초등

계산 복잡성 이론에서, 기초 재귀 함수의 복잡성 클래스 ELAST는 클래스의 결합이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {ELEMENTARY}}&=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }k{\mathsf {{\mbox{-}}EXP}}\\&={\mathsf {DTIME}}\left(2^{n}\right)\cup {\mathsf {DTIME}}\left(2^{2^{n}}\right)\cup {\mathsf {DTIME}}\left(2^{2^{2^{n}}}\right)\cup \cdots \end{aligned}}}$

이 이름은 반복적인 기능과 불후의 명분이라는 맥락에서 라슬로 칼마르에 의해 만들어졌으며, 대부분의 문제들은 초등과는 거리가 멀다.일부 자연 재귀적 문제는 ENTERIAL 외부에 있으며, 따라서 NOTENTELEARY이다.가장 주목할 만한 것은 ENTERIC에는 없는 원시적인 재귀 문제가 있다는 것이다.우리는 알고 있다.

LOWER-Elementary ⊊ EXPTIME ⊊ 초등 elementary PR ⊊ R

ENTERIC은 지수의 경계 응용 프로그램($예{\displaystyle }$: O${\displaystyle }$( ${\displaystyle {2{\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {n^{}}^{}}$) ${\displaystyle O (2^{2^{n}})$을 포함하는 반면,$$ PR은 ENTERIC에 포함되지 않은 더 일반적인 하이퍼 연산자(예: 테트레이션)를 허용한다.

정의

원시 재귀는 경계가 있는 합계 및 경계가 있는 제품으로 대체된다는 점을 제외하면, 기초 재귀 함수의 정의는 원시 재귀 함수와 동일하다.모든 기능은 자연수에 걸쳐 작용한다.기본 기능은 모두 기본적인 재귀 기능이다.

1. 영함수.0을 반환한다: f(x) = 0.
2. 후계 함수: f(x) = x + 1. 흔히 S(x)에서와 같이 S(x)로 표시된다.계승 함수의 반복적 적용을 통해 덧셈을 할 수 있다.
3. 투영 함수: 인수를 무시하는 데 사용된다.예를 들어 f(a, b) = a는 투영 함수다.
4. 뺄셈 함수: f(x, y) = y < x인 경우 x - y, y인 경우 0.이 함수는 조건과 반복을 정의하는데 사용된다.

이러한 기본적인 기능으로부터 우리는 다른 기본적인 재귀적 기능을 구축할 수 있다.

1. 구성: 일부 기본 재귀 함수의 값을 인수로 다른 기본 재귀 함수에 적용.f(x₁, ..., x_n) = h(g₁(x₁, ..., x_n), ..., g(x_m1, ..., x_n)에서 h는 기본 재귀이고 각 g는_i 기본 재귀인 경우 기본 재귀이다.
2. Bounded summation: ${\displaystyle f(m,x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum \limits _{i=0}^{m}g(i,x_{1},\ldots ,x_{n})}$ is elementary recursive if g is elementary recursive.
3. Bounded product: ${\displaystyle f(m,x_{1},\ldots ,x_{n})=\prod \limits _{i=0}^{m}g(i,x_{1},\ldots ,x_{n})}$ is elementary recursive if g is elementary recursive.

