모든 네트워크가 양분함수에 의해 실현된다는 것이다.^[43]

적용들

네트워크 합성의 가장 널리 사용되는 단일 적용은 신호 처리 필터 설계에 있다.그러한 필터의 현대적인 디자인은 거의 항상 네트워크 합성 필터의 어떤 형태다.^[44]

또 다른 애플리케이션은 임피던스 매칭 네트워크 설계다.단일 주파수로 임피던스를 일치시키려면 사소한 네트워크(보통 하나의 구성요소)만 필요하다.그러나 넓은 대역에 걸쳐 임피던스가 일치하려면 소스와 부하 저항성이 주파수에 따라 달라지지 않는 경우에도 더욱 복잡한 네트워크가 필요하다.변압기를 사용하지 않고 수동적인 요소로 이 작업을 수행하면 필터와 같은 설계가 된다.또한 부하가 순수한 저항이 아닌 경우, 여러 이산 주파수에서만 완벽한 일치를 달성할 수 있다. 전체 대역의 일치는 근사치여야 한다.^[45]설계자는 먼저 매칭 네트워크가 동작하는 주파수 대역을 규정하고 그 대역에 대한 대역 패스 필터를 설계한다.표준 필터와 일치 네트워크 사이의 유일한 본질적인 차이는 소스와 부하 임피던스가 같지 않다는 것이다.^[46]

매개 변수가 중요한 필터와 일치 네트워크 사이에는 차이가 있다.네트워크가 이중 기능을 가지지 않는 한, 설계자는 패스밴드 외부의 임피던스 매칭 네트워크의 행동에 대해 크게 걱정하지 않는다.전환 밴드가 매우 좁지 않은지 또는 정지 밴드의 감쇠가 불량한지는 중요하지 않다.사실, 대역폭을 엄격하게 필요한 이상으로 개선하려고 하면 임피던스 일치의 정확성이 떨어질 것이다.네트워크에서 주어진 수의 요소들과 함께, 설계 대역폭을 좁히면 매칭이 개선되고 그 반대의 경우도 개선된다.임피던스 매칭 네트워크의 한계는 1945년 미국 엔지니어 겸 과학자 헨드릭 웨이드 보드에 의해 처음 조사되었으며, 반드시 필터와 같아야 한다는 원칙은 1950년 이탈리아계 미국인 컴퓨터 과학자 로버트 파노에 의해 확립되었다.^[47]보통 필터에 대해 설정되는 패스밴드의 파라미터 중 하나는 최대 삽입 손실이다.임피던스 매칭 네트워크의 경우 최소 손실도 설정하여 더 나은 매칭을 얻을 수 있다.즉, 이득은 어느 순간에도 단결하지 못한다.^[48]

시간 지연 네트워크는 필터와 같은 구조를 가진 네트워크 합성에 의해 설계될 수 있다.대역의 모든 주파수에서 일정한 지연을 갖는 지연 네트워크를 설계할 수 없다.이 동작에 대한 근사치는 규정된 대역폭으로 제한되어야 한다.규정된 지연은 최대 한정된 수의 스폿 주파수에서 발생할 것이다.베셀 필터는 시간 지연이 극대화된다.^[49]

네트워크 합성 적용은 전기영역에 한정되지 않는다.그것은 선형 요소의 네트워크로 나타낼 수 있는 모든 에너지 영역의 시스템에 적용될 수 있다.특히 네트워크 합성은 기계영역의 기계망에서 응용프로그램을 찾아냈다.기계적 네트워크 합성에 대한 고려가 말콤 C를 이끌었다. Smith는 전기 콘덴서와 유사한 새로운 기계 네트워크 요소인 인어터를 제안한다.^[50]관성 특성을 가진 기계 부품들이 포뮬러 원 경주용 자동차의 정지장치에서 응용 프로그램을 발견했다.^[51]

합성기법

합성은 네트워크의 필요한 기능에 근접한 합리적인 함수를 전달하는 근사 기법을 선택하는 것으로 시작한다.기능이 패시브 컴포넌트로 구현되어야 하는 경우, 해당 기능은 PRF(긍정적-실제 함수)의 조건도 충족해야 한다.^[52]사용되는 합성 기법은 부분적으로 어떤 형태의 네트워크를 원하는지, 그리고 부분적으로 네트워크에 얼마나 많은 종류의 요소가 필요한지에 달려 있다.1ele-element-kind 네트워크는 하나의 요소의 임피던스로 축소되는 사소한 경우다.2요소 종류 네트워크(LC, RC 또는 RL)는 포스터 또는 카우어 합성으로 합성할 수 있다.3요소 종류 네트워크(RLC 네트워크)는 브루네나 보트-더핀 합성과 같은 보다 진보된 처리를 필요로 한다.^[53]

기능의 극과 영점(총칭 임계 주파수)을 검사하여 필요한 원소의 종류와 종류를 결정할 수 있다.^[54]중요 주파수에 대한 요건은 아래의 관련 섹션에 있는 각 종류의 네트워크에 대해 제시되어 있다.

