지표면의 클래스 그룹 매핑

수학에서, 그리고 더 정확히 말하면, 표면의 매핑 클래스 그룹은 모듈형 그룹 또는 Teichmüller 모듈형 그룹이라고도 불리며, 연속적인 (콤팩트-오픈 토폴로지) 변형까지 보이는 표면의 동형성 그룹이다.내장된 표면을 통한 3-매니폴드 연구에 기본적으로 중요하며 곡선의 모듈리 문제와 관련하여 대수 기하학에서도 연구된다.null

매핑 클래스 그룹은 임의의 다지관(사실 임의의 위상학적 공간)에 대해 정의할 수 있지만, 2차원 설정은 그룹 이론에서 가장 많이 연구된다.null

표면의 매핑 클래스 그룹은 다양한 다른 그룹, 특히 브레이드 그룹과 외부 자동 형태 그룹과 관련이 있다.null

역사

지도 수업 그룹은 20세기 전반기에 나타났다.그것의 기원은 쌍곡선 표면의 위상에 대한 연구, 특히 이러한 표면의 닫힌 곡선의 교차점에 대한 연구에 있다.초기 기고자는 맥스 딘과 제이콥 닐슨이었다.덴은 집단의 유한한 세대를 증명했고,^[1] 닐슨은 지도 수업의 분류를 했고, 표면의 기본 집단의 모든 자동화는 동질성(Dehn-Nielsen-Baer 정리)으로 대표될 수 있다는 것을 증명했다.null

딘-닐슨 이론은 Thurston에 의해 발명 중반에 재해석되었는데, 그는 이 주제에 대해 좀 더 기하학적인 풍미를^[2] 주었고 이 작품을 3마니폴드 연구를 위한 그의 프로그램에서 큰 효과를 발휘했다.null

보다 최근에 지도 수업 그룹은 그 자체로 기하학적 그룹 이론의 중심 토픽이 되었으며, 그 곳에서 그것은 다양한 추측과 기법의 시험장을 제공하고 있다.null

정의 및 예제

방향 지정 가능한 표면의 클래스 그룹 매핑

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를) 연결되고 닫히고 오리엔테이션이 가능한 표면으로 하고$$ ${\displaystyle {\mathrm{Homeo}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$ 방향 보존 그룹 또는 양의 동형성 그룹$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaysty S}$을(를)로 한다$.$ 이 그룹은 자연 토폴로지, 콤팩트-오픈 토폴로지를 가지고 있다.거리 함수에 의해 쉽게 정의될 수 있다. 즉, $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 토폴로지를 유도하는$$ 메트릭 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$을(를) 제공받으면 다음과 같이 함수가 정의된다.

${\displaystyle \delta(f,g)=\sup _{x\in S}\좌측(d(x),g(x)\우측)}$

is a distance inducing the compact-open topology on ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$. The connected component of the identity for this topology is denoted ${\displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(S)}$. By definition it is equal to the homeomorphisms of ${\displaystyle S}$동위 원소야양성 동형성 그룹의 정상 부분군이며, $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 매핑 클래스 그룹이 그룹이다$$.

${\displaystyle \mathrm{Mod}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$S )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{Homeo}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$( S${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle {\mathrm{Homeo}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle S}$) ${\displaystyle \operatorname {Mod}(S)=\operatorname {Homeo} ^{+}(S)/\operatorname {Homeo} _{0}(S$ .

이것은 셀 수 있는 그룹이다.null

모든 동형성을 포함하도록 정의를 수정하면 매핑 클래스 그룹을 색인 2의 하위 그룹으로 포함하는 확장 매핑 클래스 그룹 ${\displaystyle {\mathrm{Mod}}^{}}$± ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle S}$) ${\displaystyle \operatorname {Mod}^{\pm }(S)}$을 얻는다$.$null

This definition can also be made in the differentiable category: if we replace all instances of "homeomorphism" above with "diffeomorphism" we obtain the same group, that is the inclusion ${\displaystyle \operatorname {Diff} ^{+}(S)\subset \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$ induces an isomorphism between각 ID 구성요소에 의한 인용구null

구와 토러스 매핑 클래스 그룹

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\$의 단위 구체라고 가정하면$,$ $S{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $S}$의 모든 동위원소 또는 평면 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty z=0}$의 대칭에 대한$$ $제한$에 대한 동위원소 또는 동위원소인 것이다$.$후자는 방향을 보존하지 않으며 구형의 매핑 클래스 그룹이 사소한 것임을 알 수 있으며, 확장된 매핑 클래스 그룹은 순서 2의 순환 그룹인$$$Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ 2 ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$이다.

