크롤-슈미트 정리

수학에서 Krull-Schmidt의 정리에서는 부분군 사슬에 특정한 미세한 조건을 따르는 집단은 외설적인 부분군의 유한한 직접 생산물로서 고유하게 쓰여질 수 있다고 기술하고 있다.

정의들

G 그룹은 G의 모든 하위 그룹 순서가 다음과 같은 경우 하위 그룹의 오름차순 체인 조건(ACC)을 만족한다고 말한다.

1=G_{0}\leq G_{1}\leq G_{2}\leq \cdots \,

결국 일정하다. 즉, G_N = G_N+1 = G_N+2 = G = ...와 같은 N이 존재한다. 우리는 G의 모든 그러한 정상 부분군의 순서가 결국 일정해지면 G가 정상 부분군에서 ACC를 만족한다고 말한다.

마찬가지로 (정상) 부분군의 감소되는 모든 시퀀스를 살펴봄으로써 (정상) 부분군의 내림차인 조건을 정의할 수 있다.

G=G_{0}\geq G_{1}\geq G_{2}\geq \cdots .\,

분명히, 모든 유한 그룹은 하위 그룹의 ACC와 DCC를 모두 만족한다.무한순환 그룹 $\mathbf {Z}$ ${\$ 은(는) (2) ²> (2) > (2) > (2) ³> ... 부분군의 무한 감소 시퀀스이기 때문에 ACC는 만족하지만 $\mathbf {Z}$ DCC는 만족하지 않는다.반면 $\mathbf {Q} /\mathbf {Z}$ ${\$ $displaystyle$ p $^{\infit }}$ 의 $p^\infty$ p ${$ {\ $displaystyle \mathbf {Q}$ /\ $mathbf {Z}}($ Qasycyclic p-group)은 DCC를 만족하지만 ACC는 만족하지 않는다.

우리는 그룹 G가 비종속 하위 그룹 G = H × K의 직접 생산물로 작성될 수 없다면 강제추행이라고 말한다.

성명서

If $G$ is a group that satisfies either ACC or DCC on normal subgroups, then there is exactly one way of writing $G$ as a direct product $G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{k}\,$ of finitely many indecomposable subgroups of ${\display$ $G} 스타일$ 여기서 고유성은 외설적인 하위집단으로의 직접적인 분해는 교환 특성을 갖는다는 것을 의미한다.즉, $G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{l}\,$ = $G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{l}\,$ $G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{l}\,$ $G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{l}\,$ $G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{l}\,$ $G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{l}\,$ $G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{l}\,$ $G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{l}\,$ × $G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{l}\,$ × $G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{l}\,$ $G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{l}\,$ {\ $displaystyle G=H_{$ 1}\ $time H_{$ 2}\ $time \cdots \time H_{$ l}\}\}}}}이(가) 외설성 부분군의 산물로 $G$ ${\displaystystyle G}$ 의 또 다른 표현이라고 $G=H_{1}\times H_{2}\times \cdots \times H_{l}\,$ 가정하자.그러면 $k=l$ = $k=l$ $k=l$ 이(가) 표시되고 $k=l$ $H_{i}$ i $H_{i}$ {\ $displaystyle H_{i}}$ 의 재색인화 작업이 수행되며 $H_{i}$ 이 값은 만족스럽다.

$G_{i}$ $H_{i}$ $G_{i}$ ${\$ 및 $G_{i}$ $H_{i}$ ${\$ 는 $각$ i ${\displaystyle i$
$G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}\times H_{r+1}\times \cdots \times H_{l}\,$ $r$ $G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}\times H_{r+1}\times \cdots \times H_{l}\,$ = G $G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}\times H_{r+1}\times \cdots \times H_{l}\,$ $G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}\times H_{r+1}\times \cdots \times H_{l}\,$ × $G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}\times H_{r+1}\times \cdots \times H_{l}\,$ × $G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}\times H_{r+1}\times \cdots \times H_{l}\,$ × $G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}\times H_{r+1}\times \cdots \times H_{l}\,$ $G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}\times H_{r+1}\times \cdots \times H_{l}\,$ × $G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}\times H_{r+1}\times \cdots \times H_{l}\,$ × × × × $G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}\times H_{r+1}\times \cdots \times H_{l}\,$ × × $G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}\times H_{r+1}\times \cdots \times H_{l}\,$ {\ $displaystyle G=G_$ {1 $}\time$ \ $cdots \time G_{r$ +1 $}\time H_{r+1}\time$ $\$ $cdcdots$ \ $times$ H_{ $time H_{$ }\l $}\$ $time$ }\l $r$ timees H_{l}\l}.

증명

존재 입증은 비교적 간단하다: $S$ 는 외설적인 하위 그룹의 산물로 쓸 수 없는 모든 정상 하위 그룹의 집합이 되도록 하자.게다가, 어떤 외설적인 부분군도 그 자체의 단기간 직접 생산물이기 때문에 분해될 수 있다.Krull-Schmidt가 실패하면 $S$ 는 $G$ 를 포함하므로 우리는 반복적으로 일련의 직접 요인을 구성할 수 있다. 이것은 DCC와 모순된다.그러면 $G$ 의 모든 직접적 요인이 이런 식으로 나타난다는 것을 보여주기 위해 공사를 반전시킬 수 있다.^[1]

반면에 고유성의 증명은 상당히 길고 일련의 기술적 레마들을 필요로 한다.자세한 설명은 다음을 참조하십시오.^[2]

비고

그 정리는 비종교적 분해의 존재를 주장하는 것이 아니라, 단지 그러한 두 가지 분해(존재하는 경우)가 동일하다는 것에 지나지 않는다.