포스터 합성

포스터의 합성은 원래 형태로 LC 네트워크에만 적용할 수 있다.PRF는 $s$) ${\displaystyle Z}$의 임계 주파수가 $모두$ s =${\displaystyle \sigma }$+ ${\displaystyle \mathrm{i\Omega }}$의 복잡한 평면의 ${\displaystyle \mathrm{i\Omega }}$ ${\displaystyle i\omega }$축에$$ 존재하며 극과 영 $사이$를 교대할 경우 2-요소 $LC$ 네트워크를 나타낸다$.$출발지와 무한대에는 반드시 하나의 임계 주파수가 있어야 하며, 나머지는 모두 공극 쌍으로 되어 있어야 한다.${\displaystyle Z}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle Z}$은(는) 짝수 및 홀수 다항식의 비율이어야 하며$$ 각 등급은 정확히 1씩 달라야 한다.이러한 요구사항은 포스터의 리액턴스 정리의 결과물이다.^[55]

포스터 1호 서식

포스터의 첫 번째 형태(Foster I form)는 $일련$의 병렬 LC 회로로 Z${\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$ )${\displaystyle Z(s)}$를 합성한다$$.예를 들어,

${\displaystyle Z={\frac {9s^{5}+30s^{3}+24s}{18s^{4}+36s^{2}+8}}}}}}$

다음과 같이 부분 분수로 확장할 수 있다.

${\displaystyle Z(s)={s \over 2}+{\frac {(25+11{\sqrt {5}})s}{5(9+3{\sqrt {5}})s^{2}+20}}+{\frac {(25-11{\sqrt {5}})s}{5(9-3{\sqrt {5}})s^{2}+20}}\simeq {s \over 2}+{\frac {2.48s}{3.93s^{2}+1}}+{\frac {0.020s}{0.573s^{2}+1}}}$

첫 번째 용어는 무한대에 극이 있는$$ $Z{\displaystyle }$ (${\displaystyle s}$) ${\displaystyle$ Z$}$의 결과인 직렬 인덕터를 나타낸다.만약 원점에 폴이 있었다면, 그것은 직렬 캐패시터를 나타낼 것이다.나머지 두 용어는 각각 ${\displaystyle \mathrm{i\Omega }}$ ${\displaystyle i\omega$}축의$$ 폴 쌍을 나타낸다.이러한 각 용어는 그러한 회로의 임피던스 식과 비교하여 병렬 LC 회로로 합성될 수 있다.^[56]

${\displaystyle Z_{LC}={\frac {Ls}{LCs^{2}+1}}$

결과 회로는 그림에 나와 있다.

포스터 2형식

${\displaystyle \mathrm{포스터}}$ II 폼은 $Z{\displaystyle }$( s${\displaystyle }$) ${\displaystyle Z}$을 직렬 LC 회로 집합으로$$ 병렬로 합성한다.부분 분수로 확장하는 동일한 방법이 Foster I 형식에 사용되지만, Z${\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle Z}$ 대신$$$입장$인 Y${\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\$$displaystyle$ $Y}$에 적용됨$.$ 이전과 동일한 예시 PRF를 사용하여,

${\displaystyle Y(s)={1 \over Z}={\frac {18s^{4}+36s^{2}+8}{9s^{5}+30s^{3}+24s}}}}}}}}}$

부분 분수로 확장,

${\displaystyle Y(s)\simeq {1\over 3s}+{\frac {2.498s}{0.6346s^{2}+1}+{1.415s}{0.4719s^{2}+1}}}{0.4719s^{2}+1}}}}}}$

