다중제타함수

수학에서 다중 제타 함수는 리만 제타 함수의 일반화로서, 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots ,s_{k})=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ {\frac {1}{n_{1}^{s_{1}}\cdots n_{k}^{s_{k}}}}=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ \prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}^{s_{i}}}},\!}$

그리고 R(s₁) + ...일 때 수렴한다.+ 모든 i에 대해_i > i.리만 제타 함수처럼 다중 제타 함수는 분석적으로 계속 영형함수일 수 있다(예: 자오(1999) 참조).s₁, ..., s가_k 모두 양의 정수일 때(s₁ > 1) 이러한 합은 종종 다중 제타 값(MZV) 또는 오일러 합이라고 불린다.이 값들은 또한 다중 다변수의 특수값으로 간주될 수 있다.^[1][2]

위의 정의에서 k는 MZV의 "깊이"로 명명되며, n = s₁ + ...+ s는_k "체중"^[3]으로 알려져 있다.

다중 제타 함수를 쓰는 표준 속기는 반복적인 인수의 문자열을 가새에 넣고 위첨자를 사용하여 반복 횟수를 표시하는 것이다.예를 들어,

${\displaystyle \zeta(2,1,2,1,3)=\zeta(\{2,1\}^{2},3)}$

정의

다중 제타 함수는 다중 폴리 로가리듬의 특별한 경우로 발생한다.

${\displaystyle \mathrm {Li} _{s_{1},\ldots ,s_{d}}(\mu _{1},\ldots ,\mu _{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {\mu _{1}^{k_{1}}\cdots \mu _{d}^{k_{d}}}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}}$

다변량 함수의 일반화.단결과 나는{\displaystyle s_{나는}은}의 모든 나는}{\displaystyle \mu_{나는}은 μ의 n번째 뿌리 모두 비음의 정술 때 nx2{\displaystyle n=2}, 그들은 Eule라고 불린다, 여러 polylogarithm의 가치입니다. 특히, 수준 n{n\displaystyle}의 색깔 있는 다중의 제타 가치라고 불린다.r 합 또는 여러 제타 값을 번갈아 가며, $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n=1}$일 때, 단순히$$ 다중 제타 값이라고 부른다.다중 제타 값은 종종 기록된다.

${\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots,s_{d}}=\sum \doS_{k_{d}}}0}{\frac {1}{1}{k_{1}^{1}:{d}}}}}}}}$

그리고 오일러 합계가 쓰여졌다.

${\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots ,s_{d};\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {\varepsilon _{1}^{k_{1}}\cdots \varepsilon ^{k_{d}}}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}}$

여기서 $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \varepsilon$ $_$${i}=\pm$ 1$\}.$ 때때로 저자들은 -${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$$$s_${i$$}$에 해당하는$$ s ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$displaystyle s_${$i$$}$에 대해 막대를 쓴다$.$ 예를 들어,

${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \stackrel{}{(,}b\stackrel{}{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle (,b}$;${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \zeta ({\overline{a},b)=\zeta (a,b;-1,1$

일체형 구조 및 ID

색상의 복수 제타 값(따라서 그들의 특수한 경우)을 특정 다변량 적분으로 표현할 수 있다는 것이 콘체비치로부터 주목받았다.이 결과는 종종 통합 통합에 대한 규약을 사용하여 명시된다.

${\displaystyle \int _{0}^{x}f_{1}(t)dt\cdots f_{d}(t)dt=\int _{0}^{x}f_{1}(t_{1})\left(\int _{0}^{t_{1}}f_{2}(t_{2})\left(\int _{0}^{t_{2}}\cdots \left(\int _{0}^{t_{d}}f_{d}(t_{d})dt_{d}\right)\right)dt_{2}\right)dt_{1}}$

이 관례를 이용하여 그 결과를 다음과 같이 진술할 수 있다.^[2]

${\displaystyle \mathrm {Li} _{s_{1},\ldots ,s_{d}}(\mu _{1},\ldots ,\mu _{d})=\int _{0}^{1}\left({\frac {dt}{t}}\right)^{s_{1}-1}{\frac {dt}{a_{1}-t}}\cdo$$ts \left({\frac {dt}{t}}\right)^{s_{d}-1}{\frac {dt}{a_{d}-t}}}$ where ${\displaystyle a_{j}=\prod \limits _{i=1}^{j}\mu _{i}^{-1}}$ for ${\displaystyle j=1,2,\ldots ,d}$.

이 결과는 반복된 통합의 제품과 관련하여 잘 알려진 결과, 즉 다음과 같은 점에서 매우 유용하다.

