파동 방정식

파동 방정식으로 모델링된 고정된 끝점이 있는 문자열을 통과하는 펄스입니다.

점원으로부터 오는 구형파.

2차원 파동 방정식의 해법

(이원)파 방정식은 기계파(물파, 음파, 지진파 등) 또는 전자파(광파 포함)와 같은 파동 또는 정재파장을 설명하기 위한 2차 선형 편미분 방정식입니다.그것은 음향학, 전자기학, 유체역학 같은 분야에서 발생한다.단방향파 방정식으로 미리 정의된 방향으로 전파되는 단일파를 기술할 수도 있다.

역사적으로, 악기와 같은 진동 현의 문제는 장 르 론드 달랑베르, 레온하르트 오일러, 다니엘 베르누이, 그리고 조제프 루이 라그랑주에 ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]의해 연구되었다.1746년 달랑베르는 1차원 파동 방정식을 발견했고, 10년 안에 오일러는 3차원 파동 ^[6]방정식을 발견했습니다.

서론

(2방향) 파동 방정식은 파동을 설명하는 2차 편미분 방정식이며, 이동 및 정지파를 포함하여 파동을 설명하는 2차 편미분 방정식은 반대 방향으로 이동하는 파동의 선형 중첩으로 간주할 수 있습니다.반면 또 벡터파 방정식 파도를 묘사한다 이 기사는 대부분 스칼라 함수에 의해 스칼라 파동 방정식 scalars에서 파동에 대한 시간 변수 t의 너)너(x1, 미국,..., xn는)(변수를 시간을 나타내는)와 하나 이상의 공간 변수 x1, 미국,...,xn(지금 논의 중인 변수는 우주에 위치를 나타내는)에 초점을 맞춘다.v에 s전자장, 자기장, 자기 벡터 전위 및 탄성파 등의 전자파.벡터파 방정식과 비교함으로써 스칼라파 방정식은 벡터파 방정식의 특별한 경우로 볼 수 있다; 데카르트 좌표계에서 스칼라파 방정식은 파원이 없는 벡터파의 각 성분(예를 들어 x축에 대한 x 성분)에 의해 충족되는 방정식이다.고려된 영역(즉, 공간과 시간)예를 들어, 데카르트 좌표계에서 $(E_{x},E_{y},E_{z})$ ( $(E_{x},E_{y},E_{z})$ x , $(E_{x},E_{y},E_{z})$ y , $(E_{x},E_{y},E_{z})$ z $(E_{x},E_{y},E_{z})$ ) {style $(E_{x}$ )의 경우 $E_{y}, E_{z}}$ 는 $(E_{x},E_{y},E_{z})$ 파원이 없는 경우 전기 ${\vec {E}}$ E $→$ ${\$ style { $E}}$ 의 ${\vec {E}}$ 표현으로서 각 좌표축 $E_{i}$ E $E_{i}$ (\displaystyle $E_{i$ })( $E_{i}$ i = x, y 또는 z)가 스칼라파 방정식을 만족해야 한다.다른 스칼라파 방정식 $해$ 는 액체나 기체 내의 압력이나 진동하는 고체의 입자가 정지(평형) 위치에서 떨어진 특정 방향에 따른 변위와 같은 스칼라에서의 물리적 양에 대한 해이다.

스칼라파 방정식은

{\frac t^{2}\;=\c^{2}\frac {\frac x_{1}^{2}u}+{\frac x_{2}u}+{\frac x_{2}+{cdots + {\frac2}{\frac2

여기

서 c는 음이 아닌 고정 실계수입니다.

뉴턴 역학과 벡터 미적분의 표기를 사용하여, 파동 방정식은 다음과 같이 보다 간결하게 쓰여질 수 있습니다.

{u}}=c^{2}\cla ^{2}u

여기서 이중 점은 u의

이중

시간 도함수,

θ는 나블라 연산자,

2

θ

=

θ ·

θ는 (벡터가 아닌) 라플라시안 연산자:

{ddot {u}=blac {\display t^{2}u}\qquad \displayla =\left\flac {\flac x_{1},\ldots,{\flac x_{2}}{\fright}인공 x_{n}^{2}}.

물리학에서 때때로 사용되는 훨씬 더 간결한 표기법은 단순하게 읽힌다.

{\displaystyle\Box u=0,}

여기서 모든 연산자는 달랑베르 연산자로 결합됩니다.

\Box = prac {1}{c^{2}}{\frac {\frac ^{2}}-\fracla ^{2}.

이 (이원)파 방정식의 해는 매우 복잡할 수 있지만, 다양한 전파 방향과 파장을 가지지만 모두 동일한 전파 $속도$ c를 갖는 사인파 평면파의 선형 조합으로 해석할 수 있다.이 분석은 파동방정식이 선형이고 균질하기 때문에 가능합니다.따라서 어떤 솔루션의 배수도 해답이고, 어떤 두 솔루션의 합도 다시 해답이 됩니다.이 성질을 물리학에서는 중첩 원리라고 합니다.

파동 방정식만으로는 물리적 해법을 규정하지 않습니다. 고유한 해법은 대개 파동의 진폭과 위상을 규정하는 초기 조건과 같은 추가 조건에 대한 문제를 설정함으로써 얻어집니다.또 다른 중요한 종류의 문제는 경계조건에 의해 지정된 밀폐공간에서 발생하는데, 이 경우 해답은 악기의 고조파와 유사한 정상파 또는 고조파를 나타낸다.

이원파 방정식은 2차 쌍곡선 미분 방정식의 가장 간단한 예입니다.그것 및 그것의 수정은 연속체 역학, 양자 역학, 플라즈마 물리학, 일반 상대성 이론, 지구 물리학, 그리고 많은 다른 과학 및 기술 분야에서 기본적인 역할을 합니다.사전 정의된 방향으로 단일 파형의 전파만 관심 있는 경우 1차 편미분 방정식인 단방향 파동 방정식을 고려할 수 있습니다.

1공간 차원에서의 파동 방정식

프랑스 과학자 장 밥티스트 르 론드 달랑베르는 하나의 공간 차원에서 ^[6]파동 방정식을 발견했다.

하나의 공간 차원에서의 파동 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

{\frac ^{2}u}=c^{2}{\frac {\frac ^{2}u}{\frac x^{2}}.

이 방정식은 일반적으로 $하나$ 의 공간 $차원$ x만을 갖는 것으로 설명됩니다. 다른 독립 변수는 시간 t뿐이기 때문입니다.단, 예를 들어 $xy$ 평면에 위치한 문자열의 경우처럼 $변위$ u가 y 방향으로 발생하는 경우 종속 $변수$ u는 두 번째 공간 치수를 나타낼 수 있습니다.

파동 방정식의 도출

하나의 공간 차원에서의 파동 방정식은 다양한 물리적 설정에서 도출할 수 있습니다.가장 유명한 것은,^[7] 각각의 요소가 장력에 의해 반대 방향으로 당겨지는 2차원 평면에서 진동하는 끈의 경우에서 도출될 수 있다는 것이다.

하나의 공간 차원에서의 파동 방정식의 도출을 위한 또 다른 물리적 설정은 후크의 법칙을 이용한다.탄성 이론에서 후크의 법칙은 재료 본체가 변형되는 양(변형)이 변형을 일으키는 힘(응력)과 선형적으로 관련되어 있음을 나타내는 특정 재료에 대한 근사치이다.

후크의 법칙에서

1차원 사례의 파동 방정식은 다음과 같은 방법으로 후크의 법칙에서 도출될 수 있습니다: 질량 $m$ 의 작은 무게 배열이 질량 없는 $길이$ h의 스프링과 상호 연결된다고 상상해 보십시오.스프링의 스프링 상수는 $k$ :

여기서 의존 $변수$ u( $x)$ 는 x에 $위치$ 한 질량의 평형으로부터의 거리를 측정하므로 u $(x)$ 는 기본적으로 탄성 물질 내에서 이동하는 교란(즉, 변형)의 크기를 측정한다. $x$ + $h$ 위치에서 $질량$ m에 가해지는 힘은 다음과 같다.

디스플레이 스타일F_{\text{Newton}&=m,a(t)=m,{\frac {\frac ^{2}}{\frac t^{2}}u(x+h,t)\\F_{\text{Hooke}&=F_{x+2h}-F_{x}=k\left[{u(x+2h,t)-u(x+h,t)}\right]-k[u(x+h,t)-u(x,t)]\end{aligned}}}

x + $h$ $위치$ 의 무게에 대한 운동 방정식은 다음 두 가지 힘을 동일하게 하여 구한다.