첫 번째 용어는 ${\displaystyle \mathrm{션트}}$ 인덕터를 나타내며, $Y{\displaystyle }$( s${\displaystyle }$) ${\displaystyle Y}$이(가) 원점에 극(${\displaystyle \mathrm{또는}}$ 동등하게, $Z{\displaystyle }$( s${\displaystyle }$) ${\displaystyle Z}$이(가) 원점에 0을 갖는$$$$ 결과로 나타난다.만약 무한대에 극이 있었다면 그건 션트 콘덴서를 의미했을 겁니다나머지 두 용어는 각각 ${\displaystyle \mathrm{i\Omega }}$ ${\displaystyle i\omega$}축의$$ 폴 쌍을 나타낸다.이러한 각 용어는 해당 회로에 대한 입장 식과 비교하여 직렬 LC 회로로 합성될 수 있다.^[57]

${\displaystyle Y_{LC}={\frac {Cs}{LCs^{2}+1}}$

결과 회로는 그림에 나와 있다.

RC 또는 RL 네트워크로 확장

육성합성은 어떤 2요소 네트워크로도 확장될 수 있다.예를 들어 포스터 I 양식에서 RC 네트워크의 부분적인 부분적인 용어는 각각 R과 C 요소를 병렬로 나타낼 것이다.이 경우, 부분 분수는 형태가 될 것이다.^[58]

${\displaystyle Z_{RC}={\frac {R}{RCs+1}}$

다른 형태와 원소 종류는 유추에 따른다.LC 네트워크와 마찬가지로 PRF는 임계 주파수를 검사하여 RC 네트워크인지 RL 네트워크인지를 시험할 수 있다.임계 주파수는 모두 음의 실제 축에 있어야 하며 극과 영 사이를 번갈아 가며 각각 동일한 숫자가 있어야 한다.출발지에서 가장 가까운 임계 주파수가 극일 경우, ${\displaystyle \mathrm{PRF}}$는 Z${\displaystyle }$(${\displaystyle }$${\displaystyle s}$ ) ${\displaystyle Z$을 나타내는 경우 RC 네트워크,${\displaystyle }Y{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$s )$${\$displaystyle Y}$을 나타내는 경우 RL 네트워크$,$ 또는 출발지에서 가장 가까운 임계 주파수가 0이면 그 반대다.이러한 이론의 확장성은 아래에 기술된 카우어 형태에도 적용된다.^[59]

임미턴스

위의 포스터 종합에서 기능의 확장은 포스터 1 형태와 포스터 2 형태 모두에서 동일한 절차다.그것들을 임피던스나 입장으로 따로 취급하기보다는 임피던스나 입장으로 함께 취급하는 것이 특히 이론적인 작품에서는 편리하다.실제 회로가 실현되어야 하는 지점에서 함수가 임피던스를 나타내는 것인지 아니면 진입을 나타내는 것인지를 선언하기만 하면 된다.임피턴스는 또한 카우어 1세 및 카우어 2세 형태와 다른 절차와 같은 방법으로 사용될 수 있다.^[60]

카우어 합성

카우어 합성은 포스터 합성을 위한 대체 합성이며 PRF가 충족해야 하는 조건은 포스터 합성과 정확히 동일하다.포스터 합성처럼, 카우어 합성에는 두 가지 형태가 있으며, 둘 다 RC와 RL 네트워크로 확장할 수 있다.

카우어 1세

카우어 1호는 $Z{\displaystyle }$( $){\displaystyle Z}$를 계속 분수로 확장한다$$.포스터 I 양식에 사용된 것과 동일한 예를 사용하여,

${\displaystyle Z(s)=0.5s+{\cfrac {1}{1.5s+{\cfrac {1}{2s+{\cfrac {1}{1.5s}}}}}}}}}$

또는, 보다 간결한 표기법으로,

$[\displaystyle Z]=[0.5s;1.5s,2s,1.5s,0.5s]}$

이 팽창의 조건은 그림과 같이 사다리 네트워크의 구성요소 가치로서 직접적으로 구현될 수 있다.^[61]주어진 PRF는 분자보다 더 큰 정도를 갖는 분모를 가질 수 있다.이 경우 함수의 곱셈 역이 대신 확장된다.즉, 함수가 $Z{\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle Z}$을$($를) 나타내는 $경우{\displaystyle }$Y${\displaystyle }$($$ ) {\$displaystyle Y}$을(를) 대신 확장하고$$ 그 반대로 확장한다.^[62]

