페론의 공식

수학에서, 그리고 더욱 특히 분석적인 수 이론에서, 페르론의 공식은 역 멜린 변환을 이용하여 산술 함수의 합을 계산하기 위한 오스카르 페론 때문에 생긴 공식이다.

성명서

$\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{a(n)\}}$을(를) 산술함수로 하고$$, let let let into a (n ) }

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}}}}}}}}$

디리클레 시리즈에 해당하다디리클레 시리즈가 ( ) > ${\displaystyle \Re (s)}\sigma }$에 대해 균일하게 수렴된다고 가정한다 그러면 Perron의 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle A(x)={n\leq x}}a(n)={\frac {1}{2\pi i}\int_{c-i\infit }^{c+i\inflt }g(z){\x^{z}}\dz.}$

여기서 합계의 프라임은 x가 정수일 때 합계의 마지막 기간에 1/2을 곱해야 함을 나타낸다.적분은 수렴성 르베그 적분이 아니다; 그것은 카우치 원가로 이해된다.공식은 c > 0, c > σ, x > 0을 요구한다.

증명

그 증거에 대한 쉬운 스케치는 아벨의 합계 공식을 취하는 것에서 나온다.

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\inflac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{1}{1}\inflt }A(x)x^{-(s+1)dx}dx.}$

이것은 변수${\displaystyle }변화{\displaystyle }$ x = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$. ${\displaystyle x=$e^{$t}$ 아래의 라플라스 변환에 불과하다.$}}$ 뒤집으면$$ 퍼론의 공식을 얻는다.

예

디리클레 시리즈와의 일반적인 관계 때문에, 이 공식은 많은 수의 이론적 합계에 일반적으로 적용된다.따라서, 예를 들어, Riemann zeta 함수에 대한 유명한 적분 표현을 가지고 있다.

${\displaystyle \zeta(s)=s\int _{1}^{\\infload }{\frac {\lfloor x\lploor }{x^{s+1}}\,dx}$

Dirichlet L-기능에 대한 유사한 공식:

${\displaystyle L(s,\chi )=s\int _{1}^{\inflt }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}\,dx}$

어디에

${\displaystyle A(x)=\sum _{n\leq x}\chi(n)}$

및 $\chi {\displaystyle }$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \chi (n)}$은(는) 디리클레 문자다.다른 예는 메르텐스 함수와 폰 망골트 함수에 관한 기사에 나타난다.

일반화

페론의 공식은 멜린 이산 콘볼루션의 특별한 경우일 뿐이다.

${\displaystyle \sum \n=1}^{n(n)f(n/x)={\frac {1}{2\pi i}\int_{c-i\infit }^{c+i\s)x^{s}ds}$

어디에

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\f(x)x^{s-1}dx}$

멜랭의 변모Perron ${\displaystyle \mathrm{공식}}$은 시험 함수 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle }$1 /${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \theta }$( ${\displaystyle \mathrm{x}}$- 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle f(1/x)=\theta (x-1$)의 특별한 경우일 뿐이며,$$${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}${\$displaysty \theta (x)}$ Hubiside 단계 함수를 위한 것이다.

참조

• 243페이지Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Weisstein, Eric W. "Perron's formula". MathWorld.
• Tenenbaum, Gérald (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 46. Translated by C.B. Thomas. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001.