{\displaystyle {\displaystyle ^{2} \over \display t^{2}u(x+h,t)={k \over m}[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]

여기서 u

(x)

의 시간 의존성이 명시되었다.

무게 배열이 총 $질량$ M = $Nm$ 의 $길이$ L = $Nh$ 및 $배열$ K = $k / N$ 의 총 스프링 상수에 걸쳐 균등하게 간격을 둔 N개의 $무게$ 로 구성되면 위의 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\displaystyle ^{2} u(x+h,t)={KL^{2} \over M}{u(x+h,t)+u(x,t)\over h^{2}}.

$한계$ N $\to$ µ, $h$ → $0$ 을 취하고 평활도를 1로 가정하면 다음과 같이 됩니다.

\displaystyle {\frac ^{2}u(x,t)}{\frac {KL^{2}}{M}{\frac {\frac ^{2}u(x,t)}{\frac x^{2}}}

2차 도함수의 정의에서 나온 것입니다.

이 2

경우

KL

/M은 전파 속도의 제곱입니다.

반대 방향으로 이동하는 두 파의 중첩으로서의 1-d 정재파

바의 응력 펄스

막대를 통해 종방향으로 전파되는 응력 펄스의 경우 막대는 무한대 수의 스프링처럼 작용하며 후크의 법칙에 대해 도출된 방정식의 확장으로 간주할 수 있습니다.직선 탄성 재료로 만들어진 일정한 단면의 균일한 바는 다음과 같은 $강성$ K를 가진다.

K=black {EA}{L}

여기

서 A는

단면적

이고 E는 재료의 영 계수이다.파동방정식은

{\frac ^{2}u(x,t)}{\frac {EAL}{M}{\frac {\frac ^{2}u(x,t)}{\frac x^{2}}}.

$AL$ 은 막대의 부피와 같기 때문에

{Frac {AL} {M}} = flac {1} {\rho }

여기서

θ

는 재료의 밀도이다.파동방정식은 다음과 같이 감소한다.

{\frac ^{2}u(x,t)}{\frac {E}{\rho}}{\frac {\frac ^{2}u(x,t)}{\frac x^{2}}}.

따라서 막대 내 응력파의 속도는 $' E /'$ 입니다.

일반적인 솔루션

대수적 접근

1차원 파동 방정식은 편미분 방정식으로서는 비교적 단순한 일반 해를 찾을 수 있다는 점에서 특이하다.새 ^[8]변수 정의:

{aligned}\xi &=x-ct\eta &=x+ct\end{aligned}

파동 방정식을 로 바꾸다

(\displaystyle\frac{{2}u}{\display\xi\display\eta}}=0,}

일반적인 해결책으로 이어집니다.

\displaystyle u(\xi,\eta)=F(\xi)+G(\eta)}

또는 동등하게:

\displaystyle u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)}

즉, 1D파 방정식의 해는 $우이동함수$ F와 $좌이동함수$ G의 합으로, 이들 개별 임의함수의 x에 $대한$ 형상은 일정하게 유지되지만, 그 함수는 $속도$ c에서 시간에 따라 좌우로 변환된다.이것은 Jean Le Rond ^[9]d'Alembert에 의해 파생되었다.

이 결과를 얻는 또 다른 방법은 파동 방정식을 두 개의 단방향 파동 방정식으로 인수분해하는 것입니다.

\displaystyle \left [ { \ frac } { \ frac } { \ frac x } \ right ]좌[ { \ frac } + c frac { \ frac } { \ fright ]u = 0 。}

예.

(\displaystyle {\frac t}-cfrac {\frac x}=0;\;\;\;\;\;\;\frac {\frac u}{\frac t}+cfrac {\frac x})

따라서 v를 $정의하면$

(\displaystyle\frac\cfrac\cfrac\cfrac\cfrac{\fracx}=v,})

그리고나서

(\displaystyle\frac{\frac v}{\frac x}=0).}

$이$ 를 통해 v는 $G (x$ + ct $)$ 형식이어야 하며, 이 형식에서 전체 $솔루션$ u의 올바른 형식을 ^[10]추론할 수 있습니다.통상적인 2차 파동 방정식은 2차 파동 방정식(2개의 파동의 중첩)이라고 불리며, 미리 정의된 방향으로 단일 파동의 전파를 설명하는 1차 단방향 파동 방정식과 구별됩니다.

초기값 문제의 경우, 임의의 $함수$ F $및$ G는 초기 조건을 만족시키도록 결정할 수 있다.

u(x,0)=f(x)

\displaystyle u_{t}(x,0)=g(x)입니다.}

그 결과는 달랑베르의 공식이다.

u(x,t)=syslogfrac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}+{\frac {1}{2c}\int _{x+ct}g(s),ds

전통적인 의미에서 f $(x) c k$ C 및 $g (x) c k -1$ $C이면$ u $(t,$ $x) c k$ C. 단, $파형$ F 및 $G$ 는 델타 함수와 같은 일반화된 함수일 수도 있습니다.이 경우 해법은 오른쪽 또는 왼쪽으로 이동하는 충격으로 해석될 수 있습니다.

기본 파동 방정식은 선형 미분 방정식이므로 중첩 원리를 고수할 것입니다.즉, 2개 이상의 파동에 의해 발생하는 순변위는 각 파동에 의해 개별적으로 발생할 수 있는 변위의 합계이다.또한 파동을 성분으로 분해함으로써 파동의 거동을 분석할 수 있다.예를 들어 푸리에 변환은 파동을 정현파 성분으로 분해한다.

평면파 고유 모드

1차원 파동 방정식을 푸는 또 다른 방법은 먼저 주파수 고유모드를 분석하는 것입니다.고유 모드라고 하는 것은 잘 정의된 일정한 각 주파수 $θ$ 로 시간에 맞춰 진동하는 해로, 파동 함수의 시간적 부분은 e = $cos(θt)$ - $i$ $sin(θt)$ 의 $형태$ 를^−iωt 취하며, $진폭$ 은 공간 변수 $x$ 의함수 f $(x$ )로 파동 함수에 대한 변수 분리를 제공합니다.

\displaystyle u_{\obega }(x,t)=e^{-i\obega t}f(x).}

이것은 공간 $부분$ f $(x)$ 에 대한 상미분 방정식을 생성한다.

{\frac ^{2}u_{\frac t^{2}={\frac t^{2}}\left(e^{-i\Omega t}f(x)\right)=-\opmega ^{2}e^{-i\of(x)={frac}{f

그 때문에,

{d^{2}}{f(x)=\leftfrac\frac{c}\right}^{2}f(x)

f

(x)

에

대한

고유값 방정식이므로 고유 모드라고 합니다.그것은 잘 알려진 평면파 솔루션을 가지고 있다.

f(x)=Ae^{\pm ikx}

wave

numberk = =

c

/c인 경우.

그러면 이 고유 모드의 총 파형 함수는 선형 조합입니다.

u_{\obe }(x,t)=e^{-i\obe t}\left(Ae^{-ikx}+Be^{ikx}\오른쪽)=Ae^{-i(kx+\Omega t)}+Be^{i(kx-\Omega t)

여기서

복소수

A,

B

는 일반적으로 문제의 초기 및 경계 조건에 따라 달라집니다.

고유모드는 각각 $e^{-i\omega t}$ e - $e^{-i\omega t}$ $e^{-i\omega t}$ t $e^{-i\omega t}$ \ $displaystyle$ e^ { - $i$ \ $obega$ t $e^{-i\omega t}$ 에 따라 시간이 지남에 따라 진화하여 전체 용액이 고유모드 확장으로 분해될 수 있기 때문에 파동방정식에 대한 전체 해법을 구성하는 데 유용하다.

u(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }s(\obega)u_{\obega }(x,t),d\obega

혹은 비행기 파동의 관점에서 보면

{displaystyle}u(x,t)&=int _{-\infty }^{-i(kx+\Omega t)},d\infty }^{\infty }s_{-}(\infty }(\infty)e^{-i(k-d) t)G(x+ct)\end {aligned}

이는 대수적 접근법과 정확히 같은 형태이다.

함수 \pm

s

(θ)

는 푸리에 성분으로 알려져 있으며 초기 및 경계 조건에 의해 결정됩니다.이는 FDTD 방식과 같은 파동 패킷u

(x,

t)

의 직접 시간 영역 전파를 대체하는 이른바 주파수 영역 방식입니다.이것은 시간 확장이 없는 파동을 표현하기 위한 완전한 방법입니다.시간확장시의 파장을 나타내기 위한 푸리에 팽창의 완전성은 ^[11]

δ

의 시간변화를 가능하게 하는 차프파 해법에 의해 도전되어 왔다.채프파 솔루션은 특히 플라이바이 이상에서 매우 크지만 이전에는 설명할 수 없는 레이더 잔차에 의해 암시되는 것으로 보이며, 선원의 과거 채프 상태에 해당하는 비례적으로 이동된 주파수 및 시간 확장에서만 수신할 수 있다는 점에서 정현파 솔루션과 다르다.