${\displaystyle \left(\int _{0}^{x}f_{1}(t)dt\cdots f_{n}(t)dt\right)\left(\int _{0}^{x}f_{n+1}(t)dt\cdots f_{m}(t)dt\right)=\sum \limits _{\$시그마({\mathfrak{쉬}}_{n,m}}\int _ᆶ^ᆷf_ᆸ(t)\cdots f_ᆹ(t)}이 Shn, m){σ ∈ Sm∣ σ(1)<>⋯<>σ(n),σ(n+1)<>⋯<>σ)}{\displaystyle{\mathfrak{쉬}}_{n,m}=\{\sigma \in S_{m}\mid \sigma(1)<, \cdots <, \sigma(n),\sigma(n+1)<, \cdots <, \sigma(m)\}}과. Sm{\displaystyl$e S_{m}}$은(는$)$ m {\$displaystyle m}$ 기호에$$ 있는 순열 그룹이다$$.

To utilize this in the context of multiple zeta values, define ${\displaystyle X=\{a,b\}}$, ${\displaystyle X^{*}}$ to be the free monoid generated by ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ to be the free ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-vector space generated by ${\displaystyle {}^{}}$$∗{\$ ${\$은(는) 셔플 제품을 장착할$$ 수 있어 대수학으로 변한다.그런 다음 다중 제타 함수를 평가 맵으로 볼 수 있는데, $여기$서${\displaystyle }$a = ${\displaystyle d\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$ a$={\frac {dt}{t$${\displaystyle }$b = ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$1 - ${\displaystyle \frac{t}{}}${\$dplaystyle b={\dt}{1-t$ 정의한다.

${\displaystyle \zeta }$( ${\displaystyle w\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}\mathbf{}}$ ${\$ $w$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle {^}^{}}$ ${\$

앞서 언급한 본질적인 정체성에 의해

${\displaystyle \zeta }$(${\displaystyle {{s\mathrm{}}_{}}^{}}$ 1${\displaystyle {{}_{}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ b${\displaystyle {\mathrm{a}{}_{}}^{}}$a d -${\displaystyle {}^{}}$ b )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \zeta }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle s_{}}$) ${\displaystyle \zeta (a^{s_{1$}-$1}b\cdots$ a$^{s_{d}-1b)=\zeta (s_{1},\ldots_s_{d$

그러면^[2] 제품에 있는 일체형 아이덴티티가

${\displaystyle \zeta }$( ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle \zeta }$(${\displaystyle v}$) =${\displaystyle \zeta }$( ${\displaystyle w}$ ⧢ ${\displaystyle v}$) ${\displaystyle \zeta (w)\zeta (v)=\zeta (w{\text{}}v)}$.

두 파라미터 케이스

단 두 개의 파라미터(s >1 및 n,m 정수 포함):^[4]

${\displaystyle \zeta (s,t)=\sum _{n>m\geq 1}\ {\frac {1}{n^{s}m^{t}}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\sum _{m=1}^{n-1}{\frac {1}{m^{t}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m^{t}}}}}}}}}$

$displaystyle \zeta (s,t)=\sum$$}}}}$ 여기서$$ $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {n,}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$은 일반화된 고조파 숫자다.

다중 제타 함수는 MZV 이중성이라고 알려진 것을 만족시키는 것으로 알려져 있는데, 이 중 가장 단순한 경우는 오일러의 유명한 정체성이다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {H_{n}}{(n+1)^{2}}}}=\제타(2,1)=\제타(3)=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac{1}{n^{3}},\!}$

여기서 H는_n 고조파 숫자다.

이중 제타 함수의 특수 값, s > 0 및 짝수, t > 1 및 홀수, s+t=2N+1(필요한 경우 ζ(0) = 0):^[4]

${\displaystyle \zeta (s,t)=\zeta (s)\zeta (t)+{\tfrac {1}{2}}{\Big [}{\tbinom {s+t}{s}}-1{\Big ]}\zeta (s+t)-\sum _{r=1}^{N-1}{\Big [}{\tbinom {2r}{s-1}}+{\tbinom {2r}{t-1}}{\Big ]}\zeta (2r+1)\zeta (s+t-1-2r)}$