The mapping class group of the torus ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ is naturally identified with the modular group ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$.It is easy to construct a morphism ${\displaystyle \Phi :\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \operatorname {Mod} (\mathbb {T} ^{2})}$: every ${\displaystyle A\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ induces a diffeomorphism of ${\displaystyle \ma$$thbb$${T} ^$2}} $x$${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}^{}}$ A ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$The action of diffeomorphisms on the first homology group of ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ gives a left-inverse ${\displaystyle \Pi }$ to the morphism ${\displaystyle \Phi }$ (proving in particular that it is injective) and it can be checked that ${\displaystyle \Pi }$ is injective, so that ${\displaystyle \mathrm{\Pi },\mathrm{\Phi }}$모드 사이에{\displaystyle \Pi ,\Phi}이 역 isomorphisms ⁡(T 2){\displaystyle \operatorname{모드}(\mathbb{T}{2}^)}과 같은 방식으로, T2{\displaystyle \mathbb{T}^{2}의 연장된 매핑 수업 그룹}은 GL에서 SL2⁡(Z){\displaystyle \operatorname{SL}_ᆰ(\mathbb{Z})}.[3]. 2${\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathb {Z} )}$.

경계 및 펑크가 있는 지표면의 클래스 그룹 매핑

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{비어}}$ 있지 않은 경계 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ S ${\displaystyle \partial S}$을(를) 가진 콤팩트한 표면인$$ 경우 매핑 클래스 그룹의 정의는 보다 정밀할 필요가 있다$$.The group ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S,\partial S)}$ of homeomorphisms relative to the boundary is the subgroup of ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$ which restrict to the identity on the boundary, and the subgroup ${\displaystyle$$\operatorname {Homeo} _{0}(S,\partial S)}$은(는) ID의 연결된 구성 요소다$$.그런 다음 매핑 클래스 그룹이 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)=\operatorname {Homeo} ^{+}(S,\partial S)/\operatorname {Homeo} _{0}(S,\partial S)}$.

구멍이 있는 표면은 점 개수가 유한한 콤팩트한 표면이다("구획").그러한 표면의 매핑 클래스 그룹은 위와 같이 정의된다(매핑 클래스는 펑크를 허용하지만 경계 구성요소는 허용되지 않는다는 점에 유의한다).null

환형물의 클래스 그룹 매핑

임의의 아눌루스는 C ${\$의 하위 ${\displaystyle \mathrm{집합}}$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }${ 1 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \le }$ 2${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle A_{0}=\{1\leq$ z $\leq$ 2$\}}}}$에 대해 동형이다$.$ 차이점형 ${\displaystyle {ism\mathrm{}}_{}}$ ${\$ __${0}$을 $다음$과 같은 공식으로$$ 정의할 수 있다.

${\displaystyle \tau _{0}(z)=e^{2i\pi z }z}$

즉, 두 경계 구성요소${\displaystyle }${${\displaystyle z}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \},}${ z${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{z =1\},\{z =2\}}$의 ID가 된다$.$$그런{\displaystyle }$ 다음 A ${\displaystyle A}$의 매핑 클래스 그룹이 $\tau {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 클래스에 의해 생성된다$.$

브레이드 그룹 및 매핑 클래스 그룹

브레이드 그룹은 펑크가 있는 디스크의 매핑 클래스 그룹으로 정의할 수 있다.좀 더 정확히 말하면, n 가닥에 땋은 그룹은 자연적으로 n개의 구멍이 있는 디스크의 매핑 클래스 그룹과 이형성이 있다.^[4]null