3차원 공간에서의 벡터파 방정식

벡터파 방정식(스칼라파 방정식을 직접 도출할 수 있음)은 최소 체적 요소에 힘 평형을 적용함으로써 얻을 수 있다. $E$ 가일정한 균일한 연속체(직교 ${\boldsymbol {x}}$ x(\ $displaystyle$ ${x$ $Pa$ }) $E$ 에서는 벡터 탄성 ${\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}},t)$ u( ${\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}},t)$ $)$ { $displaystyle$ { $x}({\boldsymbol {x}, t$ })}[ ${\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}},t)$ m]가 ${\boldsymbol {T}}=E\nabla {\boldsymbol {u}}$ T= ${\boldsymbol {T}}=E\nabla {\boldsymbol {u}}$ $=$ tymboltensor ${\boldsymbol {T}}=E\nabla {\boldsymbol {u}}$ tensor u}의 원인이 된다. $ymbol {T}=E\nabla {boldsymbol {u}}$ ${\boldsymbol {T}}=E\nabla {\boldsymbol {u}}$ [Pa]a) $div{\boldsymbol {T}}=\nabla \cdot (E\nabla {\boldsymbol {u}})=E\Delta {\boldsymbol {u}}$ $div{\boldsymbol {T}}=\nabla \cdot (E\nabla {\boldsymbol {u}})=E\Delta {\boldsymbol {u}}$ v $div{\boldsymbol {T}}=\nabla \cdot (E\nabla {\boldsymbol {u}})=E\Delta {\boldsymbol {u}}$ $div{\boldsymbol {T}}=\nabla \cdot (E\nabla {\boldsymbol {u}})=E\Delta {\boldsymbol {u}}$ $div{\boldsymbol {T}}=\nabla \cdot (E\nabla {\boldsymbol {u}})=E\Delta {\boldsymbol {u}}$ $div{\boldsymbol {T}}=\nabla \cdot (E\nabla {\boldsymbol {u}})=E\Delta {\boldsymbol {u}}$ $div{\boldsymbol {T}}=\nabla \cdot (E\nabla {\boldsymbol {u}})=E\Delta {\boldsymbol {u}}$ $div{\boldsymbol {T}}=\nabla \cdot (E\nabla {\boldsymbol {u}})=E\Delta {\boldsymbol {u}}$ $div{\boldsymbol {T}}=\nabla \cdot (E\nabla {\boldsymbol {u}})=E\Delta {\boldsymbol {u}}$ ） $div{\boldsymbol {T}}=\nabla \cdot (E\nabla {\boldsymbol {u}})=E\Delta {\boldsymbol {u}}$ $div{\boldsymbol {T}}=\nabla \cdot (E\nabla {\boldsymbol {u}})=E\Delta {\boldsymbol {u}}$ ${\$ $div{\boldsymbol {T}}=\nabla \cdot (E\nabla {\boldsymbol {u}})=E\Delta {\boldsymbol {u}}$ { $displaystyle$ div $sy$ bold $symbol$ { T} = $\nabla$ \ $cdot ($ E \ $nabla$ { $boldsymbol {u$ }) $=E\Delta$ ({ $boldsymbol$ ${$ u}) $div{\boldsymbol {T}}=\nabla \cdot (E\nabla {\boldsymbol {u}})=E\Delta {\boldsymbol {u}}$ [ $/$ m $3$ $(\$ $displaystyle$ $^{$ 3 $^{3}$ ({displaystyle {u $})$ [m} 및 b) $δ$ $\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}/\partial t^{2}$ $displaystyle$ \rho $\rho$ $\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}/\partial t^{2}$ }) $\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}/\partial t^{2}$ 2 u / / $\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}/\partial t^{2}$ \ $^2}$ {u} {u} {u} {u} {\ $boldsymboldsymbol$ {u} { $u}$ } } } } } $^$ {\ {\ cal acceleration $\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}/\partial t^{2}$ $\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}/\partial t^{2}$ u / $\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}/\partial t^{2}$ $\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}/\partial t^{2}$ 2 ( \ $displaystyle \ symbol$ { $u}$ / \ $bold symbol t^$ { $\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}/\partial t^{2}$ } $\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}/\partial t^{2}$ 、 [ m / s $^{2}$ \ $displaystyle$ ^ {2} $^{2}$ ]는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\displaystyle \rho \frac {\boldsymbol {u} {\boldtymbol {u}}-E\Delta {boldsymbol {u}=boldboldsymbol {0}}

\rho

{\

{

displaystyle \rho

}

\rho

[ kg / m3 ]와 탄성

모듈

E { \

displaystyle

E }를

E

합치면

c={\sqrt {E/\rho }}

c={\sqrt {E/\rho }}

c={\sqrt {E/\rho }}

E /

{\

{

displaystyle

c =

e

{ E

/ rho

} }

c={\sqrt {E/\rho }}

[ m / s ]의 결과(물질 법칙)가 됩니다.삽입 후 균질 ^[12]매체에 대해 잘 알려진 지배파 방정식을 따릅니다.

{frac ^{2}{\boldsymbol {u}}{\c^{2}\Delta {\boldsymbol {u}=boldsymbol {0}}

[주:

{\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}},t)

u(

x

)

대신

u(x,t)

u

(

u(x,t)

, t

)

만

{\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}},t)

사용할 수 있으며 스칼라 u(

x,

t

)

는

u(x,t)

x, t(

u(x,t)

t

)만 사용

할 수 있습니다.즉, 스칼라파 방정식은 x축을 따라만 이동하며 스칼라파 방정식은

{\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial x^{2}}}={0}

(

{\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial x^{2}}}={0}

, t) 2

{\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial x^{2}}}={0}

2 ∂ 2

{\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial x^{2}}}={0}

∂ 2 ∂

{\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial x^{2}}}={0}

입니다

{\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial x^{2}}}={0}

splaystyle

{\

frac ^{2}{\frac

t

^{2}}-c^{2}{\frac {{u}}{\frac

x

^{2}}={0

}}}.

{\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial x^{2}}}={0}

위의 2차 벡터 편미분 방정식은 상호 독립적인 두 가지 해법을 제공합니다.2차 $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ 2 $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ ( + $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ ) $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ ( - $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ ) $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ {{ $displaystyle$ c $^{2} =$ c $^{$ 2} = $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ c^{ $c)^{$ 2} $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ }^{2}}에서 $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ c {\ $displaystyle +c$ $-c$ 와 - $-c$ {\ $displaystyle -c}$ 의 $-c$ 반대 방향으로 $+c$ 이동하는 두 개의 파동이 있음을 알 수 있으므로 "쌍방향파 방정식"으로 지정됩니다."이원파 방정식"도 인수분해할 ^[13]수 있습니다.

\displaystyle({\frac {\boldsymbol {u}) {\frac {\boldsymbol {c}}-{\boldsymbol {u}) {\frac {\frac {\boldsymbol {c} {u}) {\frac} {\fla} {\boldsymboldsymboldsymbol {c}

그리고 사전 정의된 전파

{\boldsymbol {c}}

c {\

displaystyle {\boldsymbol

{c

}}

을(를

{\boldsymbol {c}}

) 통과하는 파동을 갖는 벡터 1차 일방향파 방정식의 결과는 다음과 같습니다.

(\displaystyle\frac\boldsymbol {u}}{\cdot\cdot\cdla\boldsymbol {u}=boldsymbol {0})

3차원 공간에서의 스칼라파 방정식

스위스의 수학자이자 물리학자 레온하르트 오일러 (b. 1707)는 3차원의 ^[6]파동 방정식을 발견했다.

3공간 차원에서의 파동 방정식의 초기값 문제의 해답은 구면파에 대응하는 해로부터 얻을 수 있다.그 결과, 2개의 공간 차원에서도 같은 솔루션을 얻을 수 있습니다.

구면파

파동 방정식은 변수 분리 기술을 사용하여 풀 수 있습니다.일정한 주파수를 갖는 해법을 얻기 위해, 먼저 파동 방정식을 다음과 같이 시간에 따라 푸리에 변환하자.