카우어 2형식

Cauer II 형태는 Cauer I 형태에서와 같이 가장 높은 도형 항이 아닌 지속적인 부분 확장 시 최저 도 항이 먼저 추출된다는 점을 제외하고 Cauer I 형태와 정확히 동일한 $방식$으로 Z $s$ Z$}$를 확장한다$$.^[63]카우어 II 형태로 확장되었을 때 카우어 I 형태와 포스터 형태에 사용된 예는 일부 요소에서 부정적인 가치를 갖는 결과를 낳는다.^[64]따라서 이 특정 PRF는 변압기 또는 상호 인덕턴스를 포함하지 않고서는 Cauer II 형태로서 수동적 구성 요소에서 실현될 수 없다.^[65]

예제 $Z{\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle Z}$을(를$)$ Cauer II 형태로 실현할 수 없는$$ 본질적인 이유는 이 양식이 하이패스 위상(high-pass topology)을 가지고 있기 때문이다.연속분수에서 추출한 첫 번째 원소는 직렬 콘덴서다.이로 인해 원점에 $있는$ Z${\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\디스플레이 스타일 Z}$의 영이 실현될 수 없게 된다.반면 카우어 1형은 저역 위상(low-pass topology)을 가지고 있으며, 원점에는 자연적으로 0이 있다.^[66]그러나 이 기능의 $Y$ (${\displaystyle s}$ )${\displaystyle$Y}은$($는)$$첫 번째 추출된 원소가 션트 인덕터이기 때문에 Cauer II 형태로 실현될 수 있다.$이것$은 Y${\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle Y}$의 원점에 극을 주지만, 그것은 $Z{\displaystyle }$( s${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ Z$}$의 원점에 필요한 0으로 번역된다$.$계속적인 분수확장은,

${\displaystyle Y(s)\simeq \left[{1 \over 3s};{1 \over 1.083s},{1 \over 0.2175s},{1 \1 \over 1.735s}\right]}}$

그리고 실현된 네트워크는 그림에 나타나 있다.

브루네 합성

브루네 합성은 임의의 PRF를 합성할 수 있으므로, 일반적으로 3-element-kind (즉, RLC) 네트워크가 된다.폴과 제로(zero)는 복잡한 평면의 왼쪽 반쪽 어디에나 놓여 있을 수 있다.^[67]브루네 방법은 포스터 방법에서와 같이 가상 축의 임계 주파수를 제거하기 위한 몇 가지 예비 단계로 시작한다.이러한 예비 단계를 포스터 프리앰블이라고 부르기도 한다.^[68]그리고 나서 브루네 구간을 계단식으로 생산하기 위한 계단의 주기가 있다.^[69]

가상 축의 임계 주파수 제거

${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle j\omega}$ 축의$$ 폴과 0은 PRF에서 추출할 수 있는 L 및 C 원소를 나타낸다.구체적으로 말하자면

• 원점에 있는 폴은 직렬 콘덴서를 나타낸다.
• 무한대의 극은 직렬 인덕턴스를 나타낸다.
• 원점에서 0은 션트 인덕터를 나타낸다.
• 무한대의 0은 션트 콘덴서를 나타낸다.
• $s{\displaystyle }$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$의 극 한 쌍은 직렬로$$ 공진 주파수 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$의 병렬 LC 회로를 나타낸다$$.
• $s{\displaystyle }$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$ i$\omega _{c}}$의 0 쌍은 공진 주파수 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$의 직렬 LC 회로를 션트로 나타낸다$$.

이러한 추출 후 나머지 PRF는 가상 축에 임계 주파수가 없으며 최소 리액턴스, 최소 수신함수로 알려져 있다.브루넷 합성이 적절한 것은 그러한 함수에서 시작된다.^[70]

광범위한 방법 개요

브루네 방법의 본질은 그 주파수에서 함수의 실제와 가상의 부분을 추출하여 ${\displaystyle \mathrm{i\Omega }}$ ${\displaystyle i\omega$}축에$$ 공진 회로로서 0의 쌍을 추출하는 것이다.이것은 합성 네트워크의 첫 번째 브루네 섹션이다.그 결과 남은 것은 2도 더 낮은 또 다른 최소 리액턴스 기능이다.그런 다음 사이클이 반복되며, 각 사이클은 일정한 값(저항)만 남을 때까지 최종 네트워크의 브루네 섹션을 하나 더 생성한다.^[71]브루네 합성은 표준적이며, 즉 최종 합성 네트워크에 있는 원소의 수는 임피던스 함수에 있는 임의 계수의 수와 동일하다.그러므로 합성 회로의 요소 수는 더 이상 줄일 수 없다.^[72]