s	t	근사치	노골적인 공식	OEIS
2	2	0.811742425283353643637002772406	${\displaystyle {\tfrac {3}{4}\제타(4)}$	A197110
3	2	0.228810397603353759768746148942	${\displaystyle 3\zeta(2)\zeta(3)-{\tfrac {11}{2}}\zeta(5)}$	A258983
4	2	0.088483382454368714294327839086	${\displaystyle \left(\zeta (3)\오른쪽)^{2}-{\tfrac {4}{3}\zeta (6)}$	A258984
5	2	0.038575124342753255505925464373	$#\displaystyle 5\zeta(2)\zeta(5)+2\zeta(3)\zeta(4)-11\zeta(7)}$	A258985
6	2	0.017819740416835988		A258947
2	3	0.711566197550572432096973806086	${\displaystyle {\tfrac {9}{2}}\제타(5)-2\제타(2)\제타(3)}$	A258986
3	3	0.213798868224592547099583574508	${\displaystyle {\tfrac {1}{1}:{2}}\왼쪽(\제타(3)\오른쪽)^{2}-\제타(6)\오른쪽)}$	A258987
4	3	0.085159822534833651406806018872	$17\제타(7)-10\제타(2)\제타(5)}$	A258988
5	3	0.037707672984847544011304782294	${\displaystyle 5\zeta (3)\zeta(5)-{\tfrac { {}{24}\zeta(8)-{\tfrac {5}{2}}\zeta(6,2)}$	A258982
2	4	0.674523914033968140491560608257	${\displaystyle {\tfrac {25}{12}\제타(6)-\왼쪽(\제타(3)\오른쪽)^{2}}$	A258989
3	4	0.207505014615732095907807605495	$제타(3)-제타(4)-18\제타(7)$	A258990
4	4	0.083673113016495361614890436542	${\displaystyle {\tfrac {1}{1}:{2}}\왼쪽(\제타(4)\오른쪽)^{2}-\제타(8)\오른쪽)}$	A258991

$s{\displaystyle }$+ ${\displaystyle t}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$+ 2 ${\displaystyle s+t=2p+2}$인 경우 $p{\displaystyle }$/ ${\displaystyle 3\mathrm{}}$ ${\displaystyle p/3}$개의$$ 무지렁이가 있다는 점에 유의하십시오. 즉, 이러한 MZV는 ${\displaystyle \zeta }$(${\displaystyle }$) ${\displaysty \zeta (a)}$의 함수로만 기록할 수 없다.^[5]

3개의 파라미터 케이스

특별히 우리가 가진 세 가지 매개변수의 경우(a >1과 n,j,i 정수):

${\displaystyle \zeta (a,b,c)=\sum _{n>j>i\geq 1}\ {\frac {1}{n^{a}j^{b}i^{c}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(j+1)^{b}}}\sum _{i=1}^{j}{\frac {1}{(i)^{c}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {H_{i,c}}{(j+1)^{b}}}}$

오일러 반사식

위의 MZV는 오일러 반사 공식을 만족한다.

${\displaystyle }$${\displaystyle }$( a${\displaystyle }$,${\displaystyle b}$) + ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle b}$,${\displaystyle a}$) = ${\displaystyle (}$( ) -${\displaystyle }$( ( ${\displaystyle b}$ ) -$$ (${\displaystyle }$+${\displaystyle }$b ) {\$displaystyle \zeta (a$,b$)+\zeta ($b,a$)=\zeta$ (a)=\jeta$$$(a$$(b$ > $1$${\displaysty,b>1.$

Shuffle 관계를 사용하면 다음과 같은 것을 쉽게 증명할 수 있다.^[5]

${\displaystyle \zeta (a,b,c)+\zeta (a,c,b)+\zeta (b,a,c)+\zeta (b,c,a)+\zeta (c,a,b)+\zeta (c,b,a)=\zeta (a)\zeta (b)\zeta (c)$$+2\제타(a+b+c)-\제타(a)\제타(b+c)-\제타(b)\제타(b)-\제타(a+b)}($+b)는 a > ${\displaysty a,b,c>$1}에 $대해$+2\제타(a+b)-\jeta)-zeta}

이 함수는 반사 공식을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

제타 함수의 대칭 합

Let ${\displaystyle S(i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k})=\sum _{n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots n_{k}\geq 1}{\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$, and for a partition ${\displaystyle \mathrm{\Pi }=\{P_1,{}_{}}$${\displaystyle \Pi =\{P_{1},P_{2},\dots ,P_{l}\}}$ of the set ${\displaystyle \{1,2,\dots ,k\}}$, let ${\displaystyle c(\Pi )=(\left P_{1}\right -1)!$$(\왼쪽 P_{2}\오른쪽 -1)!$$\cdots (\left P_{l}\right -1)!}$. Also, given such a ${\displaystyle \Pi }$ and a k-tuple ${\displaystyle i=\{i_{1},...,i_{k}\}}$ of exponents, define ${\displaystyle \prod _{s=1}^{l}\zeta (\sum _{j\in P_{s}}i_{j})}$.