\Displaystyle \Psi(\mathbf {r},t)=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi(\mathbf {r},\obega)e^{-i\obega t},d\Omega.}

그래서 우리는,

\displaystyle \left(\displayla ^{2}+{\frac {\offlac ^{2}}{c^{2}}\오른쪽)\Psi (\mathbf {r} ,\obega )= 0 。}

이것은 헬름홀츠 방정식이며 변수 분리를 사용하여 해결할 수 있습니다.만약 문제를 설명하기 위해 구면 좌표가 사용된다면, 헬름홀츠 방정식의 각 부분에 대한 해답은 구면 고조파에 의해 주어지고 이제^[14] 반지름 방정식은

\left[{\frac {d^{2}}+{\frac {r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r}\right]f_{l}=0

$여기$ 서 k ≡/ / / $c$ 와 완전한 솔루션은 다음과 같습니다.

\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\obega )=\sum _{lm}\left[A_{lm}^{(1)}h_{l}^(1)(kr)+A_{lm}^{(2)}h_{l}^{(2)(kr)\right]Y_{lm}(\theta,\phi),}

여기

서⁽¹⁾
_l h

(kr)

와⁽²⁾
_l h

(kr)

는 구형 항켈 함수이다.

예

이러한 구형 파형의 성질을 더 잘 이해하기 위해 과거로 돌아가서 l = $0$ 인 $경우$ 를 살펴보겠습니다.이 경우 각도 의존성은 없으며 진폭이 반경 거리에 따라 달라집니다. 즉, $δ(r, t$ ) $\to u$ ( $r,$ $t)$ 입니다.이 경우 파동방정식은 다음과 같이 감소한다.

{argla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}{\frac {\frac ^{2}}{\frac t^{2}}\right}\Psi(\mathbf {r},t)=0\\rightarrow &{}\leftfrac\frac{2}+{\frac {2}{\frac {r}{\frac {1}{c^2}}-{\frac {\frac}{\frac {1}{c^{c^2}}{\f}}{\f}}}}{\frac{\f}}}}}{\frc^{{\f}}}}}}}}}{\frc^{\f}}}}}

이 방정식은 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있습니다.

{\frac ^{2}(ru)}{\frac {\frac ^{2}(ru)}{\frac r^{2}}=0;

여기서

수량

ru가 1차원 파동 방정식을 만족합니다.따라서 다음과 같은 형태로 해결 방법이 있습니다.

u(r,t)=paramfrac {1}{r}F(r-ct)+{\frac {1}{r}G(r+ct}}

여기

서

F

와 G는 1차원 파동 방정식의 일반적인 해이며 각각 나가는 구형파 또는 들어오는 구형파로 해석될 수 있다.나가는 파형은 포인트 소스에 의해 생성될 수 있으며 r이 증가할 때

진폭

의 감소에 의해서만 형태가 변화하는 날카로운 신호를 만들 수 있습니다(오른쪽 상단에 있는 구형 파형 그림 참조).이러한 파동은 크기가 ^{[citation needed]}홀수인 공간의 경우에만 존재합니다.

각도 의존성을 갖는 3D 파동 방정식에 대한 비구면 파동 솔루션의 물리적 예는 쌍극자 방사선을 참조한다.

단색 구형파

파장이 10단위인 구형 파장의 컷어웨이(cut-away)로 점 소스로부터 전파됩니다.

단색이라는 단어는 주파수가 잘 정의된 빛이나 전자파를 의미하기 때문에 정확하게 정확하지는 않지만, 그 정신은 파동 방정식의 고유 모드를 3차원으로 발견하는 것이다.평면파 고유모드에 대한 이전 절의 파생에 이어 잘 정의된 일정한 각 주파수 $θ$ 를 사용하여 시간에 따라 진동하는 구형파로 다시 솔루션을 제한하면 $변환$ 된 함수 $ru (r,$ t)는 단순 평면파 솔루션을 갖습니다.

{\displaystyle ru(r,t)=Ae^{i(\omega t\pm kr)},

또는

(\displaystyle u(r,t)=syslogfrac {A}{r}}e^{i\left(\Omega t\pm kr\right)}).}

이로부터 우리는 구형파 진동의 피크 강도가 제곱파 진폭으로 특징지어지는 것을 관찰할 수 있다.

({displaystyle I=u(r,t)^{2}=black {A ^{2}}} {r^{2}}).}

12 /

r에

비례

하는 비율로 떨어집니다. 이는 역제곱 법칙의 예입니다.

일반적인 초기값 문제 해결

파동 방정식은 u 단위로 $선형$ 이며 시공간의 변환에 의해 변경되지 않습니다.따라서 우리는 구면파를 번역하고 합산함으로써 매우 다양한 해법을 만들어 낼 수 있다. $θ (θ, θ$ , $θ)$ 를 3개의 독립변수의 임의의 함수, $구면파형식$ F를 델타함수라고 하자. 즉, F는 일체성이지만 지지(함수가 0이 아닌 영역)가 원점으로 축소되는 연속함수의 약한 $한계$ 라고 하자.구면파의 $패밀리$ 가 ( $θ$ , θ, θ $)$ 에 중심을 두고 r이 그 점으로부터의 반경거리라고 $하자$ .따라서

{{displaystyle r^{2}=(x-\xi)^{2}+(y-\eta)^{2}+(z-\zeta)^{2}}

$만약$ u가 가중치 함수 $θ$ 와 같은 파형의 중첩이라면,

u(t,x,y,z)=parfrac {1}{4\pi c}\iint \varphi(\xi,\eta,\zeta){\frac (r-ct)}{r},d\xi,d\eta,d\zeta ;

분모

4µc

는 편리합니다.

델타 함수의 정의에서 u는 $다음$ 과 같이 쓸 수도 있다.

u(t,x,y,z)=syslogfrac {t}{4\pi}}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha,y+ct\display,z+ct\display),d\obe,d\obe,

여기

서

α

, β,

θ

는

단위구

S상의 좌표이고

θ

는

S상의

면적요소이다.이 결과는 u

(t, x

)가 x를

중심

으로 하는

반지름

ct 구면에서의

θ

의 평균값의 t배라는

해석

이 있다.

\displaystyle u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\phi ]}

따라서

\displaystyle u(0,x,y,z)=0,\display u_{t}(0,x,y,z)=\phi(x,y,z).}

평균값은 $t$ 의 짝수 함수이기 때문에

(\displaystyle v(t,x,y,z)=syslogfrac {\syslog t}}\left(tM_{ct}[\psi]\right})

그리고나서

\displaystyle v(0,x,y,z)=\psi(x,y,z),\display v_{t}(0,x,y,z)=0.}

이러한 공식은 파동 방정식의 초기값 문제에 대한 해결책을 제공합니다.이러한 결과는 주어진 $점$ P에서의 해( $t,$ $x,$ $y,$ $z)$ 는 P에서 $뒤$ 로 그려진 광원추와 교차하는 $반지름$ ct 구상의 데이터에만 의존한다는 것을 보여준다.이 구체의 내부 데이터에 의존하지 않습니다.따라서 구 내부는 해답의 틈새입니다.이 현상을 호이겐스의 원리라고 합니다.1차원의 경우 Dirac 측정값에 대한 간격의 경계에서 적분이 수행되는 홀수 공간 차원에 대해서도 마찬가지입니다.공간 차원에서도 만족할 수 없습니다.라쿠나 현상은 아티야, 보트, 고딩(1970, 1973년)에서 광범위하게 조사되었다.

2차원 공간에서의 스칼라파 방정식

2차원 공간에서는 파동방정식은

\displaystyle u_{tt}=c^{2}\left(u_{x}+u_{y}\오른쪽).}

3차원 이론을 사용하여 3차원과 무관한 3차원의 함수로 $간주$ 하면 이 문제를 해결할 수 있습니다.한다면

u(0,x,y)=0,\display u_{t}(0,x,y)=\phi(x,y),

그러면 3차원 솔루션 공식은

u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi]=parc frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha,y+ct\ct\ct},d\obe,d\obe

$여기$ 서 $α$ 와 β는 단위구상의 첫 번째 두 좌표이고 $dθ$ 는 구상의 면적 요소이다.이 적분은 중심( $x,$ $y)$ 과 $반지름$ ct를 사용하여 $디스크$ D 위에 이중 적분으로 다시 작성할 수 있습니다.

{\displaystyle u(t,x,y)=syslogfrac {1}{2\pi ct}\iint_{D}{\frac {(x+\xi,y+eta)}{\syslogrt {(ct)^2}-\eta ^{2}}}}}\dxi,dxi,d\eta.

( $t,$ $x,$ $y)$ 에서의 해는 광원추상의 데이터에만 의존하지 않는 것이 분명하다.

{{displaystyle (x-\xi)^{2}+(y-\eta)^{2}=c^{2}t^{2},

원뿔 내부의 데이터도 마찬가지입니다.