최소 저항 제거

최소 리액턴스 함수는 어떤 주파수 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $R_{\text{0$에서 최소 실제 부품 ${\displaystyle {\text{Rmin}}_{}}$ ${\$ $\omega_{0}$을 갖는다$.$이 저항은 최소 양-실제 함수 또는 단지 최소 함수라고 불리는 또 다른 PRF의 나머지를 남겨둔 함수에서 추출할 수 있다.^[73]예를 들어 최소 리액턴스 함수

${\displaystyle Z(s)={\frac {3s^{2}+3s+6}{2s^{2s^{2}+s+2}}:}$

has $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{min}}_{}}$= ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {\text{Rmin}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle R_{\text}=1$따라서 최소 $함수$인 Z ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle Z_{1}(s)}$은$($는) 다음과 같다.

${\displaystyle Z_{1}=Z-R_{\text{min}}={\frac {s^{2}+2s+4}}{2s^{2}+s+2}}:}$

음극 인덕턴스 또는 캐패시턴스 제거

$Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle Z_{1}(i\omega _{0})$에 실제 부품이 없으므로$$, 우리는 쓸 수 있다.

${\displaystyle Z_{1}(i\omega _{0}=iX\ .}$

예제 함수의 경우,

${\displaystyle Z_{1}(i\omega _{0})=-i{\sqrt{2}}=iX\ .}$

이 경우 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$은(는) 음의 값 인덕터의 리액턴스 L ${\$}로 해석한다$.$그러므로,

${\displaystyle i}$ X${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\$${1}:{$1} 및

${\displaystyle L_{1}=-1}$

$\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 및 ${\displaystyle \mathrm{i<img\; alt="\backslash omega\; \_\{0\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/9a713d16c489051d4f515e12b1f86061c6be799b"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:2.5ex;\; height:2.009ex;"\; papago-attr-id="382">}}$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle iX$의 값을 대체한 후.그런 다음 이 ${\displaystyle \mathrm{인덕턴스}}$는 $Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( s${\displaystyle }$) ${\displaystyle Z_{1}(s)}$에서 추출되어 다른 PRF, $Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle Z_{2}(s)}$을(를) 남긴다$.$

${\displaystyle Z_{2}s=Z_{1}s-sL_{1}={\frac {2s^{3}+2s^{2}+4s+4}{2s^{2}s^{2}+s+2}}\ .}$^[74]

음수 값을 추출하는 이유는${\displaystyle }$- s ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}가 PRF이기$$ 때문인데, L ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}가$$ 양수였다면 그렇지 않을 것이다.이것은 Z ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle Z_{2}(s)}$도 PRF가 된다는 것을$$ 보장한다(두 PRF의 합도 PRF이기 때문이다.^[75]$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 양의 값인 경우, 대신 입장 함수를 사용하고 음의 캐패시턴스를 추출한다.^[76]이러한 음수 값이 어떻게 구현되는지는 나중의 절에서 설명한다.

0의 결합 쌍의 제거

$Z{\displaystyle (i}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle Z(i\omega _{0})$의 실제 부분과 가상 부분 모두 이전 단계에서 제거되었다$$.이렇게 하면 ${\displaystyle \mathrm{예시}}$ ${\displaystyle {함수}_{}}$를 인수하여 표시된 $것$처럼 Z 2${\displaystyle {}_{}}$( s${\displaystyle }$) ${\displaystyle Z_{2}(s)$에 0 쌍이${\displaystyle }$± ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ i$\omega_{0}$에 남는다.^[77]

${\displaystyle Z_{2}s(s)={\frac {2s^{3}+2s^{2}+4s+4}{2s^{2}+s+2}}={\frac {(s^{2}+2)}{2s+2)}{2s^{2}+2}}\}}}}}.$

그러한 한 쌍의 0은 션트 공명 회로를 나타내기 때문에, 입장함수에서 극 한 쌍으로 추출한다.

${\displaystyle {\reasoned}Y_{2}(s)&={1 \over Z_{2}(s)}={\frac {2s^{2}+s+2}{(s^{2}+2)}{(s^{2}+2)}}{{1 \}{2s+2}}+{\frac {s/2}+}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\&=Y_{3}+{\frac {s/2}{s^{2}+2}}\\\end{정렬}}}}$

가장 오른쪽 용어는 L ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle L_{2}=2}$ 및 C$$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle C_{2}=1/4}$의 추출된 공명회로$,$^[78] 지금까지 합성된 네트워크가 그림에 나타나 있다.