딘-닐슨-바이어 정리

If ${\displaystyle S}$ is closed and ${\displaystyle f}$ is a homeomorphism of ${\displaystyle S}$ then we can define an automorphism ${\displaystyle f_{*}}$ of the fundamental group ${\displaystyle \pi _{1}(S,x_{0})}$ as follows: fix a path ${\displaystyle \gamma }$ between ${\displaystyle x_{0}}$ and ${\displaystyle f(x_{0})}$ and for a loop ${\displaystyle \alpha }$ based at ${\displaystyle x_{0}}$ representing an element ${\displaystyle [\alpha ]\in \pi _{1}(S,x_{0})}$ define ${\displaystyle f_{*}($[\$alpha ]}}$은(는${\displaystyle )}$ 루프에 ${\displaystyle \mathrm{연결}}$된 기본 그룹의 요소로서$$, ${\displaystyle \gamma \stackrel{}{}\ast }$ ∗ ∗${\displaystyle }${ ${\displaystyle \{}$ { ${$ {\$displaystyle {\bar }*f(\alpha )*\$$gamma$$\}\}\}\}\}\}.$ 이러한 $자동형$은 {$${\$displaystylease$\의 선택에 따라 달라지지만$,$ 조합까지는 달라진다.따라서 ${\displaystyle \mathrm{Homeo}}$⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle S}$) ${\displaystyle \operatorname {Homeo}(S)$에서 외부 자동모형 그룹 ${\displaystyle \mathrm{Out}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}S,}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaysty \operatorname {Out} (\pi _{1}(S,x_{0})})$까지 잘 정의된 지도를 얻는다$.$이 지도는 형태론이며, 그 커널은 정확히 하위그룹 ${\displaystyle {Homeo\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}(}$ (${\displaystyle S}$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(S$ Dhn-Nielsen-Baer 정리에는 추가적으로 굴절적이라고 되어 있다.^[5]특히 다음과 같은 의미를 내포하고 있다.

확장 매핑 클래스 그룹 ${\displaystyle {\mathrm{Mod}}^{}}$± ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle S}$) ${\displaystyle \operatorname {Mod} ^{\pm }(S)}}$은(는) 외부 자동모르프 ${\displaystyle \mathrm{그룹}}$ Out${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle S}$ )$${\$displaysty \operatorname {Out}(\pi$ _${1$}($S$

매핑 클래스 그룹의 이미지는 외부 자동형 그룹의 색인 2 하위그룹으로, 동질학에 대한 작용으로 특징지어질 수 있다.null

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 비빈 경계(한정된 수의 경우를 제외)를$$ 가질 때 정리의 결론은 유지되지 않는다.이 경우 기본집단은 자유집단이며 외부자동화집단 Out(Fn)은 전항에서 정의한 형태주의를 통해 지도층집단의 이미지보다 엄격히 크다.이미지는 경계 구성요소에 해당하는 기본 그룹의 각 결합 클래스를 보존하는 외부 자동성이다.null

버먼의 정확한 수열

이것은 같은 속과 경계이지만 다른 수의 펑크를 가진 표면의 매핑 클래스 그룹과 관련된 정확한 순서다.그것은 클래스 그룹 매핑 연구에 재귀적 인수를 사용할 수 있는 기본적인 도구다.그것은 1969년에 조안 버먼에 의해 증명되었다.^[6]정확한 진술은 다음과 같다.^[7]null

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를) 콤팩트한 표면으로 $하고$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in S$ 정확한 순서가 있다.

${\displaystyle 1}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle S}$, x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{Mod}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \setminus }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \}}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{Mod}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle S}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1\to \pi _{1}(S,x)\to \operatorname {Mod}(S\setminus \x\})\to 1$

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ 자체가$$ 매핑 클래스 그룹 ${\displaystyle \mathrm{Mod}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \setminus }${ x ${\displaystyle \}}$) ${\displaystyle \operatorname {Mod}(S\setminus \{x\})$을(를) 가진 경우 x ${\displaysty$ x$}$을(를) 수정하는 매핑 클래스의 유한 지수 부분군으로 대체해야 한다$$$.$

매핑 클래스 그룹의 요소

딘이 비틀다

$c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$이(가) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 지향적인 단순 폐쇄 곡선이고 $폐쇄$된 관 인접 A ${\displaystyle A}$을(를) 선택하는 경우 $위$에서 정의한$$ 표준 고리 $A{\displaystyle {}_{}}$$$${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대한 동형성$f${\$displaystystystystystyfternism$ f}이 있다.$c$ 시계 반대 방향으로 원을 그리십시오$$$.$This is used to define a homeomorphism ${\displaystyle \tau _{c}}$ of ${\displaystyle S}$ as follows: on ${\displaystyle S\setminus A}$ it is the identity, and on ${\displaystyle A}$ it is equal to ${\displaystyle f^{-1}\circ \tau _{0}\circ f}$.${\displaystyle {매핑}_{}}$ 클래스 그룹 ${\displaystyle \mathrm{Mod}}$$$${\displaystyle (S}$) ${\displaystyle \tau_{c}$의 클래스는 위에서 $만든$ f ${\displaystyle f}$의 선택에 따라 달라지지 않으며$$, 결과 요소를 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle c$에 대한 Dhn 트위스트라고 한다. 만약 $C{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ c$}$이 null-hom이 아니라면.opic 이 매핑 클래스는 비경쟁적이며, 보다 일반적으로 두 개의 비동시적 곡선으로 정의되는 Dehn 트위스트는 매핑 클래스 그룹에서 구별되는 요소들이다.null