The relations between the ${\displaystyle \zeta }$ and ${\displaystyle S}$ are: ${\displaystyle S(i_{1},i_{2})=\zeta (i_{1},i_{2})+\zeta (i_{1}+i_{2})}$ and ${\displaystyle S(i_1,i_2,i_3)=\zeta (i_1,i_2,i_3)+\zeta (i_1+i_2}$${\displaystyle S(i_{1},i_{2},i_{3})=\zeta (i_{1},i_{2},i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2},i_{3})+\zeta (i_{1},i_{2}+i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2}+i_{3})}$

정리 1 (호프만)

진정한 명확히 설명 1, ⋯ 들어, 나는, 1,{\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}>, 1,},∑σ∈ ∑ k S(나는(1σ), …{1,…, km그리고 4.9초 만}c, 나는))(k)σ∑ 파티션 Π(Π)ζ(나는, Π){\displaystyle \sum_{\sigma)\sum_{k}}S(i_{\sigma(1)},\dots ,i_{\sigma(k)})=\sum _{{\text{파티션}}\Pi{\text{의 > k. }}){1,$\dots ,k\}c(\Pi )\zeta(i,\Pi$ $)\}.$

증명. $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$가 모두 구별된다고$$ 가정한다. (제한을 취할 수 있으므로 일반성의 손실은 없다.)The left-hand side can be written as ${\displaystyle \sum _{\sigma }\sum _{n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots \geq n_{k}\geq 1}{\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\s$$이그마(k$ 이제 대칭에 대해 생각하고 있다.

${\displaystyle \underset{}{그룹}}$ $∑$ k {\$displaystyle \sum _{k}$는 k-tuple $n{\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \cdots }$ , $k$)${\displaystyn$=($1,\cdots ,k)}$에 작용한다.지정된 $k-tuple{\displaystyle }$n =${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \cdots ,}$ ${\displaystyle n_{}}$k )$${\$displaystyle n=(n_{1},\cdots,n_{k}}$에 동위원소 그룹이 있음$$

${\displaystyle \sum _{k}(n)}$ and an associated partition ${\displaystyle \Lambda }$ of ${\displaystyle (1,2,\cdots ,k)}$: ${\displaystyle \Lambda }$ is the set of equivalence classes of the relation given by ${\displaystyle i\sim j}$ iff ${\displaystyl$$e n_{i}=n_{j}}$, and ${\displaystyle \sum _{k}(n)=\{\sigma \in \sum _{k}:\sigma (i)\sim \forall i\}}$. Now the term ${\displaystyle {\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)$$}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}}$ occurs on the left-hand side of ${\displaystyle \sum _{\sigma \in \sum _{k}}S(i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})=\sum _{{\text{partitions }}\Pi {\text{ of }}\{1,\dots ,k\}}c(\Pi )\z$$eta (i,\Pi )}$ 정확히$$ ${\displaystyle \sum \underset{k}{}}$(${\displaystyle n}$) $displaystyle \left \sum _{k}(n)\right }$번$$.It occurs on the right-hand side in those terms corresponding to partitions ${\displaystyle \Pi }$ that are refinements of ${\displaystyle \Lambda }$: letting ${\displaystyle \succeq }$ denote refinement, ${\displaystyle {\fra$$c {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}}$ occurs ${\displaystyle \sum _{\Pi \succeq \Lambda }(\Pi )}$ times.Thus, the conclusion will follow if ${\displaystyle \left \sum _{k}(n)\right =\sum _{\Pi \succeq \Lambda }c(\Pi )}$ for any k-tuple ${\displaystyle n=\{n_{1},\cdots ,n_{k}\}}$ and associated partition ${\displaystyle \Lambda }$. To see this, note that $$${\displaystyle c}$ (${\displaystyle \mathrm{\pi }}$) ${\displaystyle c(\Pi )}$은(는) ∑ ${\displaystyle \Pi$}이(가)^[6] 지정한 사이클 형식의 순열을 계산한다$$.$$$\sum {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{k}}$(${\displaystyle \underset{}{}}$) ${\displaysty \sum _{k}(n)$의 모든 요소는$$ ${\displaystyleda }$을 다시 정의한다.

For ${\displaystyle k=3}$, the theorem says ${\displaystyle \$$sum _{\sigma \in \sum _{3}}S(i_{\sigma (1)},i_{\sigma (2)},i_{\sigma (3)})=\zeta (i_{1})\zeta (i_{2})\zeta (i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2})\zeta (i_{3})+\zeta (i_{1})\zeta (i_{2}+i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{3})\zeta (i_{2})+2\zeta (i_{1}+i_{2}+i_{3})}$ for ${\displaystyle i_{1},i_{2},i_{3}>1}$.이것이 의 주된 결과다.^[7]

ζ(나는 1,2, ⋯, 나는 k)를 갖는 것은)∑ n1>n2>⋯ nk≥ 11n1나는 1n2나는 2⋯ nik{\displaystyle \zeta(i_{1},i_{2},i_{k},\cdots)=\sum_{n_{1}> k, n_{2}>, \cdots(1}{\frac{1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}}}}}. 정리의 아날로그를 언급하다, n_{k}^{i_{k}\cdots.1에 대한를${\displaystyle {\zeta }^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \zeta's$ 표기법 1비트가 필요하다.파티션의 경우

${\displaystyle \Pi =\{P_{1},\cdots ,P_{l}\}}$ or ${\displaystyle \{1,2\cdots ,k\}}$, let ${\displaystyle {\tilde {c}}(\Pi )=(-1)^{k-l}c(\Pi )}$.

