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볼록곡선

Convex curve
Convex 함수와 혼동하지 않도록 합니다.
볼록 곡선(검은색)은 볼록 집합(파란색) 경계의 연결된 부분 집합을 형성하고 각 점을 통과하는 지지선(빨간색)을 갖습니다.
포물선, 볼록 함수 ( = x x) = x의 그래프인 볼록 곡선

기하학에서 볼록 곡선(convex curve)은 각 점을 통과하는 지지선을 갖는 평면 곡선입니다.아르키메데스로 거슬러 올라가는, 이 곡선들에 대한 많은 동등한 정의들이 있습니다.볼록 곡선의 예로는 볼록 다각형, 볼록 집합의 경계, 볼록 함수의 그래프 등이 있습니다.볼록 곡선의 중요한 하위 클래스에는 닫힌 볼록 곡선(유계 볼록 집합의 경계), 볼록한 매끄러운 곡선 및 엄격한 볼록 곡선이 있으며, 이들은 각 지지선이 곡선의 고유한 점을 통과하는 추가적인 특성을 갖습니다.

유계 볼록 곡선은 잘 정의된 길이를 가지며, 다각형으로 근사하거나 투영의 평균 길이를 선에 적용하여 얻을 수 있습니다.단일 곡선에 속할 수 있는 격자점의 최대 수는 곡선의 길이에 따라 제어됩니다.볼록 곡선이 고유한 지지선을 갖는 점은 곡선 내에서 밀도가 높고, 이 선들의 원점으로부터의 거리는 연속 지지 함수를 정의합니다.매끄러운 단순 폐곡선은 곡률이 일관된 부호를 갖는 경우에만 볼록하며, 이 부호는 곡률의 총 곡률이 절대 곡률의 총합과 같은 경우에만 발생합니다.

정의들

아르키메데스는 그의 "구와 원기둥"에서 볼록호를 두 개의 끝점을 통해 선의 한 면에 놓여 있고 모든 화음이 곡선의 같은 면에 닿아 있는 평면 곡선으로 정의합니다.[1]비록 볼록 다각형과 볼록 다면체가 아르키메데스 이전에 이미 오래 전에 알려져 있었지만, 이것은 볼록성의 개념에 대한 최초의 공식적인 정의였을지도 모릅니다.[2]다음 2천년 동안 볼록성에 대한 연구는 거의 없었습니다.[2] 오거스틴-루이 코시와 다른 사람들이 미적분학을 더 엄격한 기반 위에 두기 위해 대수적 방법 대신 수학적 분석을 사용하기 시작한 [3]19세기에서야 그것의 심층적인 연구가 다시 시작되었습니다.[1][2]

아래에서 자세히 설명하는 것처럼 볼록 곡선에 대한 다른 많은 동등한 정의가 가능합니다.또한 볼록 곡선은 지지선, 경계를 형성하는 집합 및 선과의 교차점에 의해 정의되었습니다.닫힌 볼록 곡선과 닫히지 않은 곡선을 구분하기 위해 닫힌 볼록 곡선을 볼록 루프라고 부르기도 하고, 닫히지 않은 볼록 곡선을 볼록 호라고 부르기도 합니다.[4]

배경개념

평면 곡선은 구간에서 유클리드 평면까지의 연속 함수의 이미지입니다.직관적으로, 그것은 움직이는 점에 의해 추적될 수 있는 점들의 집합입니다.보다 구체적으로, 매끄러운 곡선은 일반적으로 적어도 구간에서 평면까지의 함수가 연속적으로 미분 가능해야 하며, 어떤 맥락에서는 더 높은 도함수를 요구하도록 정의됩니다.매끄러운 곡선을 매개변수화하는 함수는 종종 규칙적이라고 가정되는데, 이는 그 도함수가 0에서 멀어짐을 의미합니다. 직관적으로 이동점이 정지하거나 방향을 반전하지 않습니다.매끄러운 곡선의 각 내부 점에는 접선이 있습니다.또한 모든 곳에 이계도함수가 존재하는 경우, 이들 각 점은 잘 정의된 곡률을 갖습니다.[5]

구간의 두 끝점이 평면의 동일한 점에 매핑되면 평면 곡선이 닫히고, 다른 두 점이 일치하지 않으면 단순합니다.[5]덜 일반적으로 단순한 평면 곡선은 종단점이 없거나 끝점에 속하지 않는 한계점을 형성하지 않고 평면을 두 개의 경계가 없는 영역으로 나누는 선과 위상적으로 동일한 경우 열린 곡선이라고 할 수 있습니다.[6]그러나 다른 출처에서는 두 개의 서로 다른 끝점이 있는 곡선을 열린 곡선이라고 부르기 때문에 이 용어는 모호합니다.[7]여기서는 열린 곡선이라는 위상선적 의미를 사용합니다.