${\displaystyle {\mathrm{SL}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathb {Z}$)로 식별된 토러스 매핑 클래스 그룹에서 Dhn$$ 트위스트는 전지전능하지 않은 행렬에 해당한다.예를 들어, 행렬

${\displaystyle {\pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$

딘이 토러스에서 수평 곡선을 그리며 꼬이는 것에 해당한다.null

닐슨-서스턴 분류

표면에는 매핑 클래스의 분류가 있는데, 원래 닐슨에 기인하고 Thurston에 의해 재발견된 것으로, 다음과 같이 말할 수 있다.요소 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{Mod}}$ ${\displaystyle }$( S${\displaystyle }$) ${\displaystyle g\in \operatorname {Mod} (S)}$은(는) 다음 중 하나이다.

• 유한 질서의 (, ${\displaystyle {gn}^{}}$ ${\$이(가) ID인$$ n> 0 ${\displaystyle n>0}$이(가) 존재하며,
• $축소{\displaystyle }$ 가능: S ${\displaystyle$ S$}$에는 일련의 분리 닫힌 곡선이 존재하며, 이$$ 곡선은 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 작용으로 보존된다$;$
• 또는 사이비 아노소프.

정리의 주요 내용은 유한 순서나 환원성이 없는 매핑 클래스는 반드시 의사-아노소프여야 하며, 이는 동적 특성에 의해 명시적으로 정의될 수 있다.^[8]null

의사-아노소프 차이점

표면의 사이비 아노소프 차이점들에 대한 연구는 기초적이다.유한 순서 매핑 클래스는 등위계에 동위원소이기 때문에 잘 이해되고, 환원 가능한 클래스의 연구는 사실상 유한 순서 또는 유사 아노소프일 수 있는 더 작은 표면에 대한 매핑 클래스의 연구로 근본적으로 감소하기 때문에 그것들은 가장 흥미로운 차이점이다.null

의사-아노소프 매핑 클래스는 다양한 방법으로 매핑 클래스 그룹에서 "일반"이다.예를 들어, 매핑 클래스 그룹의 무작위 걷기는 단계 수가 증가함에 따라 확률이 1이 되는 사이비 아노소프 요소에 의해 종료된다.null

매핑 클래스 그룹의 작업

테이크뮐러 공간에서의 작용

Given a punctured surface ${\displaystyle S}$ (usually without boundary) the Teichmüller space ${\displaystyle T(S)}$ is the space of marked complex (equivalently, conformal or complete hyperbolic) structures on ${\displaystyle S}$. These are represented by pairs ${\displaystyle (X,f)}$ where ${\$$디스플레이$ $스타일 X}$은(는) 리만 표면이며 f :${\displaystyle S}$→ X ${\$ $스타일$ f$:$$S$$\to$ X$}$ 동형성, 적절한 동등성 관계.그러한 쌍에 대해$$ ${\displaystyle {\mathrm{Homeo}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (S}$) ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$ 그룹의 명백한 동작이 있으며, 이는 Teichmüller ${\displaystyle \mathrm{공간}}$의 Mod ${\displaystyle }$(${\displaystyle S)}$ ${\displaysty \operatorname {Mod}(S)$의 동작으로 이어진다.null

이 작용은 많은 흥미로운 특성을 가지고 있다. 예를 들어, 그것은 적절하게 불연속적이다(자유롭지는 않지만).$T{\displaystyle (S}$) ${\디스플레이$ 스타일 $T(S)}$과(와)를 부여할 수 있는$$ 다양한 기하학적 구조(금속 또는 복합)와 호환된다.특히 Teichmüller 메트릭을 사용하여 ${\displaystyle \mathrm{Mod}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle S}$) ${\displaystyle \operatorname {Mod}(S)}$의 최대 준 등축성 플릿이 $치수{\displaystyle \mathrm{}}$ 3 ${\displaystyle g}$-${\displaystyle 3}$ + ${\displaystyle k}${\$displaystyle 3g-3+k$^[9]인 것과 같은 매핑 클래스 그룹의 일부 대규모 속성을 설정할 수 있다.