정리2 (호프만)

진정한 명확히 설명 1, ⋯ 들어, 나는, 1{\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}> 1}, ∑ σ ∈ ∑ k ζ(나는(1σ), …, i)(k)σ){1,…, km그리고 4.9초 만}c~의∑ 파티션 Π(Π)ζ(나는, Π){\displaystyle \sum_{\sigma)\sum_{k}}\zeta(i_{\sigma(1)},i_{\sigma(k)})=\sum _{{\text{파티션}}\Pi ,\dots > k. {\text$}}}\{1,\dots,k\}{\tilde{c}}(\Pi )\zeta(i$,\$Pi )}$.

증거. 우리는 앞의 증거와 같은 주장을 따른다.좌측 편은 이제∑ σ∑ n1>n2>⋯>nk≥ 11n나는 1σ(1)ni2σ(2)⋯ 나는 kσ(k){\displaystyle \sum_{\sigma}\sum _{n_{1}>, n_{2}>, \cdots입니다. n;n_{k}\geq 1}{\frac{1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma(1)}{n^{{2i_}}}}{n^{i_{k}_{\sigma(2)}\cdots}_{\sigma(.k=}}}}, term ${\displaystyle {\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$ occurs on the left-hand since once if all the ${\displaystyle n_{i}}$ are distinct, and not at all otherwise.Thus, it suffices to show ${\displaystyle \sum _{\Pi \succeq \Lambda }{\tilde {c}}(\Pi )={\begin{cases}1,{\text{ if }}\left \Lambda \right =k\\0,{\text{ otherwise }}.$$\end{case}}($1)

To prove this, note first that the sign of ${\displaystyle {\tilde {c}}(\Pi )}$ is positive if the permutations of cycle-type ${\displaystyle \Pi }$ are even, and negative if they are odd: thus, the left-hand side of (1) is the signed sum of the number of even and odd permutations in the isotropy group ${\displaystyle \sum _k(n}$${\displaystyle \sum _{k}(n)}$. But such an isotropy group has equal numbers of even and odd permutations unless it is trivial, i.e. unless the associated partition ${\displaystyle \Lambda }$ is ${\displaystyle \{\{1\},\{2\},\cdots ,\{k\}\}}$.^[6]

합계와 이중성이 추측된다^[6].

우리는 먼저 C에 기인하는 총액 억측을 진술한다.모엔.^[8]

합계 추측.양의 정수 k와 엔의 경우 ∑ 나는 1+⋯+나는 k), 나는 1대리자 1ζ(나는 1, ⋯, 나는 k))ζ(n){\displaystyle \sum_{i_{1}+\cdots +i_{k}=n,i_{1}&gt가 합 k-tuples 위로 확장은 1}\zeta(i_{1},i_{k},\cdots)=\zeta(n)}, 양의 정수 wi의 나는 1, ⋯, 나는 k{\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}}.월 > ${\displaystyle i_{1}>1$

이 추측에 관한 세 가지 발언이 정리되어 있다.나는 1+⋯+∑ 나는 k), 나는 1대리자 2{\displaystyle k=2}이 ζ(n− 1,1)+ζ(n− 2, 말한다 첫째,>1S(나는 1, ⋯, 나는 k))(n− 1k− 1)ζ(n){\displaystyle \sum_{i_{1}+\cdots +i_{k}=n,i_{1}>, 1}S(i_{1},i_{k},\cdots)={n-1\choose k-1}\zeta(n)}. 그 사건에서 두번째, k=를 암시한다.2)${\displaystyle \zeta (n-1,1)+\zeta (n-2,2)+\cdots +\zeta (2,n-2)=\zeta (n)}$, or using the relation between the ${\displaystyle \zeta 's}$ and ${\displaystyle S's}$ and Theorem 1, ${\displaystyle 2S(n$$-1,1)=(n+1)\제타(n)-\sum _{k=2}^{n-2}\제타(k)\제타(n-k)$$}$