지지선

지지선은 곡선의 한 점 이상을 포함하는 선으로, 곡선이 선으로 경계를 이루는 두 개의 반평면 중 하나에 포함됩니다.평면 곡선이 각 점을 통과하는 지지선을 가질 경우 볼록하다고 합니다.[8][9]예를 들어, 볼록 함수의 그래프는 그래프 아래에 각각의 점을 통과하는 지지선을 가지고 있습니다.함수에 도함수가 있는 점에는 정확히 하나의 지지선, 즉 접선이 있습니다.[10]

지지선과 접선은 같지 않지만 볼록 곡선의 경우 모든 접선이 지지선입니다.[11][8]접선이 존재하는 곡선의 한 점에는 접선이라는 하나의 지지선만 있을 수 있습니다.[12]따라서 매끄러운 곡선이 각 접선의 한 쪽에 있으면 볼록합니다.이것은 부드러운 곡선에 대한 볼록도의 동등한 정의로 사용될 수도 있고, 일반적으로 조각별 부드러운 곡선에 사용될 수도 있습니다.[13][a]

볼록 집합의 경계

볼록 곡선은 유클리드 평면에서 볼록 집합의 경계의 연결된 부분 집합으로 정의될 수 있습니다.[8][9]모든 볼록 집합에 연결된 경계가 있는 것은 아니지만,[b] 연결된 경계가 있는 경우에는 전체 경계가 볼록 곡선의 예가 됩니다.평면에 있는 유계 볼록 집합이 선분이 아닌 경우 경계는 단순 닫힌 볼록 곡선을 형성합니다.[16]요르단 곡선 정리에 의해 단순 폐곡선은 평면을 내부 영역과 외부 영역으로 나누고, 폐곡선의 또 다른 동등한 정의는 내부와 결합이 볼록 집합인 단순 폐곡선이라는 것입니다.[9][17]열린 볼록 곡선과 무한한 볼록 곡선의 예로는 볼록 함수의 그래프가 있습니다.다시 말하지만, 이것들은 볼록 집합의 경계, 같은 함수의 비문입니다.[18]

이 정의는 지지선에서 나오는 볼록한 곡선의 정의와 동일합니다.각 점을 통과하는 지지선을 갖는 곡선으로 정의되는 모든 볼록 곡선은 자신의 볼록 선체 경계의 부분 집합입니다.볼록 집합 경계의 모든 연결된 부분 집합은 각 점을 통과하는 지지선을 갖습니다.[8][9][19]

선과 교차

선과 볼록 곡선(여기서는 오각형)의 교차점 네 개, 상하: 빈 집합, 한 점, 두 점, 간격.

볼록 곡선의 경우 평면의 모든 선이 곡선과 교차하는 네 가지 방법 중 하나입니다. 교차점은 빈 집합, 단일 점, 점 쌍 또는 구간일 수 있습니다.폐곡선이 단일 점 또는 구간에서 교차하는 경우 선은 지지 선이 됩니다.이것은 볼록 곡선의 대안적인 정의로 사용될 수 있습니다. 즉, 선이 있는 모든 교차점이 다음 네 가지 유형 중 하나를 가지는 요르단 곡선(연결된 단순 곡선)입니다.이 정의는 유클리드 평면에서 볼록 곡선을 실제 투영 평면과 같은 특정 다른 선형 공간으로 일반화하는 데 사용할 수 있습니다.유클리드 평면과 같은 이러한 공간에서는 이러한 제한선 교차만 있는 곡선은 각 점에 대해 지지선을 가집니다.[20]

엄밀한 볼록성

엄밀하게 볼록한 곡선들은 다시 많은 동등한 정의들을 갖습니다.이 곡선은 선분을 포함하지 않는 볼록한 곡선입니다.[21]이 곡선은 곡선의 모든 교차점이 최대 두 점으로 구성되는 곡선입니다.[20]이 곡선은 엄밀하게 볼록한 집합의 경계의 연결된 부분 집합으로 형성될 수 있는 곡선입니다.[22]여기서, 집합의 경계의 모든 점이 집합의 극한점일 경우, 집합은 엄밀하게 볼록하며, 일부 선형 함수의 고유 최대화기입니다.[23]엄밀하게 볼록한 집합의 경계로서, 이 곡선들은 볼록한 위치에 놓여 있으며, 이는 점들 중 어떤 것도 점들의 다른 부분집합의 볼록한 조합이 될 수 없음을 의미합니다.[24]