ENTERIC의 기초

기본 함수의 등급은 투영 구성 및 ${\displaystyle \mathrm{다음}}$ 함수 집합 중 하나와 ${\displaystyle \mathrm{관련}}$하여 닫힘과 일치한다:${\displaystyle }${${\displaystyle n}$+ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$n${\displaystyle \stackrel{}{}}$-${\displaystyle \stackrel{}{}}$. ${\displaystyle m\stackrel{}{},}$ ${\displaystyle \lfloor }$n / ${\displaystyle m,,}$ ${\displaystyle n^{}}$ m \, ${\displaystyle {}^{}}$ m ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \{n+1,n\,{\stackrel {.$$}}{-}\,m,\lfloor n/m\m\m\n^{$m$\}\backslash \}\}\},$ {${\displaystyle n}$+${\displaystyle m\stackrel{}{}\stackrel{}{}}$ n - .${\displaystyle m,\mathrm{nn}}$/ ${\displaystyle m{}^{}{2n}^{}}$ ${\displaystyle \{n+m,$n\,{\$stackrel},$ {}}$}{-}}\,m,\lfloor n/m\rfloor ,2^{n}\}}$, ${\displaystyle \{n+m,n^{2},n\,{\bmod {\,}}m,2^{n}\}}$, where ${\displaystyle n\,{\stackrel {.$$}}{-}\,m=\max\{n-m,0\}}}$은(는) 위에서 정의한 감산함수다.^[1][2]

낮은 기본 재귀 기능

하한 초등 재귀 함수는 경계 제품이 허용되지 않는다는 점을 제외하고 위와 같은 정의를 따른다.즉, 하위 초등 재귀 함수는 0, 후속 또는 투영 함수, 다른 하위 초등 재귀 함수의 구성 또는 다른 하위 초등 재귀 함수의 경계 합이 되어야 한다.

낮은 초등 재귀 기능은 스콜렘 초등 기능으로도 알려져 있다.^[3][4]

기초 재귀 함수는 잠재적으로 지수 이상의 성장을 하는 반면, 낮은 기초 재귀 함수는 다항식 성장을 한다.

하위 초등 함수의 등급은 우리가 초등 함수에 대해 가지고 있는 것과 유사한 단순한 함수의 구성 측면에서 설명이 있다.^[4][5]즉, 다항식 경계 함수는 $투영{\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{n}}$+ 1 ${\displaystyle nm$ ${\displaystyle n}$ $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle nm$ $n{\displaystyle \stackrel{}{}}$- .${\displaystyle m\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle n\,{\stackrel$ {} 등의 함수의 구성을 사용하여 표현할 수 있는 경우에만 더 낮은 초등 함수가 된다$.$$}{-}}\,m}$, ${\displaystyle n\wedge m}$, ${\displaystyle \lfloor n/m\rfloor }$, one exponential function (${\displaystyle 2^{n}}$ or ${\displaystyle n^{m}}$) with the following restriction on the structure of formulas: the formula can have no more than two floors with respect to an exponent(예: $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle y(\mathrm{z}}$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle xy(z+1)}$은 1층,${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$+ y${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle y^{}}$ ${\displaystyle z^{}}$+${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ + 1 ${\displaystyle {+}^{}}$ 1 $($}은$$2층$$, ${\displaystyle {{2층}^{}}^{}}$ ${\$은 3층이다$$.여기서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n\wedge m}$은(는) n과 m의 약간 현명한 AND이다.

서술적 특성화

서술적 복잡도에서 ENTERIC은 고차 논리학의 공식으로 설명할 수 있는 언어의 클래스 HO와 동일하다.^[6]이것은 초등 복잡도 클래스의 모든 언어가 언어의 요소들에 대한 사실 및에만 해당하는 고차 공식에 해당한다는 것을 의미한다.More precisely, ${\displaystyle {\mathsf {NTIME}}\left(2^{2^{\cdots {2^{O(n)}}}}\right)=\exists {}{\mathsf {HO}}^{i}}$, where ⋯ indicates a tower of i exponentiations and ${\displaystyle \exists {}{\mathsf {HO}}^{i}}$ is the class of queries that begin은 ith 순서의 실존적 정량자 및 (i - 1)번째 순서의 공식으로 구성된다.

참고 항목

• 기본 함수 산술
• 원시재귀함수
• 그르제고르차이크 계층 구조
• 엑스트라타임

메모들

참조

• 로즈, H.E., 부구: 기능 및 계층, 옥스퍼드 대학 출판부, 1984.ISBN 0-19-853189-3