이것은 오일러에^[9] 의해 증명되었고, 특히 윌리엄스에 의해 여러 번 재발견되었다.^[10]드디어 C.Moen은^[8] 길고 기본적인 논쟁으로 k=3에 대한 동일한 추측을 증명했다.이중성 추정에 대해서는 먼저 첫 번째 요소가 1보다 큰 양의 정수의 유한 시퀀스인 $set$ ${\displaystyle \Tau$} 집합에$$ 비자발성 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \Tau }$을 정의한다.$T{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$를) 양의 정수의 유한 시퀀스 집합으로 하고$$, ${\displaystyle and\mathrm{}}$: ${\displaystyle \mathrm{\Im }}$→ T ${\$:$\Im \rightarrow \mathrm {T}$은(는) $\Im {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Im$}의 시퀀스를 부분 합계 시퀀스로 보내는$$ 함수다$$.If ${\displaystyle \mathrm {T} _{n}}$ is the set of sequences in ${\displaystyle \mathrm {T} }$ whose last element is at most ${\displaystyle n}$, we have two commuting involutions ${\displaystyle R_{n}}$ and ${\displaystyle C_{n}}$ on ${\displaystyle \mathrm {T} _{n}}$defined by ${\displaystyle R_{n}(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{l})=(n+1-a_{l},n+1-a_{l-1},\cdots ,n+1-a_{1})}$ and ${\displaystyle C_{n}(a_{1},\cdots ,a_{l})}$ = complement of ${\displaystyle \{a_1,\cdots ,a_{}}$${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle \{a_{1},\cdots,$${\displaystyle \mathrm{a\_}}$${l$$}\}}{\displaystyle \{1,2,\cdots,n\}}$의 {${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2\}}$이(가) 증가 순서대로 배열되어$$ 있다.The our definition of ${\displaystyle \tau }$ is ${\displaystyle \tau (I)=\Sigma ^{-1}R_{n}C_{n}\Sigma (I)=\Sigma ^{-1}C_{n}R_{n}\Sigma (I)}$ for ${\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k})\in \Im }$ wit${\displaystyle h}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$= n ${\displaystyle i_{1}+\cdots +i_{k}=n}$.

For example, ${\displaystyle \tau (3,4,1)=\Sigma ^{-1}C_{8}R_{8}(3,7,8)=\Sigma ^{-1}(3,4,5,7,8)=(3,1,1,2,1).}$ We shall say the sequences ${\displaystyle (i_{1},\cdots ,i_{k})}$ and ${\displaystyle \tau (i_{}}$${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}\cdots }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$) ${\displaystyle \tau(i_{1},\cdots ,i_{k}}}$은(는) 서로 이중으로$$ 되어 $있으며{\displaystyle }$, $\$ {\$displaystyle \tau}$에 의해 고정된 시퀀스를 참조한다$$.^[6]

이중성 추측(호프만).If ${\displaystyle (h_{1},\cdots ,h_{n-k})}$ is dual to ${\displaystyle (i_{1},\cdots ,i_{k})}$, then ${\displaystyle \zeta (h_{1},\cdots ,h_{n-k})=\zeta (i_{1},\cdots ,i_{k})}$.

이 총량 추측은 Sum Organy라고도 하며 다음과 같이 표현할 수 있다: 정수 n ≥ 2의 리만 제타 값은 길이 k와 무게 n 칸막이의 모든 유효(즉₁, s > 1) MZV의 합과 같고, 1 ≤ k ≤n - 1이다.공식:^[3]

${\displaystyle \sum _{s_{1}+\cdots +s_{k}=n}{s_{1}}}:1}}\제타(s_{1},\ldots ,s_{k}=\제타(n)}$

예를 들어 길이 k = 2 및 무게 n = 7:

$#\displaystyle \제타(6,1)+\제타(5,2)+\제타(4,3)+\제타(3,4)+\제타(2,5)=\제타(7)}$

가능한 모든 기호 교체가 포함된 오일러 합

부호가 번갈아 나타나는 오일러 합은 대체 오일러 합에 대한 연구에 나타난다.^[5]

표기법

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(b)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{a}}}=\zeta ({\bar {a}},b)}$ with ${\displaystyle H_{n}^{(b)}=+1+{\frac {1}{2^{b}}}+{\frac {1}{3^{b}}}+$$\cdots }$은(는) 일반화된 고조파 숫자다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(b)}}{(n+1)^{a}}}=\zeta (a,{\bar {b}})}$ with ${\displaystyle {\bar {H}}_{n}^{(b)}=-1+{\frac {1}{2^{b}}}-{\frac {1}{3^{b}}}+\cd$$ots }$

${\displaystyle \sum \{n=1}^{\frac {{\bar{H}_{n}^{(b)}-1(-1)^{(n+1)}}{a}}}}}}}}}}}}}{n+1)=\jeta({\bar {a},{ba}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(c)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta ({\bar {a}},{\ba$$r$${b},{\bar{c}},$ H(${\displaystyle {c)}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{=}}_{}^{}}$-${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$- 1 ${\displaystyle \frac{3^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$+ ⋯${\displaystyle {\bar{H}_{n}^{(c)}=-1+{1+{2^{c}-{\frac${1$}{3^{c$}}+}-{3^{$c}+}\codots}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(c)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta ({\bar {a}},b,c)}$ with ${\displaystyle H_n^{(c)}=+1+\frac{1}{2^c}+\frac{1}{3^c}+}$$⋯{\displaystyle H_{n}^{(c)}=+1+{\frac {1}{2^{c}}+{{3^{c}}+{$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(c)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta (a,{\bar {b}},c)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(c)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta (a,b,{\bar {c}})}$

디리클레 에타 함수의 변종으로서 우리는 정의한다.

