달랑베르 공식

수학, 특히 편미분 방정식에서 달랑베르 공식은 1차원 파동 방정식의 일반적인 해입니다.

u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0,\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),

$-\infty <x<\infty ,\,\,t>0$ ∞ < $x$ < ∞, t > $0 {\displaystyle -\infty$ < x $-\infty <x<\infty ,\,\,t>0$ <\infty,\,\,t>0}

이것의 이름은 1747년에 진동하는 끈의 문제를 해결하기 위해 이것을 유도한 수학자 장 르롱드알렘베르의 이름을 따서 지어졌습니다.^[1]

세부 사항

PDE의 $x\pm ct=\mathrm {const}$ 은 x $x\pm ct=\mathrm {const}$ ± $x\pm ct=\mathrm {const}$ = ${\$ $displaystyle$ x $\pm$ ct =\mathrm {const}입니다(여기서 ± {\displaystyle \pm } 부호는 2차 방정식에 대한 두 해를 나타냅니다). $\mu =x+ct$ 변수 $\mu =x+ct$ = x $\mu =x+ct$ + $\eta =x-ct$ ${\displaystyle$ \mu = x+ct $}($ 양극 솔루션의 경우) 및 η = x - c {\displaystyle \eta = x-ct}(음극 솔루션의 경우)의 변경을 사용하여 PDE를 u μ η = 0 {\displaystyle u_{\mu \eta } = 0}으로 변환할 수 있습니다. 이 PDE의 일반적인 솔루션은 u $u(\mu ,\eta )=F(\mu )+G(\eta )$ η) = $u(\mu ,\eta )=F(\mu )+G(\eta )$ F( $)$ + G $($ η) {\displaystyle u(\mu,\eta) = F(\mu) + G(\eta)}이며, 여기서 F {\displaystyle F} 및 G {\displaystyle G}는 C 1 {\displaystyle C^{1}} 함수입니다. $x, t$ $x,t$ 좌표를 $x,t$ 다시 입력합니다.

u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)

u

{\displaystyle

u

}

는

f

F

F

및

G {\

displaystyle G}

가

g

C^{2}

{\

일 경우

C^{2}

C^{2}

{\

C^{

2}

입니다

u

C^{2}

이 해 $u$ ${\displaystyle$ u $}$ 는 등속 $c$ $c$ 를 가진 두 파동이 x축을 따라 서로 반대 방향으로 $c$ 움직이는 것으로 해석할 수 있습니다 $u$ .

이제 Cauchy 데이터 $u(x,0)=g(x),u_{t}(x,0)=h(x)$ $u(x,0)=g(x),u_{t}(x,0)=h(x)$ = $u(x,0)=g(x),u_{t}(x,0)=h(x)$ $),$ u $u(x,0)=g(x),u_{t}(x,0)=h(x)$ x, 0) = h(x) {\displaystyle u(x,0) = g(x), u_{t}(x,0) = h(x)}와 함께 이 해를 생각해 보십시오.

$u(x,0)=g(x)$ $u(x,0)=g(x)$ = g $)$ $display$ u $(x$ ,0) = g(x)}를 사용하면 F(x ) + G(x ) = g(x ) {\display F(x) + G(x) = g(x)}를 얻을 수 있습니다.

$u_{t}(x,0)=h(x)$ $u_{t}(x,0)=h(x)$ = $u_{t}(x,0)=h(x)$ $u_{t}(x,0)=h(x)$ x $)$ $displaystyle$ u_{t} (x,0) = h (x)}를 사용하면 cF' (x ) - cG' (x ) = h (x ) {\displaystyle cF' (x) - cG' (x) = h(x)}를 얻을 수 있습니다.

마지막 방정식을 적분하면 다음을 얻을 수 있습니다.

cF(x)-cG(x)=\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}.

이제 우리는 이 방정식 체계를 풀 수 있습니다.

F(x)={\frac {-1}{2c}}\left (-cg(x)-\left(\int_{-\infty}^{x}h(\xi)\,d\xi +c_{1}\right)

G(x)={\frac {-1}{2c}}\left (-cg(x)+\left(\int_{-\infty}^{x}h(\xi)d\xi +c_{1}\right))

자, 사용하기

u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)

달랑베르 공식은 다음과 같습니다.^[2]

u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )\,d\xi .