일반차원 스칼라파 방정식과 키르히호프 공식

u : $R n$ × ( $0$ $,$ $θ$ ) → R → u( $x, 0$ )= g( $x)$ $및 t$ u( $x, 0)$ = $h (x)$ 에 대한 u - $δu$ = 0에 $대한 tt$ $해$ 를 구하고자 한다.자세한 내용은 에반스를 참조하십시오.

홀수 치수

m $=$ ( $n$ $+ 1$ )/ $2$ 에 $대해$ n $µ$ 3이 홀수 정수이고 g $µ$ $C m +1 (R n),$ h $µ$ $C m (R n)$ 가 있다고 $가정$ 합니다. $γ n =$ 1 × $3$ × 5 × $\times$ × ( $n$ - $2)$ 로 하고,

u(x,t)=syslogfrac {1}{n}\left[\syslog_{t}\syslog_{t}{t}\frac{n-3}{2}\left(t^{n-2}{\frac1}{\syslog_{n}}})]

그리고나서

$u c 2 C(R n \times [0, ))])$
$u tt$ - $δu$ = $0$ $in n R$ × ( $0,$ θ)
$\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0})}u(x,t)=g(x^{0})}$
$\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0})}u_{t}(x,t)=h(x^{0})}$

균일한 치수

m = ( $n$ $+ 2$ )/ $2$ 에 $대해$ n $µ$ 2가 짝수 $정수$ 이고 g $µ m +1$ C( $R n),$ $h µ m$ C $(R n)$ 라고 $가정$ 합니다. $γ n$ = 2 $\times 4$ × × × $n$ 으로 하고 다음과 같이 한다.

u(x,t)=syslogfrac {1}{n}\left[\syslog_{t}\frac {n-2}{\right}{\left(t^{n}{\frac {n}{\frac {t}}}{\int}}}}_left(int})}- y-x ^{2}^{\frac {1}{2}}}}:dy\right)\right]

그리고나서

$u c 2 C(R n \times [0, ))])$
$u tt$ - $δu$ = $0$ $in n R$ × ( $0,$ θ)
$\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0})}u(x,t)=g(x^{0})}$
$\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0})}u_{t}(x,t)=h(x^{0})}$

경계에 관한 문제

1공간 치수

두 매체의 경계에서의 반사 및 전달

한 매체(파속이 $c$ 인₁ 곳)에서 다른 매체( $파속$ 이₂ c인 곳)로 이동하는 입사파의 경우 파동의 한 부분이 두 번째 매체에 전달되는 반면 다른 부분은 다른 방향으로 반사되어 첫 번째 매체에 머무른다.송신파와 반사파의 진폭은 경계의 연속성 조건을 사용하여 계산할 수 있습니다.

각 주파수가 $θ$ 인 입사파의 성분을 고려합니다. 각 주파수는 파형이 있습니다.

u^{inc}(x,t)=Ae^{i(k_{1}x-\obega t)};\A\in \mathbb {C}

t=0에서 인시던트는 x=0에서 두 매체 사이의 경계에 도달한다.따라서 해당 반사파 및 전송파에는 파형이 포함됩니다.

\displaystyle u^{ref}(x,t)=Be^{i(-k_{1}x-\obe t)};\u^{trans}(x,t)=Ce^{i(k_{2}x-\obe t)};\B,C\in \mathbbb {C}

경계에서의 연속성 조건은

\displaystyle u^{inc}(0,t)+u^{ref}(0,t)=u^{t}^{inc}(0,t)=u_{x}^{ref}(0,t)=u_{x}^{t}(0,t)

이것은 방정식을 제공한다.

A+B=C;\A-B=black {k_{2}}{k_{1}}C=black {c_{1}}{c_{2}}C

그리고 우리는 반사율과 투과율을 가지고 있다.

디스플레이 스타일(\frac {B})A}}=flac {c_{2}-c_{1}}{c_{2}+c_{1}}};\\frac {C}{A}}=flac {2c_{2}}{c_{2}+c_{1}}}}}

c <

c일 1

때 2

반사파는 B

/A

< 0

이후 180

°의 반사 위상변화를 보인다.에너지 절약은 다음 방법으로 검증할 수 있습니다.

{B^{2}} {c_{1}} + {\frac {C^{2}} {c_{2}} = flac {A^{2}} {c_{1}

위의 설명은

θ

의 각 주파수에 관계없이 모든 구성요소에 적용된다.

제한 케이스 $c$ = $0$ 은₂ 움직이지 않는 "제한 엔드"에 해당하는 반면, 제한 $케이스 2$ c $\to$ δ는 "자유 엔드"에 해당합니다.

스투름-리우빌 공식

두 $점$ x = $0$ 과 x = $L$ 사이에 늘어나는 유연한 문자열은 t > $0$ 과 0 $< x$ < $L$ 의 파동방정식을 만족한다. 경계점에서는 $다양$ 한 경계조건을 만족시킬 수 있다.어플리케이션에 적합한 일반적인 폼은 다음과 같습니다.

-u_{x}(t,0)+au(t,0)=0,

u_{x}(t,L)+bu(t,L)=0,

$여기$ 서 $a$ 와 b는 음이 아닙니다.끝점(즉, "고정 끝점")에서 u가 사라져야 하는 경우는 $각각$ 의 a $또는$ b가 무한대에 가까워질 때 이 조건의 한계이다.변수를 분리하는 방법은 이 문제의 해결책을 특별한 형태로 찾는 것이다.

u(t,x)=T(t)v(x).

결과적으로 이다

{\displaystyle\frac{T`}{c^{2}}T}} = flac {v'} {v} = - \ flacda 。}

고유값 $θ$ 는 경계값 문제의 사소한 해법이 존재하도록 결정되어야 한다.

v'+\displayda v=0,

\displaystyle -v'(0)+av(0)=0,\display v'(L)+bv(L)=0.}

이것은 Sturm-Liouville 이론의 일반적인 문제의 특별한 경우이다. $a$ 와 b가 $양수$ 이면 고유값은 모두 양수이고 해는 삼각 함수입니다. $u$ 와_t u에 $대한$ 제곱적분 가능한 초기 조건을 만족하는 해는 이러한 함수를 적절한 삼각 급수로 확장함으로써 얻을 수 있습니다.

수치법에 의한 조사

유한한 수의 등거리 질량점을 갖는 연속 문자열의 근사치는 다음과 같은 물리적 모델을 얻을 수 있습니다.

그림 1: 문자열에 대한 이산 모델의 연속된 세 개의 질량점

각 질량점이 $질량$ m을 가지며, 끈의 $장력$ 이 f이고, 질량점 사이의 $거리$ 는 $δx$ 이고_i, $u$ , i= 1, $...,$ $n$ 은 평형점으로부터의 $이들$ n점의 오프셋이다(즉, 끈의 두 부착점 사이의 직선상의 위치). $i$ + 1을 향한 $힘점$ 의 수직 구성요소는

{u_{i+1}-u_{i}}{\Delta x}f

(1)

$그리고$ i - $1$ 지점으로 향하는 힘의 수직 구성요소는

{u_{i-1}-u_{i}}{\Delta x}f

(2)

이 두 힘의 합을 취하여 $m질량$ 으로 나누면 수직운동에 대해 얻을 수 있다.

({displaystyle {dot {u}}_{i}=\leftfrac {f}{m\Delta x}}\right)\left(u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}\right})

(3)

질량 밀도가 그렇듯이

\rho = flac {m} {\Delta x}

이것은 쓸 수 있다

{\displaystyle {u}_{i}=\leftfrac {f}{\rho {Delta x}^{2}\right)\left(u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}\right)

(4)

파동 방정식은 $δx$ → $0$ 으로 하여 구한다. 이 $경우 i$ $u$ ( $t)$ 는 u $(x,$ $t)$ 의 형태를 취한다. $여기$ 서 u(x, $t)$ 는 두 변수의 연속 함수이고·· $u$ 는_i $2 δu / δt$ 의² 형태를 취한다.

{\displaystyle {u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}}{\Delta x}^{2}}\to {\frac {\partial x}{2}u}\to {\frac {\partial x^{2}}}}}}}에 대해

그러나 유한한 수의 질량점을 갖는 상태 방정식의 이산적 공식(3)은 끈 운동의 수치적 전파에 적합하다.경계 조건

u(0,t)=u(L,t)=0

여기

서 L은 이산 공식에서 가장 바깥쪽 점

u

와₁_n u에 대해 운동 방정식이 다음과 같은 형식이다.