무한대에서 폴 제거

${\displaystyle Z_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle Z_{3}(s)}}$은(는) 음 인덕턴스를 추출하여 무한대에 극이 있어야 한다$$.이 장대는 이제 양의 인덕턴스로 추출할 수 있다.^[79]

${\displaystyle Z_{3}s={1 \over Y_{3}s}=2s+2=Z_{4}s.}$

따라서 L ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle L_{3}=2}$과(와) 같다$$.

음극 인덕턴스를 변압기로 교체

음극 인덕턴스는 패시브 구성 요소로 직접 구현할 수 없다.그러나 인덕터의 "티"는 음의 인덕턴스를 흡수하는 상호 결합 인덕터로 변환될 수 있다.^[80]결합 계수의 통합(긴밀하게 결합)으로 상호 인덕턴스 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M$}$이(가$)$ 2.0이다.

헹구고 반복한다.

일반적으로 $Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle Z_{4}(s)}$은 또 다른 최소 리액턴스 함수가 될 것이고$$ 브루네 사이클을 반복하여 다른 브루네 섹션을 추출한다^[81]. 이 예에서 원래의 PRF는 2도였으므로, 2도 정도 줄인 후, 사소한 것으로는 하나의 항만 합성되는 것이다.

포지티브 X

사이클의 2단계에서는 PRF 잔량을 보장하기 위해 음의 요소 값을 추출해야 한다고 언급되었다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 양수인 경우 추출된 소자는 음수인 경우 직렬 인덕터 대신 션트 캐패시터여야 한다.임피던스 $Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle s}$ ) ${\displaystyle Z_{1}(s)}$ 대신$$ $입원성{\displaystyle {}_{}}$ Y 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle$ Z_{1$}(s)}$에서 추출한다$.$사이클의 4단계에 도달한 회로 토폴로지는 인덕터와 콘덴서의 티 대신 capac(pi)와 인덕터를 더한 것이다.캐패시터 플러스 인덕터의 이 π은 인덕터 플러스 캐패시터 티의 등가 회로임을 알 수 있다.따라서 양의 인덕턴스를 추출한 다음 그렇지 ${\displaystyle {않더라도\mathrm{}}_{}}$Z ${\displaystyle 2}$( s ) ${\displaystyle Z_{$2}($s)$가 PRF인 것처럼 진행하는 것이 허용된다.정확한 결과는 여전히 도착하고 나머지 기능은 다음 사이클로 공급될 수 있도록 PRF가 될 것이다.^[82]

보트-더핀 합성

Bot-Duffin 합성은 ${\displaystyle \mathrm{i\Omega }}$ ${\displaystyle i\omega}$축에서$$ 모든 극과 영을 제거함으로써 브루네 합성과 같이 시작된다.리차드의 정리가 실행되는데, 이 정리는

${\displaystyle R(s)={\frac {kZ(s)-sZ(k)}{kZ(k)-sZ}}}$

$Z{\displaystyle }$${\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle Z}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{PRF}}$인 경우 $R{\displaystyle }$( s${\displaystyle }$) ${\displaystyle R}$은 $k$${\displaystyle k$^[83]의 모든 실제 양의 값에 대한 PRF이다.

$Z{\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle$ Z$}$을(를$)$ 식의 주체로$$ 만들면,^[84]

${\displaystyle Z(s)=\left({\frac {R(s)}{Z(k)}}+{\frac {k}{sZ(k)}}\right)^{-1}+\left({\frac {1}{Z(k)R(s)}}+{\frac {s}{kZ(k)}}\right)^{-1}}$