비균질 표준 쌍곡 미분 방정식에 대한 일반화

비균질 표준 쌍곡형 미분 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같은 형태를 갖습니다.

u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t),\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),

-\infty <x<\infty ,\,\,t>0,f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} )

∞ <

-\infty <x<\infty ,\,\,t>0,f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} )

< ∞,

-\infty <x<\infty ,\,\,t>0,f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} )

>

-\infty <x<\infty ,\,\,t>0,f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} )

f

∈ C 2 (

R

2, R )

{\displaystyle -\infty <x<\infty,\,\,\,t>0

,f\

in

C^{2}

(\mathbb

{R} ^{2},\mathbb {R} )}입니다.

계수가 일정한 모든 2차 미분 방정식은 각각의 고유한 형식으로 변환될 수 있습니다. 이 방정식은 다음 세 가지 경우 중 하나입니다. 타원 편미분 방정식, 포물선 편미분 방정식과 쌍곡 편미분 방정식.

동차 미분 방정식과 비동차 미분 방정식의 유일한 차이점은 동차 형태에서는 0만 오른쪽에 서는 $f(x,t)=0$ 을 허용한다는 것입니다 $f(x,t)=0$ ( $f(x,t)=0$ $f(x,t)=0$ ) = $0$ {\ $displaystyle$ f(x, t) = 0} 반면, 비동차 미분 방정식은 f(x, t) {\displaystyle f(x), $t)}$ 은 $f(x,t)$ (는) 연속적이고 연속적으로 두 번 구별할 수 있는 함수이면 어떤 함수라도 될 수 있습니다.

위 식의 해는 다음과 같은 공식으로 주어집니다.

u(x,t)={\frac {1}{2}}{\bigl (}g(x+ct)+g(x-ct){\bigr )}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(s)\,ds+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{x-c(t-\tau )}^{x+c(t-\tau )}f(s,\tau )\,ds\,d\tau .

$g(x)=0$ = ${\$ displaystyle g(x) = 0}이면 첫 번째 부분이 사라지고, h(x) = 0 {\displaystyle h(x) = 0}이면 두 번째 부분이 사라지고, f(x) = 0 {\displaystyle f(x) = 0}이면 솔루션에서 세 번째 부분이 사라지는데, 이는 임의의 두 경계 사이에서 0-함수를 적분하면 항상 0이 되기 때문입니다.

참고 항목

메모들

^ 달랑베르 (1747) "Reches sur la courbeque for me une corde tendu ë miseen vibration" (긴장된 줄[끈]이 [진동으로 설정될 때] 형성되는 곡선에 대한 연구), Histoire de l'académie des ciences et belleslet de Berlin, vol. 3, 214-219쪽. 참고 항목: 달랑베르 (1747) "Suite des recherches sur la courbeque for me une corde tendu ë miseen vibration" (긴장된 줄이 [진동으로 시작될 때] 형성되는 곡선에 대한 추가 연구), Histoire de l'académie des ciences et bellesletes de Berlin, vol. 3, 220-249쪽. 참고 항목: 달랑베르 (1750) "나의 ë 미장센 진동을 위한 추가 오 메무아르 수르 라 쿠르베크," 히스토리르 드 라카데미예 데 로얄 과학 외 벨 레트르 드 베를린, vol. 6, 페이지 355-360.
^ Pinchover, Yehuda; Rubinstein, Jacob (2013). An introduction to Partial Differential Equations (8th printing). Cambridge University Press. pp. 76–92. ISBN 978-0-521-84886-2.

외부 링크

www.exampleproblems.com 에서 비균질파 방정식을 푸는 예

https://www.knowledgeablegroup.com/2020/09/equations%20change%20world.html

[1] 달랑베르 (1747) "Reches sur la courbeque for me une corde tendu ë miseen vibration" (긴장된 줄[끈]이 [진동으로 설정될 때] 형성되는 곡선에 대한 연구), Histoire de l'académie des ciences et belleslet de Berlin, vol. 3, 214-219쪽. 참고 항목: 달랑베르 (1747) "Suite des recherches sur la courbeque for me une corde tendu ë miseen vibration" (긴장된 줄이 [진동으로 시작될 때] 형성되는 곡선에 대한 추가 연구), Histoire de l'académie des ciences et bellesletes de Berlin, vol. 3, 220-249쪽. 참고 항목: 달랑베르 (1750) "나의 ë 미장센 진동을 위한 추가 오 메무아르 수르 라 쿠르베크," 히스토리르 드 라카데미예 데 로얄 과학 외 벨 레트르 드 베를린, vol. 6, 페이지 355-360.

[2] Pinchover, Yehuda; Rubinstein, Jacob (2013). An introduction to Partial Differential Equations (8th printing). Cambridge University Press. pp. 76–92. ISBN 978-0-521-84886-2.

[1]

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