(\displaystyle {dot {u}}_{1}=좌회전\frac {c}{\Delta x}}\우회전)}^{2}\left(u_{2}-2u_{1}\right)}

(5)

그리고.

{u}_{n}=왼쪽 끝\frac {c}{\Delta x}}\오른쪽 끝)}^{2}\left(u_{n-1}-2u_{n}\오른쪽)

(6)

$한편, 1$ < i < $n$ > 。

(\displaystyle {dot {u}_{i}=좌회전\frac {c}{\Delta x}}\우회전)}^{2}\left(u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}\right)}

(7)

$여기$ 서 c = $" f / color$ " 입니다.

문자열이 100개의 이산질량점으로 근사될 경우 100개의 결합 2차 미분방정식(5), (6) 및 (7) 또는 동등하게 200개의 결합 1차 미분방정식을 얻을 수 있다.

이것들을 시대에 맞게 전파하다

{L}{c}k(0.05),,k=0,\dots,5

8차 다단계 방법을 사용하면 그림 2에 표시된 6가지 상태를 확인할 수 있습니다.

그림 2: 연속 6에폭의 문자열. 첫 번째(빨간색)는 문자열이 정지된 상태에서 초기 시간에 대응합니다.

그림 3: 연속 6에폭 문자열

그림 4: 연속 6에폭 문자열

그림 5: 연속 6에폭 문자열

그림 6: 연속 6에폭 문자열

그림 7: 연속 6에폭 문자열

The red curve is the initial state at time zero at which the string is "let free" in a predefined shape^[15] with all ${\dot {u}}_{i}=0$ .파란색 곡선은 ${\tfrac {L}{c}}(0.25),$ ${\tfrac {L}{c}}(0.25),$ c( $),$ {\ $displaystyle {tfrac {L}{c}}(0$ 즉 공칭 $파속$ c $= 120$ f $/ m2$ 로 이동하는 파형이 문자열 길이의 1/4에 해당하는 시간 이후의 상태입니다.

그림 3은 ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=6,\dots ,11$ ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=6,\dots ,11$ ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=6,\dots ,11$ ( ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=6,\dots ,11$ .05 ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=6,\dots ,11$ , ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=6,\dots ,11$ ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=6,\dots ,11$ 6, ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=6,\dots ,11$ … $,$ $11$ { displaystyle \ $tfrac$ { L ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=6,\dots ,11$ } { $c}k (0.$ 05 $),$ k = $6,\dots$ ,11 ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=6,\dots ,11$ 의 스트링의 형태를 나타내고 있습니다.파형은 두 스트링의 극한에서 경계조건에 의해 능동적으로 구속되지 않고 $속도$ c $= 420f / s$ 로 오른쪽으로 이동합니다.파형의 모양은 일정하다. 즉, 곡선은 실제로 f $(x$ - $ct)$ $형식$ 이다.

그림 4는 ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=12,\dots ,17$ c ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=12,\dots ,17$ ( ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=12,\dots ,17$ , ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=12,\dots ,17$ ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=12,\dots ,17$ ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=12,\dots ,17$ , ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=12,\dots ,17$ … $,$ ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=12,\dots ,17$ { $displaystyle$ { $tfrac$ { $L$ } { $c}k (0.05$ ) , k = $12$ , \ $dots$ , $17$ } 에서의 스트링의 형상을 나타내고 있습니다.오른쪽 끝부분의 구속이 스트링의 파동을 방해하기 시작합니다.

그림 5는 이동 방향이 반대일 때 ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,23$ ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,23$ k ( ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,23$ , ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,23$ ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,23$ ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,23$ , ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,23$ … , ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,23$ ${$ $displaystyle$ { $tfrac$ { $L$ } ${c}k (0.$ 05 ) , k ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,23$ = 18 , \ $dots$ , 23 ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,23$ } 의 ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,23$ 모양을 나타냅니다.빨간색, 녹색 및 파란색 곡선은 L ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,20$ k( ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,20$ ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=21,\dots ,23$ ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,20$ ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,20$ ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,20$ $(\displaystyle {tfrac$ {L $}{c}k(0.05), k=$ 18 $,\dots,$ 20 ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,20$ )의 상태를 나타내며, 검은색 ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=21,\dots ,23$ 은 ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=21,\dots ,23$ L c ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=21,\dots ,23$ k( ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=21,\dots ,23$ . ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=21,\dots ,23$ ), $=$ $frac style…,$ …,다시 왼쪽으로 움직여야 합니다.

그림 6과 그림 7은 ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=24,\dots ,29$ 으로 L ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=24,\dots ,29$ k ( ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=24,\dots ,29$ ), ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=24,\dots ,29$ ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=24,\dots ,29$ ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=24,\dots ,29$ ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=24,\dots ,29$ ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=24,\dots ,29$ , ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=24,\dots ,29$ ${$ { $displaystyle$ ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=30,\dots ,35$ \ $tfrac$ { $L$ $}$ k ( $0$ . $05$ ) ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=30,\dots ,35$ , k ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=30,\dots ,35$ $24$ , \ $dots$ , $29$ $} 및$ L ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=30,\dots ,35$ ( 0. ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=30,\dots ,35$ 의 ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=30,\dots ,35$ 모양을 $.$ nd 포인트는 더 이상 활성화되지 않습니다.마지막으로 스트링의 다른 극단에서 그림 6에 표시된 것과 유사한 방식으로 방향이 다시 반전됩니다.

여러 공간 치수

파동 방정식의 2차원 해로, 전체 외연을 따라 제로 변위 경계 조건입니다.

1차원 초기 경계값 이론은 임의의 수의 공간 차원으로 확장될 수 있다. $경계$ B가 있는 $m차원$ x 공간에서 $도메인$ D를 고려합니다.그러면 x가 $D$ 이고 t > $0$ 이면 파동 방정식이 충족됩니다. $D$ 의 경계에서 $용액$ u는 다음을 만족해야 한다.

(\displaystyle\frac{\display n}}+au=0,}

$여기$ 서 n은 B에 $대해$ 바깥쪽으로 수직인 $단위$ 이고 a는 B에 $정의$ 된 음이 아닌 함수입니다. $B$ 에서 u가 사라지는 $경우$ 는 무한대로 $접근$ 하는 제한적인 경우입니다.초기 조건은 다음과 같습니다.

u(0,x)=f(x),\display u_{t}(0,x)=g(x),

$여기$ 서 $f$ 와 g는 $D$ 에서 정의된다.이 문제는 경계 조건을 만족시키는 $D$ 의 라플라시안 고유함수에서 $f$ 와 g를 $확장함$ 으로써 해결할 수 있다.따라서 $고유함수$ v는 다음을 만족한다.

\displaystyle \cdot \displayla v+\displayda v=0,}

$D$ 로, 그리고

(\displaystyle\frac{\display n}}+av=0,}

B에 $있습니다$ .

2공간 치수의 경우 고유함수는 $경계$ B를 넘는 드럼헤드의 진동모드로 해석해도 된다.만약 B가 $원이$ 라면, 이러한 고유함수는 $극각θ$ 의 삼각함수인 각성분에 반경성분의 베셀함수(정수순서)를 곱한 각성분을 가진다.자세한 내용은 헬름홀츠 방정식에 있습니다.

경계가 3공간 치수의 구면일 경우 고유함수의 각도성분은 구면 고조파이며 방사성분은 반정수차수의 베셀함수이다.

불균일한 파동 방정식 1차원

1차원의 불균일파 방정식은 다음과 같습니다.

u_{tt}(x,t)-c^{2}u_{xx}(x,t)=s(x,t)

초기 조건으로

u(x,0)=f(x)

u_{t}(x,0)=g(x)

$함수$ s $(x,$ $t)$ 는 실제로 전파원이 전파를 운반하는 매체에 미치는 영향을 설명하기 때문에 종종 소스 함수라고 불린다.소스 함수의 물리적 예로는 스트링의 파동을 구동하는 힘이나 전자석의 로렌츠 게이지에서의 전하 또는 전류 밀도가 있습니다.

초기값 문제를 해결하는 한 가지 방법은 (위의 초기값을 사용하여) 홀수 공간차원에서 파동방정식의 특수성, 즉 해법이 인과관계를 존중하는 것이다.즉, 모든 점 $(x i,$ $t i)$ 에 대해 $u i (x i,$ t)의 $값$ 은_if $($ $x i$ + ct $)$ 와_if( $x i i$ - ct $)$ 의 $값$ 과 ( $x i$ -ct)와 ( $x i$ + $ct i)$ 사이의 $함수$ g $(x)$ 의 값에만 의존합니다.이것은 위에서 언급한 달랑베르의 공식에서 볼 수 있는데, 이 공식에서 이 수량이 유일하게 나타난다.물리적으로 최대 전파 속도가 $c$ 인 경우 주어진 시간까지 특정 포인트로 전파할 수 없는 파형의 부분은 동일한 시점 및 시간에서의 진폭에 영향을 미칠 수 없습니다.