닫힌 완전 볼록 곡선은 (적절한 좌표 변환 하에서) 완전 볼록 함수의 그래프와 국소적으로 동등한 단순한 닫힌 곡선으로 정의할 수 있습니다.이는 곡선의 각 점에 점들의 이웃이 있고 그 이웃 내에서 곡선이 엄밀하게 볼록한 함수의 그래프와 일치하는 직교 좌표계가 있음을 의미합니다.[25][c]

대칭성

수평대칭축을 갖는 타원형

타원이나 모스의 달걀처럼 대칭축을 가진 매끄러운 닫힌 볼록 곡선은 때때로 타원형이라고 불립니다.[28]그러나 같은 단어는 각 점이 집합의 나머지 부분과 고유한 선이 서로소인 집합을 설명하는 데 사용되기도 합니다. 특히 유한 투영 기하학의 타원형 맥락에서 말입니다.유클리드 기하학에서 이것들은 대칭의 요구조건 없이 매끈하고 볼록한 닫힌 곡선입니다.[20]

특성.

길이 및 면적

모든 유계 볼록 곡선은 정류 가능한 곡선이며, 이는 잘 정의된 유한 호 길이를 가지고 있으며, 일련의 내접 다각형 체인에 의해 길이가 근사화될 수 있음을 의미합니다.닫힌 볼록 곡선의 경우, 길이는 Crofton 공식의 형태로 제공될 수 π {\displaystyle 배의 선에서의 투영 평균 길이입니다.또한, 내접된 볼록 다각형의 시퀀스에 의해 볼록 곡선의 볼록 선체의 면적을 근사화하는 것도 가능합니다.정수 에 대해 가장 정확한 근사 ngon은 각 정점이 두 개의 인접 정점을 통과하는 선과 평행한 지지 선을 갖는 속성을 갖습니다[29]아르키메데스가 이미 알고 있듯이 두 볼록한 곡선의 끝점이 같고 두 곡선 중 하나가 다른 곡선과 끝점을 지나는 선 사이에 있다면 내부 곡선은 외부 곡선보다 짧습니다.[2]

타원에 대한 뉴턴의 정리에 따르면, 무한히 미분 가능한 볼록 곡선에서 선으로 단절된 영역은 선의 계수의 대수적 함수가 될 수 없습니다.[30]

13개의 정수 격자점을 통과하는 매끄러운 볼록 곡선

짧고 엄밀하게 볼록한 곡선이 정수 격자의 많은 점을 통과하는 것은 불가능합니다.만약 곡선의 가 L 이라면, Vojt ěch Jarnik의 정리에 따르면 곡선이 통과할 수 있는 격자점의 수는 많아야 다음과 같습니다.

이 추정치는 큰 O 표기법을 사용하기 때문에 길이가 큰 경우에만 정확합니다.오차항의 선행 상수나 지수는 개선할 수 없습니다.[31]

지지선 및 지지기능

볼록 곡선은 여러 개의 지지선을 가지는 단수의 점들로 많아야 셀 수 있습니다.나머지 점들은 모두 비단수여야 하며, 이 점들에서 고유한 지지선은 반드시 접선이어야 합니다.이는 비단점 점들이 곡선에서 밀집된 집합을 형성함을 의미합니다.[10][32]또한 특이점이 밀집된 볼록 곡선을 구성할 수도 있습니다.[19]

닫힌 엄밀한 볼록 폐곡선은 연속적인 지지 함수를 가지며, 지지선의 각 방향을 원점에서 부호가 있는 거리로 매핑합니다.고슴도치의 한 예로, 연속적인 지지 함수를 가지는 선들의 포락선으로 결정되는 곡선의 한 종류입니다.고슴도치는 아스트로이드와 같은 볼록하지 않은 곡선과 심지어 자기 교차하는 곡선도 포함하지만 매끈하고 볼록한 곡선은 특이한 점이 없는 유일한 고슴도치입니다.[33]

볼록한 곡선이 세 개의 평행한 접선을 갖는 것은 불가능합니다.더 강력하게 말하면, 매끄러운 폐곡선은 세 개의 평행 접선이 없는 경우에만 볼록합니다.한 방향에서는 세 개의 평행 접선의 중간이 다른 두 선의 접선 점을 분리하므로 지지선이 될 수 없습니다.접선점을 통해 다른 지지선이 있을 수 없으므로 이 세 선에 접하는 곡선은 볼록하지 않습니다.다른 방향에서는 볼록하지 않은 부드러운 폐곡선에 지지선이 없는 점이 하나 이상 있습니다.해당 점을 통과하는 접선과 그에 평행한 두 접선은 세 개의 평행 접선을 형성합니다.[13][d]

만곡

타원(빨간색)과 타원(파란색), 곡률 중심의 위치입니다.타원의 네 개의 표시된 꼭짓점은 에볼루엣의 네 개의 꼭짓점에 해당합니다.