그 작용은 테이크뮐러 공간의 Thurston 경계까지 확장되며, 매핑 클래스의 Nielsen-Thurston 분류는 그것의 Thurston 경계와 함께 테이크뮐러 공간의 작용의 역동적 특성에서 볼 수 있다.즉:^[10]

• 유한 순서 요소는 Teichmüller 공간 내부에 점을 고정한다(더 구체적으로는 ${\displaystyle \mathrm{Mod}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle S}$) ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$의 유한 질서의 매핑 $클래스$를 S ${\displaysty S}$의 일부 쌍곡 메트릭에 대한 등각도로 실현할 수 있음을$$ 의미한다.$$
• Phosa-Anosov 등급은 안정적이고 불안정한 엽에 해당하는 경계에서 두 점을 고정하며, 경계에서 작용은 최소(밀도 궤도 포함)이다.
• 환원 가능한 클래스는 경계에 최소로 작용하지 않는다.

곡선복합체에서의 작용

표면 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 곡선 콤플렉스는 정점이 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 있는 단순 닫힌 곡선의 동위원소 클래스인 복합체로서$,$ 정점에 대한$$ 매핑 클래스 그룹 ${\displaystyle \mathrm{Mod}(}$ (${\displaystyle S}$ )$${\$displaysty \operatorname {Mod}(S)$의 동작은 전체 콤플렉스로 전달된다.작용이 적절하게 불연속적이지 않다(단순 폐쇄 곡선의 안정기는 무한대 그룹이다).null

이 동작은 곡선 콤플렉스의 조합 및 기하학적 특성과 함께 매핑 클래스 그룹의 다양한 특성을 입증하는 데 사용될 수 있다.^[11]특히, 그것은 매핑 클래스 그룹의 일부 쌍곡선 속성을 설명한다. 이전 섹션에서 언급된 것처럼 매핑 클래스 그룹은 쌍곡선 그룹이 아니지만, 그것들을 연상시키는 일부 속성을 가지고 있다.null

매핑 클래스 그룹 작업이 있는 기타 복합체

바지 콤플렉스

콤팩트한 표면 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 바지 콤플렉스는 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 바지 분해($$단순 닫힌 곡선의 최대 시스템 등소토피 등급)인 콤플렉스다$$.${\displaystyle \mathrm{Mod}}$ ${\displaystyle }$( S${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$의 작업은 이 복합체에 대한 작업으로 확장된다$$.이 단지는 Weil-Petersson 지표가 부여된 Teichmüller 공간과 준등각이다.^[12]null

표시 콤플렉스

지도반 그룹의 커브와 바지 콤플렉스에 작용하는 안정기는 상당히 크다.표시 콤플렉스는 S {\$displaystyle S$의 표시인 $정점$을 가진 복합체로서 지도 클래스 그룹 ${\displaystyle \mathrm{Mod}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (S}$ ${\displaystyle )}${\$displaysty \operatorname {Mod} (S)}$에 의해 작용하며, 그 안에 사소한 안정기가 있다$.$ 지도와 준등각인 국소적으로 유한 콤플렉스다.ping 클래스 ^[13]그룹null

Amarking[를] 바지 분해 α 1,…,αξ{\displaystyle \alpha_{1},\ldots(_{\xi}}및 가로 곡선 β 1,…의 모음으로,βξ{\displaystyle \beta_{1},\ldots(_{\xi}} 이러한 하나하나가 나는}{\displaystyle \beta_{나는}은 β의 대부분의 중 하나를에서 교차하여 결정한다.${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 그리고 이 "minimally" (이는 다음과 같이 말할 수 있는 기술적 조건이다: ${\displaystyle {\alpha i}_{}}$, ${\displaystyle {\beta }_{}}$ i$${\$displaystyle$\\ \ $\i}, }}$_{$i}}}}$가 표면 아래 동형 속에 포함되어 있으면$$ 한 번 교차하고, 표면이 네 개의 홀을 가진 구면 서로 교차한다.두 개의 구별되는 표시는 "기본 이동"에 의해 다를 경우 가장자리로 결합되며, 전체 콤플렉스는 가능한 모든 고차원적 단순성을 추가하여 얻는다.null