${\displaystyle \varphi }$(${\displaystyle s}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{2^{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{s^{}}{{}^{}}}$- ${\displaystyle \frac{1^{}}{{}^{}}}$) ${\displaystyle \frac{{}^{}}{{\mathrm{}}^{}}}$ (${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$s${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$- 1${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle$ $\$$phi (s)={\frac {1-2^{(s-1)}}{$$^{{{{{}-$$1}}}}}}}\$$zeta$ $($$s)}$

$\phi(1)=-\ln 2}$

반사식

반사식 $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle (,b}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \zeta }$(${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle a}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \zeta }$(${\displaystyle )}$ -${\displaystyle }$ζ ( ${\displaystyle b}$) - ${\displaystyle \zeta }$(${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta (b,a)=\zeta (b)-\zeta (a+b)}$는 다음과 같이 일반화할 수 있다$$.

${\displaystyle \제타(a,{\bar {b})+\제타({\bar {b},a)=\제타(a)\phi(b)-\phi(a+b)}$

${\displaystyle \zeta({\bar},b)+\zeta(b, {bar {a}=\zeta(b)\phi(a)-\phi(a+b)}$

${\displaystyle \zeta({\bar {b}, {\bar {b})+\zeta({\bar {a})=\phi(a)-\peta(a+b)}$

if ${\displaystyle a=b}$ we have ${\displaystyle \zeta ({\bar {a}},{\bar {a}})={\tfrac {1}{2}}{\Big [}\phi ^{2}(a)-\zeta (2a){\Big ]}}$

기타관계

시리즈 정의를 사용하면 다음과 같은 것을 쉽게 증명할 수 있다.

${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta (a,{\bar {b}})+\zeta ({\bar {a}},b)+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})={\frac {\zeta (a,b)}{2^{(a+b-2)$$}}}{{\displaystyle a>1$}이(가$)$ 있는 경우

${\displaystyle \zeta (a,b,c)+\zeta (a,b,{\bar {c}})+\zeta$$(a,{\bar {b}},c)+\zeta ({\bar {a}},b,c)+\zeta (a,{\bar {b}},{\bar {c}})+\zeta ({\bar {a}},b,{\bar {c}})+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}},c)+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})={\frac {\zeta (a,b,c)}{2^{(a+b+c-3)$$}}}{{\displaystyle a>1$}이(가$)$ 있는 경우

또 다른 유용한 관계는 다음과 같다.^[5]

${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta({\bar {a},{\b}}=\sum _{s)0}(a+b-s-1)!{\Big [}{\frac {Z_{a}(a+b-s,s)}{{(a-s)!(b-1)!}}}{{\frac {Z_{b}(a+b-s,s)}{{(b-s)!(a-1)!}}}{\큰 ]}}}$

where ${\displaystyle Z_{a}(s,t)=\zeta (s,t)+\zeta ({\bar {s}},t)-{\frac {{\Big [}\zeta (s,t)+\zeta (s+t){\$$빅$ $]}}{{2$${\displaystyle {}_{}\mathrm{s-1}}$)}}{{{{$b}(s,$frac${\zeta(s,t){2^{{$2-1}}}}}}}{{$b-1$}}}}}}}}}}}{{$s-1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

$요인$ 인수가 $⩾{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \geqslant 0}$인 보다큰 모든 값에 $대해{\displaystyle }$ s ${\$$displaystyle$ $s}$을(를) 사용해야 한다는$$ 점에 유의하십시오.

