홀로모르픽 함수의 분석

수학적 분석 → 복합적 분석
복합분석
콤플렉스
실수 상수 복합면 콤플렉스 결합체 단위복합번호
복합함수
복합값함수 분석함수 홀로모르픽 함수 코치-리만 방정식 포멀 파워 시리즈
기본 이론
0과 극 코치의 적분 정리 지역 원시 코치의 적분식 권선번호 로랑 시리즈 절연 특이점 잔류 정리 등각도 슈바르츠 보조정리 조화함수 라플라스 방정식
기하함수 이론
사람
아우구스틴루이코치 레온하르트 오일러 카를 프리드리히 가우스 자크 하다마르 오카 기요시 베른하르트 리만 카를 위어스트라스
수학포털
v t

복합 분석에서 복합 변수 z의 복합 값 함수 ƒ:

• a 지점의 모든 지점에서 a를 중심으로 한 오픈 디스크 내의 다른 점이 있다면 홀모픽이라고 한다.
• a를 중심으로 한 일부 오픈 디스크에서 if가 수렴 전력 시리즈로 확장될 수 있을 경우 분석된다고 한다.

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\nft }c_{n}(z-a)^{n}}}}}}}}}}}}}}$

(이는 수렴 반경이 양의 값임을 의미한다.)

복잡한 분석의 가장 중요한 이론 중 하나는 홀로모르픽 함수가 분석적이라는 것이다.이 정리의 산호 중에는 다음과 같은 것이 있다.

• 도메인의 교차점 안에 축적 지점이 있는 무한 집합 S의 모든 점에서 동의하는 두 개의 홀로모픽 함수가 또한 집합 S를 포함하는 그들의 도메인의 모든 연결된 열린 하위 집합에서 어디에서나 일치한다는 정체성 정리.
• 파워 시리즈는 무한히 상이한 것이기 때문에 홀로모르픽 기능도 상이한 사실(이는 실제 상이한 기능의 경우와 대조적이다) 및
• 수렴 반경은 항상 중심 a에서 가장 가까운 특이점까지의 거리라는 사실. 특이점이 없는 경우(즉, ƒ이 전체 함수인 경우) 수렴 반경은 무한하다.엄밀히 말하면, 이것은 정리의 관점이 아니라 증명의 부산물이다.
• 복잡한 평면의 어떤 범프 기능도 전체일 수 없다.특히, 복잡한 평면의 연결된 열린 부분 집합에서는 집합에 홀로모르픽인 범프 기능이 정의될 수 없다.이것은 복잡한 다지관의 연구에 중요한 영향을 미치는데, 이는 통합의 칸막이를 사용하지 못하게 하기 때문이다.대조적으로 통합의 분할은 어떤 실제 다지관에서도 사용될 수 있는 도구다.

증명

카우치가 먼저 제시한 주장은 카우치의 적분 공식과 표현의 파워 시리즈 확장에 달려 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{w-z}}.}$

D를 a를 중심으로 한 열린 디스크가 되게 하고, D의 폐쇄를 포함하는 열린 동네 내의 모든 곳에서 ƒ이 차별화 된다고 가정하자.C를 D의 경계인 양방향(즉, 시계 반대 방향)의 원으로 하고 z를 D의 점으로 한다.카우치의 필수 공식부터 시작해서

${\dapplaystyle {\begin}f(z)&}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over w-z}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&>{}={1}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)-(z-a)}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&.{}={1}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {1 \over 1-{z-a \over w-a}f(w)\,\mathrm {d} w\[10pt]&#&#1 \{}={}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {\sum _{n=0}^{\infit }\왼쪽({z-a \over w-a}\right)^{n}f(w)\,\mathrm {d} w\[10pt]&{}=\sum _{n=0}^{\infit }{1 \over 2\pi i}\int _{C}{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}f(w)\,\mathrm {d}w}w.\end{정렬}}}$

전체 w에 대해 C의 $모든{\displaystyle }$ w에${\displaystyle \mathrm{대해}}$f$$( w${\displaystyle }$) /${\displaystyle }$( ${\displaystyle w}$ - ${\displaystyle a}$ ) {\$displaystyle f(w)/($w-a)}이$$(가) 어떤 양의 숫자 M으로 C에 경계를 두고 있음을 관찰함으로써 적분과 무한대의 합을 교환하는 것이 정당화된다.

${\displaystyle \왼쪽 {\frac {z-a}{w-a}\오른쪽 \leq r<1}$

어떤 긍정적인 r에 대해서도.그러므로 우리는 가지고 있다.

${\displaystyle \왼쪽 {(z-a)^{n}\over (w-a)^{n+1}f(w)\오른쪽 \leq Mr^{n}}}$

C에서, 그리고 Weierstrass M-검정 결과 시리즈가 C에 대해 균일하게 수렴되는 것을 보여주듯이, 합과 적분은 상호 교환될 수 있다.

인자(z - a)ⁿ는 통합 w의 변수에 의존하지 않기 때문에, 산출하기 위해 고려될 수 있다.

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infit }{n}{n1}{1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\mathrm {d} w,},}$

원하는 형태의 파워 시리즈를 z:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\nft }c_{n}(z-a)^{n}}}}}}}}}}}}}}$

계수하여

${\displaystyle c_{n}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}\\mathrm {d} w.}$

언급

• 파워 시리즈는 용어로 구분할 수 있으므로, 위의 인수를 역방향으로 적용하고 파워 시리즈 식을 다음과 같이 적용한다.

${\displaystyle {\frac {1}{{(w-z)^{n+1}:{n+1}:{n2}}:$

주다

${\displaystyle f^{n}(a)={n! \over 2\pi i}\int_{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}\,dww.}$

이것은 Cauchy의 파생상품에 대한 통합식이다.따라서 위에서 얻은 파워 시리즈는 is의 테일러 시리즈다.

• 이 주장은 z가 ƒ의 어떤 특이점보다 중심 a에 더 가까운 어떤 점일 경우 효과가 있다.따라서 테일러 시리즈의 수렴 반경은 a에서 가장 가까운 특이점까지의 거리보다 작을 수 없다(파워 시리즈는 수렴 원의 내부에는 특이점이 없기 때문에 더 클 수도 없다.
• 앞의 말에서 정체성 정리의 특별한 사례가 뒤따른다.만약 두 개의 홀모픽 함수가 a의 (아마도 꽤 작은) 열린 근린 U에 동의한다면, 오픈 디스크 B_d(a)에서 일치한다. 여기서 d는 a에서 가장 가까운 특이점까지의 거리다.

외부 링크

• "Existence of power series". PlanetMath.