모듈을 위한 Krull-Schmidt 정리

$E\neq 0$ $E\neq 0$ $E\neq 0$ ${\displaystyle E\neq$ 0 $}$ 이(가) 하위 모형에 대한 ACC 및 DCC를 만족하는 모듈이라면 $E \neq 0$ (즉, 이는 노메테리아와 아티니아어 또는 - 동등하게 - 길이가 유한한 모듈) $E$ $E$ 은(가) 강제할 수 없는 모듈의 직접적인 합이다 $E$ .순열까지, 그러한 직접적인 금액의 외설적인 요소들은 이형성에 따라 독특하게 결정된다.^[3]

일반적으로 모듈을 노메테리아나 아르티니아어로만 가정하면 정리가 실패한다.^[4]

역사

오늘날 크롤-슈미트 정리는 조셉 웨더번(1909년)이 유한집단에 대해 처음 입증한 것이지만, 그가 일부 공로를 언급하는 것은 아벨리아 집단의 직접 생산물을 고려했던 G.A. 밀러에 대한 초기 연구 때문이다.웨더번의 정리는 최대 길이의 직접 분해 사이의 교환 특성으로 명시되어 있다.그러나 웨더번의 증거는 자동화를 사용하지 않는다.

로버트 레맥(1911년)의 논문은 웨더번과 같은 고유성 결과를 도출했지만 (현대 용어로는) 중앙 자동화 집단이 유한 집단의 최대 길이의 직접 분해 집합에 대해 전이적으로 작용한다는 것도 증명했다.그 더 강한 정리로부터 레맥은 또한 사소한 중심과 완벽한 집단을 가진 집단이 독특한 레맥 분해를 한다는 것을 포함한 다양한 골관들을 증명했다.

오토 슈미트(Sur les products directs, S. M. F. Bull. 41 (1913), 161–164), 레맥의 주요 이론들을 오늘날의 교과서 교정본의 전임자 3페이지로 단순화했다.그의 방법은 레맥이 사용하는 idempotents를 개선하여 적절한 중심 자동화를 만든다.레맥과 슈미트 둘 다 그들의 이론에 대한 후속 증거와 관점을 발표했다.

볼프강 크롤(Uber Veralgemeinerte endlicerhe Abelsche Gruppen, M. Z. 23 (1925) 161–196)은 상승 및 하강 체인 조건을 가진 아벨리안 운영자 그룹까지 확장함으로써 아벨리아 그룹의 직접 생산물이라는 G.A. Miller의 원래 문제로 돌아왔다.이것은 모듈 언어로 가장 자주 언급된다.그의 증거는 레맥과 슈미트의 교정에서 사용되는 idempotents는 모듈 동형성으로 제한될 수 있다는 것을 관찰한다; 그 증거의 나머지 세부사항은 대부분 변하지 않는다.

O. 다양한 범주의 증명 통일된 광석은 내림 및 상승 체인 조건의 모듈형 격자에 대한 웨더번 홀드의 교환 정리를 증명함으로써 유한 그룹, 아벨 운영자 그룹, 링 및 알헤브라를 포함한다.이 증거는 idempotents를 전혀 사용하지 않으며, 레맥의 이론의 transitability를 비난하지 않는다.

쿠로슈의 '집단론'과 자센하우스의 '집단론'에는 레맥-슈미트라는 이름으로 슈미트와 오레에 대한 증명이 포함되어 있으나 웨더번과 오레에 대해서는 인정한다.이후의 텍스트는 Krull-Schmidt (Hungerford의 대수)와 Krull-Schmidt-Azumaya (Curtis-Reiner)라는 제목을 사용한다.크롤-슈미트라는 이름은 현재 최대 크기의 직접 생산물의 고유성에 관한 어떤 정리도 대체하고 있다.어떤 저자들은 그의 기여를 기리기 위해 최대 규모의 리맥 분해의 직접적인 분해를 선택한다.

참고 항목

크룰-슈미트 범주

참조

^ Thomas W. Hungerford (6 December 2012). Algebra. Springer Science & Business Media. p. 83. ISBN 978-1-4612-6101-8.
^ 헝거포드 2012, 페이지 86-8.
^ Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. Vol. 2 (2nd ed.). Dover. p. 115. ISBN 978-0-486-47187-7.
^ Facchini, Alberto; Herbera, Dolors; Levy, Lawrence S.; Vámos, Peter (1 December 1995). "Krull-Schmidt fails for Artinian modules". Proceedings of the American Mathematical Society. 123 (12): 3587. doi:10.1090/S0002-9939-1995-1277109-4.

추가 읽기

A. 파치니: 모듈 이론. 일부 모듈 클래스의 내형성 링과 직접적인 총량 분해.수학의 진보, 167. Birkhauser Verlag, 1998.ISBN 3-7643-5908-0
C.M. 링겔: 크롤-리맥-슈미트는 아르티니아 모듈에서 지역 링을 통과하지 못한다.알제브르.대표하다.이론 4(2001), 1번, 77–86.

외부 링크

PlanetMath 페이지

[Hungerford2012-1] Thomas W. Hungerford (6 December 2012). Algebra. Springer Science & Business Media. p. 83. ISBN 978-1-4612-6101-8.

[2] 헝거포드 2012, 페이지 86-8.

[3] Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. Vol. 2 (2nd ed.). Dover. p. 115. ISBN 978-0-486-47187-7.

[4] Facchini, Alberto; Herbera, Dolors; Levy, Lawrence S.; Vámos, Peter (1 December 1995). "Krull-Schmidt fails for Artinian modules". Proceedings of the American Mathematical Society. 123 (12): 3587. doi:10.1090/S0002-9939-1995-1277109-4.

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