해법 찾기 측면에서, 이 인과관계 특성은 고려 중인 선상의 주어진 점에 대해 고려되어야 할 유일한 영역은 고려 중인 점에 인과적으로 영향을 미칠 수 있는 모든 점을 포함하는 영역임을 의미한다.점 $(x i,$ $t i)$ 에 인과적으로 영향을 미치는 영역을 R로 $나타냅니다 C$ .이 영역에 걸쳐 불균일한 파동 방정식을 적분한다고 가정합니다.

\displaystyle \iint _{R_{C}\left(c^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t)\right)dx,dt=\iint _{C}s(x,t)dx,dt.}

이를 크게 단순화하려면 Green의 정리를 사용하여 왼쪽 변을 단순화하면 다음과 같이 됩니다.

\displaystyle _{L_{0}+L_{2}+left(-c^{2}u_{x}(x,t),dt-u_{t}(x,t),dx\right)=\iint _{R_{C}(x,t)},dx,d,t.}

이제 왼쪽은 인과 관계 영역의 경계를 따라 세 개의 선 적분의 합입니다.이것들은 계산하기 매우 쉬운 것으로 판명되었습니다.

\displaystyle \int _{x_{i}-ct_{i}+ct_{i}(x,0)-u_{t}(x,0)-\int _{x_{i}-ct_{i}+ct_{i}g(x)+ct_{i},ct_{i},{i}}.

위의 경우, 관련된 시간 간격이 0이므로 시간에 대해 적분할 항이 사라지며, 따라서 $dt$ = $0$ 이다.

$영역$ 의 다른 두 면의 경우 x ± $ct$ 는 상수로, $즉 i$ x ± $ct$ 는_i 부호가 적절하게 선택된다.이를 사용하여 dx ± $cdt$ = $0의 관계$ 를 얻을 수 있으며, 다시 오른쪽 기호를 선택합니다.

{lected}\int _{L_{1}}\left(-c^{2}u_{x}(x,t),dx\right)&={L_{1}\left(cu_{x}(x,t)\int_dx+{t}(t)\&=c\int _{L_{1}},du(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i}-cf(x_{i}+ct_{i})\end { aligned}

마찬가지로 최종 경계 세그먼트의 경우:

{\displaystyle {light} \int _ {L_{2}u_{x}(x,t),dt-u_{t}(x,t),dx\right)&=-int _{2}\left(cu_{x}(x,t),dx+{t}(t)\end { aligned}

세 가지 결과를 합산하여 원래 적분으로 되돌립니다.

({displaystyle {tranged}\iint _{R_{C}s(x,t),dx,dt&=-\int _{x_{i}-ct_{i})g(x),cu+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_i}+cu)

u $(x i,$ $t i)$ 를 $위한$ 해결 방법

u(x_{i}, t_{i})=tfrac {f(x_{i}+ct_{i})+f(x_{i}-ct_{c}}\int _{x_{i}+ct_{i}{x}+frc}{g},

시퀀스의 마지막 방정식에서는 소스 함수에 대한 적분의 경계가 명시되어 있습니다.파동 방정식과 호환되는 모든 선택 $(x i,$ $t i)$ 에 유효한 이 해법을 보면, 처음 두 항은 위에서 일차원에서의 균일한 파동 방정식의 해로서 간단히 달랑베르의 공식이라는 것이 명백하다.차이는 세 번째 항, 즉 선원에 대한 적분입니다.

불균일 매체에 대한 파동 방정식, 3차원 케이스

단방향 전파, 즉 비균질 매체에서 파형이 미리 정의된 파동 방향 $+c$ $\style$ + $c$ 또는 $+c$ $-c$ - $\displaystyle$ - $c$ 으로 이동하는 경우, 장력 단방향 파동 방정식(벡터식 쌍방향 파동 방정식의 인수분해 결과)과 해석 용질로도 파동을 계산할 수 있다.이온을 ^[13]얻을 수 있습니다.

기타 좌표계

3차원에서, 타원 원통 좌표로 쓰여질 때, 파동 방정식은 변수의 분리에 의해 해결되어 마티외 미분 방정식으로 이어질 수 있다.

추가 일반화

탄성파

탄성파 방정식(나비에-코치 방정식이라고도 함)은 등방성 균질 탄성 매체에서 파동의 전파를 설명한다.대부분의 고체 물질은 탄성이 있기 때문에, 이 방정식은 지구의 지진파나 물질의 결함을 감지하는 데 사용되는 초음파 같은 현상을 기술합니다.선형이지만, 이 방정식은 세로 및 가로 운동을 모두 고려해야 하기 때문에 위에 주어진 방정식보다 더 복잡한 형태를 가지고 있습니다.

\displaystyle \rho {\mathbf {u}}=\mathbf {f} +(\mathda +2\mu)\subla (\subla \cdot \mathbf {u})-\mu \subla \times \times \mathbf {u}}

여기서:

$γ$ 와 μ는 매체의 탄성 특성을 설명하는 이른바 라메 $매개변수$ 이다.
θ는 $밀도$ 입니다.
$f$ 는 근원 함수(구동력),
$u$ 는 변위 벡터입니다.

탄성파 방정식은 × × $($ = × $u$ ) $=$ ( ( $\times )$ u ) - $the u$ 를 사용함으로써 Navier-Cauchy 방정식의 보다 일반적인 형태로 재작성할 수 있다.

탄성파 방정식에서는 힘과 변위가 모두 벡터량이라는 점에 유의하십시오.따라서, 이 방정식은 때때로 벡터 파동 방정식으로 알려져 있다.이해를 돕기 위해 f와 $θθ$ u를 0으로 설정하면 $이것$ 이 가로파만을 가진 $전계$ E의 전파에 대한 (효과적으로) 맥스웰의 방정식이 되는 것을 알 수 있다.

분산 관계

분산파 현상에서는 파장의 파장에 따라 전파속도가 달라지며 이는 분산관계에 의해 반영된다.

(\displaystyle \mothbf {k} ),mathbf {k}),}

여기서 $θ$ 는 각 $주파수$ 이고 k는 평면파 용액을 설명하는 파동 벡터입니다.광파의 경우 분산 관계는 $θ$ = ± $c$ k이지만 일반적으로 $정속$ c는 가변 위상 속도로 대체됩니다.

({displaystyle v_{\mathrm {p}}=black {mothfrac(k)}{k}}).}

「」를 참조해 주세요.

메모들

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- 참고 항목: 달랑베르(1747) "진동에 관한 연구" (긴장된 줄이 [진동에 걸렸을 때] 형성되는 곡선에 대한 추가 연구), 베를린의 아카데미 로얄 데 과학, 제3권, 220–24쪽.
- 참고 항목: 달랑베르 (1750) "Addition a mémoire sur la courbe que un corde un un tendué mise en vibration," Histoire de l'l'ammie Royale des sciences et belles de Berlin, 제6권 355-360쪽.
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"숫자 방법에 의한 조사"의 초기 상태는 다음과 같이 2차 스플라인으로 설정됩니다.
- $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ ( $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ , $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ ) $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ 0 ( $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ - ( $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ - x $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ ) $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ ) $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ ( \ $display style$ $u$ ( 0 , x ) $= u$ _ { 0 $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ } \ $left$ ( 1 - \ $left$ \ $frac$ { $0\leq x\leq x_{2}$ $x$ _ { x _ {1 $} }$ \ $right )$ ）、 $0\leq x\leq x_{2}$ $0\leq x\leq x_{2}$ x $0\leq x\leq x_{2}$ 0 0 0 $2$ 、 0 、 0 。
- $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ $x_{2}\leq x\leq x_{3}$ $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ ( $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ , $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ ) $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ 0 ( $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ - $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ 3 $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ ) $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ ( $x_{2}\leq x\leq x_{3}$ $x_{2}\leq x\leq x_{3}$ $≤$ x $x_{2}\leq x\leq x_{3}$ $x_{2}\leq x\leq x_{3}$ \ $display style u$ ( $0$ , x ) = $u$ _ { $0$ } \ $left frac$ { x - x _ { $3$ $x_{2}\leq x\leq x_{3}$ \ $right$ ）^{ $2$ } $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ 。
- $u(0,x)=0$ ( $u(0,x)=0$ , $u(0,x)=0$ ) $u(0,x)=0$ $x_{3}\leq x\leq L$ $u(0,x)=0$ { $display style$ u ( $0$ , x ) $x_{3}\leq x\leq L$ $0$ $x_{3}\leq x\leq L$ { $display style$ x _ {3} \ $leq$ L }
$x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ L $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ + $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ x $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ , $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ 3 $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ + 1 ({ $displaystyle x_{1} = spectfrac$ { $1}$ + ${\ sqrt$ { $tfrac {1}$ {2} $x_{$ 1} {x} { $x},$ {3}

레퍼런스

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외부 링크

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[2] GRAY, JW (July 1983). "BOOK REVIEWS". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 9 (1). (2012년 11월 13일 회수).