클래스 그룹 매핑을 위한 생성기 및 관계

덴-리코리쉬 정리

지도 클래스 그룹은 딘의 하위 집합이 표면의 모든 단순 닫힌 곡선에 대해 트위스트를 하여 생성된다.Dhn-Licorish 정리는 매핑 클래스 그룹을 생성하기 위해 한정된 개수의 개수를 선택하는 것으로 충분하다고 명시한다.^[14]이는 ${\displaystyle SL\mathbb{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{\mathrm{sl}}_{}}$ ( Z )${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathb {Z} )}$이(가) 행렬에 의해 생성된다는$$ 사실을 일반화한다.

1),( 0 ) ${\${pmatrix

특히 표면의 매핑 클래스 그룹은 정밀하게 생성된 그룹이다.null

속 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle g\geq$ 2$}$의 닫힌 표면의 매핑 클래스 그룹을 생성할 수 있는 가장 작은 수의 덴 트위스트는 2 g + ${\displaystyle 1}$ $displaystyle 2g+$1}이며$,$ 이는$$험프리에 의해 나중에 입증되었다.null

유한현재성

매핑 클래스 그룹에 대한 생성 세트에서 딘 사이의 모든 관계가 그들 중 유한한 숫자의 조합으로 작성될 수 있다는 것을 증명할 수 있다.이것은 표면의 매핑 클래스 그룹이 정밀하게 표시된 그룹이라는 것을 의미한다.null

이 정리를 증명하는 한 가지 방법은 바지 콤플렉스에 있는 지도층 그룹의 작용 속성에서 추론하는 것이다: 정점의 안정기가 미세하게 나타나는 것으로 보이며, 작용은 공동 마무리된다.단지는 연결되고 단순하게 연결되기 때문에 매핑 클래스 그룹이 정밀하게 생성되어야 한다.유한한 프레젠테이션을 얻는 다른 방법들도 있지만, 실제로 모든 geni에 대해 명시적인 관계를 산출하는 유일한 방법은 컷 시스템 콤플렉스라고 불리는 곡선 콤플렉스 대신 약간 다른 콤플렉스를 가진 이 단락에서 설명하는 것이다.^[15]null

이 프레젠테이션에서 발생하는 딘의 트위스트 사이의 관계의 예는 랜턴 관계다.null

기타 발전기 시스템

딘이 트위스트한 것 외에도 지도반 그룹을 위한 다른 흥미로운 발전기 시스템이 있다.예를 들어, ${\displaystyle \mathrm{Mod}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle S}$) ${\displaystyle \operatorname {Mod}(S)}$은(^[17]는) 두 가지 요소^[16] 또는 비자발적으로 생성될 수 있다$$.null

매핑 클래스 그룹의 코호몰로지

If ${\displaystyle S}$ is a surface of genus ${\displaystyle g}$ with ${\displaystyle b}$ boundary components and ${\displaystyle k}$ punctures then the virtual cohomological dimension of ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ is equal to ${\displaystyle 4g-4+b+k}$.

매핑 클래스 그룹의 첫 번째 호몰로지(homology)는 유한하며^[18], 첫 번째 호몰로지 그룹도 유한하다는 것을 따른다.null

매핑 클래스 그룹의 하위 그룹

토렐리 하위그룹

As singular homology is functorial, the mapping class group ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ acts by automorphisms on the first homology group ${\displaystyle H_{1}(S)}$. This is a free abelian group of rank ${\displaystyle 2g}$ if ${\displaystyle S}$ is closed of genus ${\disp$$레이스타일 g$따라서 선형 표현 Mod${\displaystyle \mathrm{mod}}$ ( S${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle GL\mathbb{}}$ 2 ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {GL} _{2g}(\mathb {Z}$ $)\}$ .

