최대 계량 원리

수학에서, 복잡한 분석에서 최대 계량 원리는 f가 홀모픽 함수라면, 계량 f는 f의 영역 내에 적절하게 있는 엄격한 국소 최대값을 나타낼 수 없다고 말한다.

즉 f는 국소적으로 상수함수 또는 f의 영역 내에 있는 어떤 지점₀ z에 대해 f가 더 큰 값을 갖는 다른 지점들이 임의적으로₀ 존재한다.

형식명세서

복합 평면 ℂ의 어떤 연결된 오픈 서브셋 D에서 복잡한 값을 취하면서 f를 홀로모르픽 함수로 한다.만약₀ z가 D의 점이라면 다음과 같다.

$\displaystyle f(z_{0}) \geq f(z) }$

z의₀ 일부 이웃에 있는 모든 z에 대해 f는 D에 대해 일정하다.

이 문장은 오픈 맵핑 정리의 특별한 사례로 볼 수 있는데, 비정규적인 홀로모르픽 함수가 오픈 세트를 맵핑한다고 명시되어 있다: z에서 로컬 최대치에 도달하면 충분히 작게 열린 z의 주변 이미지는 오픈할 수 없기 때문에 f는 일정하다.

관련명세서

Suppose that ${\displaystyle D}$ is a bounded nonempty open subset of ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Let ${\displaystyle {\overline {D}}}$ be the closure of ${\displaystyle D}$. Suppose that ${\displaystyle f\colon {\overline {D}}\to \mathbb {C} }$ is a continuous function that is hol$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$에서 오모픽$.$ 그러면 ${\displaystyle f}$( z${\displaystyle }$) $displaystyle f(z)}$이(가) $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ D$}$의 경계의 어느 지점에서 최대값을 얻는다$$$.$

이것은 제1판부터 다음과 같다.Since ${\displaystyle {\overline {D}}}$ is compact and nonempty, the continuous function ${\displaystyle f(z) }$ attains a maximum at some point ${\displaystyle z_{0}}$ of ${\displaystyle {\overline {D}}}$. If ${\displaystyle z_{0}}$ is not on the boundary, then the m차축계수 $원리$는 f ${\displaystyle f}$이(${\displaystyle 가}$) 일정하다는 것을 의미하므로 ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle }$z${\displaystyle }$) $displaystyle f(z) }$도 경계의 어느 지점에서나 동일한 최대값을 얻는다.

최소 계량 원리

$C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 연결된 열린 집합 D에 대해$,$ z가₀ 다음과 같은 D의 점인 경우

${\displaystyle 0< f(z_{0}) \leq f(z) }$

z의₀ 일부 이웃에 있는 모든 z에 대해 f는 D에 대해 일정하다.

증명: 최대 계량 원리를 $1{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1/f}$에 적용하십시오$.$

교정쇄

고조파 함수에 대한 최대 원리 사용

평등함을 이용할 수 있다.

${\displaystyle \log f(z)=\ln f(z) +i\arg f(z)}$

복잡한 자연 로그에서 ${\displaystyle \ln )}$ ${\displaystyle f}$( z ) {\$displaystyle \ln$ f$($z$$)}이(가) 조화 함수라고 추론하는 경우.z는₀ 이 기능에도 로컬 최대값이기 때문에 ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle z}$) $displaystyle f(z) }$이(가) 일정한 최대$$ 원리에서 따르게 된다.그런 다음, Cauchy-Remann 방정식을 $사용$하여 f ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle z}$ ) ${\displaystyle f'(z)}$ = 0을 나타내고, $따라서{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyf(z)}$도 일정하게 된다$$.${\displaystyle \mathrm{유사}}$한 추론은 ${\displaystyle f}$( z $displaystyle f(z)}}$이(가) f${\displaystyle }$( $){\displaystyle f(z)}$의 격리된 0에서만 로컬 최소값(필수 값 0)을 가질 수 있다는$$ 것을 보여준다$.$

가우스의 평균값 정리 사용

또 다른 증거는 가우스의 평균값 정리를 사용하여 겹치는 열린 디스크 내의 모든 점을 "강제"하여 동일한 값을 가정함으로써 작용한다.디스크는 $그{\displaystyle }$ 중심이 f${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle f(z)}$이(가) 도메인의 다른 어떤 지점까지 최대화되는 값에서 다각형 경로를 형성하도록 배치되는 동시에 도메인 내에 완전히 포함되도록 배치된다.따라서 최대값이 존재한다는 것은 도메인의 모든 값이 동일하므로 $f{\displaystyle }$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(z)}$이(${\displaystyle 가}$) 일정하다는$$ 것을 의미한다.

물리적 해석

이 원리의 물리적 해석은 열 방정식에서 나온다.즉, ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle z}$) $displaystyle \log f(z)$}이(가) 조화롭기$$ 때문에 영역 D에서 열 흐름의 안정 상태가 된다.D의 내부에 엄격한 최대값이 도달되었다고 가정하면, 이 최대값의 열은 주변 지점으로 분산되어 이것이 시스템의 안정 상태를 나타낸다는 가정과 모순된다.

적용들

최대 계량 원리는 복잡한 분석에서 많은 용도를 가지며, 다음을 증명하기 위해 사용할 수 있다.

• 대수학의 기본 정리.
• 슈바르츠의 보조정리, 그 결과 복잡한 분석에서 많은 일반화와 응용이 가능해졌다.
• 프라그멘-린델뢰프 원칙, 무한 영역으로의 확장.
• 보렐-캐러테오도리 정리. 분석 함수의 범위를 실제 부분과 관련하여 지정한다.
• 하다마드 3선 정리, 복잡한 평면의 다른 두 평행선 사이의 선에서 경계된 홀로모르픽 함수의 행동에 대한 결과.

참조

• Titchmarsh, E. C. (1939). The Theory of Functions (2nd ed.). Oxford University Press. (제5장 참조)
• E. D. Solomentsev (2001) [1994], "Maximum-modulus principle", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Maximum Modulus Principle". MathWorld.