Bot-Duffin 합성의 한 사이클의 예가 그림에 나와 있다.The four terms in this expression are, respectively, a PRF (${\displaystyle Z_{2}(s)}$ in the diagram), an inductance, ${\displaystyle L}$, in parallel with it, another PRF (${\displaystyle Z_{1}(s)}$ in the diagram), and a capacitance, ${\displaystyle C}$, in parallel with it.그런 다음 ${\displaystyle \mathrm{i\Omega }}$ ${\displaystyle i\omega }$축의$$ 임계 주파수 쌍을 각각 공명 회로로 실현되는 두 개의 새 PRF(세부 정보는 여기에 제공되지 않음) 각각에서 추출한다.다이어그램에서$$ 두 개의 나머지 PRF(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle s}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle Y_{3}}$ 및$$ Z ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$($s$ ${\displaystyle Z_{4}})$는 각각 Z${\displaystyle }$(${\displaystyle s}$) ${\displaystystyle$ Z$}$보다 2도 낮다$.$^[85]그런 다음 단 하나의 요소만 남을 때까지 생성된 새로운 PRF에도 동일한 절차를 반복적으로 적용한다.^[86]생성되는 PRF의 수는 각 사이클에 따라 두 배가 되기 때문에 합성되는 요소의 수는 기하급수적으로 증가할 것이다.Bot-Duffin 방법은 변압기의 사용을 피하고 수동적 네트워크로서 실현이 가능한 어떤 표현에도 적용할 수 있지만, 필요한 구성품수가 많아 실용화에 한계가 있다.^[87]

바야르 합성

Bayard 합성은 Gauss 인자화 절차에 기초한 상태-공간 합성 방법이다.이 방법은 최소 저항기 수를 사용하여 합성을 반환하며, 자이터를 포함하지 않는다.그러나 이 방법은 비수동적이며 일반적으로 최소의 리액턴스 요소를 반환할 것이다.^[88]

달링턴 합성

달링턴 합성은 지금까지 논의된 기법에서 다른 관점에서 시작되는데, 모두 규정된 이성적 함수에서 시작하여 하나의 포트 임피던스로 실현된다.달링턴 합성은 2포트 네트워크의 원하는 전송 함수인 규정된 이성 함수로 시작한다.달링턴은 어떤 PRF도 출력 포트를 종단하는 단일 저항기가 있는 L과 C 요소만을 사용하여 2포트 네트워크로서 실현될 수 있다는 것을 보여주었다.^[89]달링턴과 관련 방법을 삽입 손실법이라고 한다.^[90]이 방법은 각 포트가 단일 저항기로 종료된 다중 포트 네트워크로 확장할 수 있다.^[91]

일반적으로 달링턴 방식은 변압기나 커플링 인덕터가 필요하다.그러나 대부분의 일반적인 필터 유형은 이러한 바람직하지 않은 특징 없이 달링턴 방식으로 구성할 수 있다.^[92]

능동 및 디지털 구현

패시브 요소만을 사용해야 한다는 요건이 해제되면 실현을 크게 간소화할 수 있다.증폭기는 상호작용을 하지 않도록 네트워크의 일부를 서로 완충하는 데 사용할 수 있다.^[93]각각의 완충된 세포는 이성적 기능의 한 쌍의 극을 직접 실현할 수 있다.그러면 기능의 어떤 종류의 반복적인 확장이 필요하지 않다.이런 종류의 합성의 첫 번째 예는 1930년 스티븐 버터워스 덕분이다.^[94]그가 제작한 버터워스 필터는 필터 디자인의 고전이 되었지만, 액티브 컴포넌트보다는 순전히 패시브 컴포넌트로 구현되는 경우가 더 많았다.이러한 종류의 보다 일반적으로 적용 가능한 설계에는 1955년 MIT 링컨 연구소의 R. P. Salen 및 E. L. Key로 인한 Salen-Key 위상 및 2차 필터 등이 포함된다.^[95]달링턴 접근법처럼 버터워스와 살렌-키는 임피던스가 아닌 규정된 전송 기능으로 시작한다.능동 구현의 주요 실제적 이점은 상처부위(변환기 및 인덕터)의 사용을 전면적으로 피할 수 있다는 점이다.^[96]이것들은 제조상의 이유로 바람직하지 않다.^[97]활성 설계의 또 다른 특징은 PRF에만 국한되지 않는다는 점이다.^[98]

디지털 실현은 능동 회로와 마찬가지로 PRF에만 국한되지 않으며 단순히 프로그래밍을 통해 어떤 합리적인 기능도 구현할 수 있다.그러나 기능이 안정적이지 않을 수도 있다.즉, 진동으로 이어질 수 있다.PRF는 안정성이 보장되지만 다른 기능은 그렇지 않을 수 있다.합리적인 함수의 안정성은 함수의 극과 영점을 검사하고 나이키스트 안정성 기준을 적용하여 결정할 수 있다.^[99]

참조

참고 문헌 목록

원천

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