기타 결과

정수 양수: ${\displaystyle a}$, b${\displaystyle }$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a,b,\dots ,k$

${\displaystyle \sum _n^{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{2}}}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle n}$,${\displaystyle k}$) = ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle k}$ +${\displaystyle 1}$ )$${\$displaystyle \sum _{n=$2$$$}^{\infit }\제타(n,k)=\제타(k+$1) 이상 $일반적으로:$

${\displaystyle \sum \{n=2}^{\infully }\제타(n,a,b,\b,\k)=\제타(a+1,b,\b,\k)}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infit }\제타(n,{\bar {k})=-\phi(k+1)}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infit }\제타(n,{\bar{a},b)=\제타({\overline{a+1},b)}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\inflt }\제타(n,a,a,{\bar{b})=\제타(a+1,{\bar {b})}}$

${\displaystyle \sum \{n=2}^{\infit }\제타(n,{\bar{a},{b})=\제타({\overline {a+1},{\b})}}$

$\displaystyle \lim _{k\to \inflt }\제타(n,k)=\제타(n)-1}$

$1-\제타(2)+\제타(3)-\제타(4)+\cdots = {\frac {1}{2}}: }$

${\displaystyle \zeta (a,a)={\tfrac {1}:{2}}: {\big [}(\zeta (a)^{2}-\zeta (2a){\Big ]}}}}}}$

${\displaystyle \jeta (a,a)={\tfrac {1}{6}(\zeta (a)^{3}+{1}{3}\tfrac {1}-{1}{1}{1}{2}}\zeta(2a)}$

모르델-테른하임 제타 값

모델(1958년)과 토르네하임(1950년)이라는 논문에서 동기부여를 받은 마츠모토(2003년)가 도입한 모르델-토르하임 제타 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \zeta _{MT,r}(s_{1},\dots ,s_{r};s_{r+1})=\sum _{m_{1},\dots ,m_{r}>0}{\frac {1}{m_{1}^{s_{1}}\cdots m_{r}^{s_{r}}(m_{1}+\dots +m_{r})^{s_{r+1}}}}}$

신타니 제타 함수의 특수한 경우다.

참조

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• Mordell, Louis J. (1958). "On the evaluation of some multiple series". Journal of the London Mathematical Society. Second Series. 33 (3): 368–371. doi:10.1112/jlms/s1-33.3.368. ISSN 0024-6107. MR 0100181.
• Apostol, Tom M.; Vu, Thiennu H. (1984), "Dirichlet series related to the Riemann zeta function", Journal of Number Theory, 19 (1): 85–102, doi:10.1016/0022-314X(84)90094-5, ISSN 0022-314X, MR 0751166
• Crandall, Richard E.; Buhler, Joe P. (1994). "On the evaluation of Euler Sums". Experimental Mathematics. 3 (4): 275. doi:10.1080/10586458.1994.10504297. MR 1341720.
• Borwein, Jonathan M.; Girgensohn, Roland (1996). "Evaluation of Triple Euler Sums". El. J. Combinat. 3 (1): #R23. doi:10.37236/1247. MR 1401442.
• Flajolet, Philippe; Salvy, Bruno (1998). "Euler Sums and contour integral representations". Exp. Math. 7: 15–35. CiteSeerX 10.1.1.37.652. doi:10.1080/10586458.1998.10504356.
• Zhao, Jianqiang (1999). "Analytic continuation of multiple zeta functions". Proceedings of the American Mathematical Society. 128 (5): 1275–1283. doi:10.1090/S0002-9939-99-05398-8. MR 1670846.
• Matsumoto, Kohji (2003), "On Mordell–Tornheim and other multiple zeta-functions", Proceedings of the Session in Analytic Number Theory and Diophantine Equations, Bonner Math. Schriften, vol. 360, Bonn: Univ. Bonn, MR 2075634
• Espinosa, Olivier; Moll, Victor Hugo (2008). "The evaluation of Tornheim double sums". arXiv:math/0505647.
• Espinosa, Olivier; Moll, Victor Hugo (2010). "The evaluation of Tornheim double sums II". Ramanujan J. 22: 55–99. arXiv:0811.0557. doi:10.1007/s11139-009-9181-1. MR 2610609. S2CID 17055581.
• Borwein, J.M.; Chan, O-Y. (2010). "Duality in tails of multiple zeta values". Int. J. Number Theory. 6 (3): 501–514. CiteSeerX 10.1.1.157.9158. doi:10.1142/S1793042110003058. MR 2652893.
• Basu, Ankur (2011). "On the evaluation of Tornheim sums and allied double sums". Ramanujan J. 26 (2): 193–207. doi:10.1007/s11139-011-9302-5. MR 2853480. S2CID 120229489.

메모들

외부 링크

• Borwein, Jonathan; Zudilin, Wadim. "Lecture notes on the Multiple Zeta Function".
• Hoffman, Michael (2012). "Multiple zeta values".
• Zhao, Jianqiang (2016). Multiple Zeta Functions, Multiple Polylogarithms and Their Special Values. Series on Number Theory and its Applications. Vol. 12. World Scientific Publishing. doi:10.1142/9634. ISBN 978-981-4689-39-7.
• Burgos Gil, José Ignacio; Fresán, Javier. "Multiple zeta values: from numbers to motives" (PDF).