이 지도는 사실 동일선 그룹의 정수점$$ ${\displaystyle {\mathrm{Sp}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2g}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathb {Z} )$과 동일한 이미지를 가진 추론이다.이는 닫힌 곡선의 교차로수가 첫 번째 호몰로지(homology)에서 공통적인 형태를 유도하고, 이는 매핑 클래스 그룹의 작용에 의해 보존된다는 사실에서 비롯된다.Dehn 트위스트의 이미지가 ${\displaystyle {\mathrm{Sp}}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ g ${\displaystyle {}_{}}$( Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathb {Z} )}$을(를) 생성한다는 것을 보여줌으로써 낙담성이 입증된다$.$^[19]

그 사상의 핵심 모드 ⁡(S)→ 파 2g⁡(Z)}(S)\to\operatorname{파}_ᆯ(\mathbb{Z}){\displaystyle \operatorname{모드}S{S\displaystyle}의 토렐리 집단으로 불리는 유한하게 생성되는 비틀리subgroup[20]과 그 연구 근본적인 중요성의 구조에 대한 관계를 위한 것이다. 그mapping class group itself (since the arithmetic group ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$ is comparatively very well understood, a lot of facts about ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ boil down to a statement about its Torelli subgroup) and applications to 3-dimensional topo로지 기하학과 로지 기하학null

잔존 정밀도 및 유한지수 부분군

Torrelli 하위 그룹의 적용 예는 다음과 같다.

매핑 클래스 그룹은 잔여적으로 유한하다.null

검증은 먼저 선형 ${\displaystyle {\mathrm{그룹}}_{}}$ ${\displaystyle {Sp\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2g}}_{}(}$ (${\displaystyle Z\mathbb{}}$)$${\$displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathb {Z}$ $)$의 잔존 정밀도를 사용한 다음, 토렐리 그룹의 비경쟁 요소에 대해 이를 포함하지 않는 유한 지수의 기하학적 수단 하위그룹으로 구성한다.^[21]null

유한 지수 부분군의 흥미로운 등급은 형태론의 낟알에 의해 주어진다.

${\displaystyle \Phi _{n}:\operatorname {Mod}(S)\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathb {Z}) _{2g}(\mathb {Z} /n\mathb {Z} )}$

The kernel of ${\displaystyle \Phi _{n}}$ is usually called a congruence subgroup of ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$. It is a torsion-free group for all ${\displaystyle n\geq 3}$ (this follows easily from a classical result of Minkowski on linear groups and the fact that the Torelli group is tor시온이 없는null

유한 부분군

매핑 클래스 그룹은 앞 단락에서 논의한 바와 같이 유한 지수 부분군 ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle {\phi \mathrm{}}_{}}$3 ) ${\displaystyle \ker(\Phi _{3})$가 비틀림 없는 것으로부터 다음과 같이 한정된 그룹의 세분류만 정밀하게 가지고 있다.Moreover, this also implies that any finite subgroup of ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ is a subgroup of the finite group ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)/\ker(\Phi _{3})\cong \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} /3)}$.

유한 부분군 순서에 따른 경계는 기하학적 수단을 통해서도 얻을 수 있다.닐슨 현실화 문제에 대한 해결책은 $그러한{\displaystyle }$ 집단이 g ${\displaystyle g}$의 쌍곡선 표면의 등위계 그룹으로 실현된다는 것을 암시한다$.$ 허위츠의 바운드는 최대 순서가 ${\displaystyle 84}$( ${\displaystyle g}$- $){\displaysty 84 (g-1)$와 같다는 것을 암시한다$.$

부분군에 대한 일반적인 사실

매핑 클래스 그룹은 Tits 대안을 만족한다. 즉, 그 그룹의 모든 하위 그룹은 비아벨리안 자유 하위 그룹을 포함하거나 사실상 해결 가능하다(사실상 아벨리안).^[22]null

환원할 수 없는 모든 부분군(즉, 분리 단순 폐쇄 곡선의 동위원소 등급 세트를 보존하지 않는 부분군)은 유사 아노소프 요소를 포함해야 한다.^[23]null

선형 표현

매핑 클래스 그룹이 선형 그룹인지 아닌지는 공개 질문이다.위에서 설명한 동질학에 대한 공감적 표현 이외에도 위상학적 양자장 이론에서 발생하는 다른 흥미로운 유한차원 선형 표현이 있다.이러한 표현들의 이미지는 공통적이지 않은 산술 그룹에 포함되어 있으며, 이를 통해 ${\displaystyle \mathrm{Mod}}$ ${\displaystyle (}$ ( S${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Mod}$ ($S)}$의 훨씬 더 유한한 인용구를 구성할 수 있다$.$^[24]

다른 방향에서는 (표현적) 충실한 표현의 차원에 대한 하한이 있으며, 최소 2 ${\displaystyle g\sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{1}}$ ${\$이어야 한다$.$^[25]

메모들

인용구

원천