[3] 제라드 F 휠러진동현 논란(2012년 11월 13일 철회).Am. J. Phys., 1987, v55, n1, p33-37.

[4] 세 명의 저자에 의한 9개의 획기적인 논문의 특별한 모음은 달랑베르, 레온하르트 오일러, 다니엘 베르누이 파동 방정식의 첫 출현을 참조하십시오. – Wayback Machine에서 2020-02-09 진동 스트링에 대한 논란 보관(2012년 11월 13일 회수).Herman HJ Lynge와 Son.

[5] 탄성파 방정식에 대한 de Lagrange의 기여에 대해서는 음향을 참조할 수 있습니다. 물리 원리 및 응용 소개 Allan D.Pierce, Austomical Soc of America, 1989; 18페이지(2012년 12월 9일 퇴임).

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[8] Eric W. Weisstein. "d'Alembert's Solution". MathWorld. Retrieved 2009-01-21.

[9] 달랑베르(1747) "진동에 대한 반복(Rechers surches la courbe que from un corde une un corde tendué mise en vibration)" (긴장줄이 [진동으로 설정될 때] 형성되는 곡선에 대한 조사), Histoire de l'l'ladémiealle des des sciences de Ber, 3권, 214-219.
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[10] 참고 항목: 달랑베르(1747) "진동에 관한 연구" (긴장된 줄이 [진동에 걸렸을 때] 형성되는 곡선에 대한 추가 연구), 베를린의 아카데미 로얄 데 과학, 제3권, 220–24쪽.

[11] 참고 항목: 달랑베르 (1750) "Addition a mémoire sur la courbe que un corde un un tendué mise en vibration," Histoire de l'l'ammie Royale des sciences et belles de Berlin, 제6권 355-360쪽.

[10] math.arizona.edu (PDF) https://web.archive.org/web/20171215022442/http://math.arizona.edu/~kglasner/math456/linearwave.pdf. Archived from the original on 2017-12-15. {{cite web}}:누락 또는 비어 있음 title=(도움말)

[11] V Guruprasad (2015), "Observational evidence for travelling wave modes bearing distance proportional shifts", EPL, 110 (5): 54001, arXiv:1507.08222, Bibcode:2015EL....11054001G, doi:10.1209/0295-5075/110/54001, S2CID 42285652

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[br2-13] Bschorr, Oskar; Raida, Hans-Joachim (December 2021). "Factorized One-way Wave Equations". Acoustics. 3 (4): 714–722. doi:10.3390/acoustics3040045.

[14] Jackson, John David (14 August 1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. p. 425. ISBN 978-0-471-30932-1.

[15] "숫자 방법에 의한 조사"의 초기 상태는 다음과 같이 2차 스플라인으로 설정됩니다.
$u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ ( $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ , $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ ) $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ 0 ( $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ - ( $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ - x $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ ) $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ ) $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ ( \ $display style$ $u$ ( 0 , x ) $= u$ _ { 0 $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ } \ $left$ ( 1 - \ $left$ \ $frac$ { $0\leq x\leq x_{2}$ $x$ _ { x _ {1 $} }$ \ $right )$ ）、 $0\leq x\leq x_{2}$ $0\leq x\leq x_{2}$ x $0\leq x\leq x_{2}$ 0 0 0 $2$ 、 0 、 0 。

$u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ $x_{2}\leq x\leq x_{3}$ $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ ( $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ , $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ ) $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ 0 ( $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ - $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ 3 $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ ) $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ ( $x_{2}\leq x\leq x_{3}$ $x_{2}\leq x\leq x_{3}$ $≤$ x $x_{2}\leq x\leq x_{3}$ $x_{2}\leq x\leq x_{3}$ \ $display style u$ ( $0$ , x ) = $u$ _ { $0$ } \ $left frac$ { x - x _ { $3$ $x_{2}\leq x\leq x_{3}$ \ $right$ ）^{ $2$ } $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ 。

$u(0,x)=0$ ( $u(0,x)=0$ , $u(0,x)=0$ ) $u(0,x)=0$ $x_{3}\leq x\leq L$ $u(0,x)=0$ { $display style$ u ( $0$ , x ) $x_{3}\leq x\leq L$ $0$ $x_{3}\leq x\leq L$ { $display style$ x _ {3} \ $leq$ L }
$x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ L $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ + $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ x $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ , $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ 3 $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ $x_{1}={\tfrac {1}{10}}L,x_{2}=x_{1}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1},x_{3}=x_{2}+{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}x_{1}$ + 1 ({ $displaystyle x_{1} = spectfrac$ { $1}$ + ${\ sqrt$ { $tfrac {1}$ {2} $x_{$ 1} {x} { $x},$ {3}

[18] $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ ( $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ , $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ ) $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ 0 ( $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ - ( $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ - x $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ ) $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ ) $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ ( \ $display style$ $u$ ( 0 , x ) $= u$ _ { 0 $u(0,x)=u_{0}\left(1-\left({\frac {x-x_{1}}{x_{1}}}\right)^{2}\right)$ } \ $left$ ( 1 - \ $left$ \ $frac$ { $0\leq x\leq x_{2}$ $x$ _ { x _ {1 $} }$ \ $right )$ ）、 $0\leq x\leq x_{2}$ $0\leq x\leq x_{2}$ x $0\leq x\leq x_{2}$ 0 0 0 $2$ 、 0 、 0 。

[19] $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ $x_{2}\leq x\leq x_{3}$ $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ ( $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ , $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ ) $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ 0 ( $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ - $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ 3 $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ ) $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ ( $x_{2}\leq x\leq x_{3}$ $x_{2}\leq x\leq x_{3}$ $≤$ x $x_{2}\leq x\leq x_{3}$ $x_{2}\leq x\leq x_{3}$ \ $display style u$ ( $0$ , x ) = $u$ _ { $0$ } \ $left frac$ { x - x _ { $3$ $x_{2}\leq x\leq x_{3}$ \ $right$ ）^{ $2$ } $u(0,x)=u_{0}\left({\frac {x-x_{3}}{x_{1}}}\right)^{2}$ 。

[20] $u(0,x)=0$ ( $u(0,x)=0$ , $u(0,x)=0$ ) $u(0,x)=0$ $x_{3}\leq x\leq L$ $u(0,x)=0$ { $display style$ u ( $0$ , x ) $x_{3}\leq x\leq L$ $0$ $x_{3}\leq x\leq L$ { $display style$ x _ {3} \ $leq$ L }

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목차

서론

1공간 차원에서의 파동 방정식

파동 방정식의 도출

후크의 법칙에서

바의 응력 펄스

일반적인 솔루션

대수적 접근

평면파 고유 모드

3차원 공간에서의 벡터파 방정식

3차원 공간에서의 스칼라파 방정식

구면파

예

단색 구형파

일반적인 초기값 문제 해결

2차원 공간에서의 스칼라파 방정식

일반차원 스칼라파 방정식과 키르히호프 공식

홀수 치수

균일한 치수

경계에 관한 문제

1공간 치수

두 매체의 경계에서의 반사 및 전달

스투름-리우빌 공식

수치법에 의한 조사

여러 공간 치수

불균일한 파동 방정식 1차원

불균일 매체에 대한 파동 방정식, 3차원 케이스

기타 좌표계

추가 일반화

탄성파

분산 관계

「」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

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파동 방정식

서론

1공간 차원에서의 파동 방정식

파동 방정식의 도출

후크의 법칙에서

바의 응력 펄스

일반적인 솔루션

대수적 접근

평면파 고유 모드

3차원 공간에서의 벡터파 방정식

3차원 공간에서의 스칼라파 방정식

구면파

예

단색 구형파

일반적인 초기값 문제 해결

2차원 공간에서의 스칼라파 방정식

일반차원 스칼라파 방정식과 키르히호프 공식

홀수 치수

균일한 치수

경계에 관한 문제

1공간 치수

두 매체의 경계에서의 반사 및 전달

스투름-리우빌 공식

수치법에 의한 조사

여러 공간 치수

불균일한 파동 방정식 1차원

불균일 매체에 대한 파동 방정식, 3차원 케이스

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