4절점 정리에 따르면, 매끄러운 폐곡선은 적어도 4개의 정점, 국소 최소점 또는 국소 최대 곡률을 갖는 점을 갖습니다.[36]1909년 Syamadas Mukhopadhyaya가 만든 이 정리의 원래 증명은 볼록한 곡선만을 고려했습니다. 나중에 모든 매끄러운 닫힌 곡선으로 확장되었습니다.[37][36]

곡률은 볼록한 부드러운 닫힌 곡선을 특성화하는 데 사용할 수 있습니다.[13]곡선의 매개 변수화에 따라 곡률이 조금씩 달라지는데, 곡선의 매개 변수화가 반대로 바뀌면 동일한 점 집합이 생성되지만 곡률은 음수가 됩니다.[5]매끄러운 단순 폐곡선은 규칙적인 매개변수화와 함께 곡률이 일관된 부호를 갖는 경우에만 볼록합니다. 항상 음수가 아니거나 항상 양수가 아닙니다.[13][e]곡률이 엄격하게 양(또는 엄격하게 음)인 매끄러운 단순 폐곡선은 모두 엄격하게 볼록하지만, 일부 엄격하게 볼록한 곡선은 곡률이 0인 점을 가질 수 있습니다.[39]

매끄러운 볼록 곡선의 전체 절대 곡률,

는 최대 π 입니다 닫힌 볼록 곡선의 경우 정확히 π 이며, 이 곡선들의 총 곡률과 동일합니다.볼록 곡선의 경우, 총 절대 곡률과 총 곡률의 동일성은 곡률이 일관된 부호를 갖는 것에 따라 달라집니다.볼록하지 않은 닫힌 곡선의 경우, 총 절대 곡률은 2 π{\ 2보다 크며 그 초과는 곡선이 볼록한 거리를 측정하는 데 사용할 수 있습니다.보다 일반적으로, 펜첼의 정리에 의해, 닫힌 매끄러운 공간 곡선의 총 절대 곡률은 최소 2 π 이며,볼록 평면 곡선에 대해서만 동일합니다.

알렉산드로프 정리에 의해, 매끄럽지 않은 볼록 곡선은 거의 모든 곳에서 2차 도함수를 가지며, 따라서 잘 정의된 곡률을 갖습니다.이는 2차 도함수가 없는 점의 부분 집합이 곡선에서 측정값이 0임을 의미합니다.그러나 다른 의미에서 이계도함수를 갖는 점들의 집합은 작을 수 있습니다.특히, 일반적인 매끄럽지 않은 볼록 함수의 그래프의 경우, 그것은 빈약한 집합, 즉, 아무데도 조밀하지 않은 집합들의 셀 수 있는 결합입니다.[42]

내접다각형

볼록 다각형의 경계는 볼록 곡선(조각별 선형 곡선이며 엄밀하게 볼록하지 않은 곡선)을 형성합니다.꼭짓점이 곡선을 따라 순서대로 있는 엄격하게 볼록한 곡선에 새겨진 다각형은 볼록한 다각형이어야 합니다.[43]

내접 사각형 문제는 평면의 모든 단순 폐곡선이 사각형의 네 모서리를 포함한다는 것을 증명하는 문제입니다.일반적으로 아직 해결되지 않았지만, 해결된 사례에는 볼록한 곡선이 포함됩니다.[44]이 문제와 관련하여 볼록곡선에 대해 내접사사각형을 찾는 관련 문제들이 연구되어 왔습니다.직사각형 또는 사다리꼴의 축소되고 회전된 복사본은 주어진 닫힌 볼록 곡선에 새겨질 수 있습니다.곡선이 매끄러운 경우, 임의의 순환 사각형의 축척 및 회전 사본을 곡선에 새겨 넣을 수 있습니다.그러나 이 결과를 위해서는 매끄러움의 가정이 필요한데, 일부 오른쪽 연은 둔각 이등변 삼각형에 새겨질 수 없기 때문입니다.[45][46]반원형으로 이루어진 곡선과 그 지름이 이러한 다각형을 포함하지 않기 때문에, 4개 이상의 변을 가진 일반 다각형은 모든 닫힌 볼록 곡선에 내접할 수 없습니다.[47]

참고 항목

메모들

  1. ^ 접선을 사용하여 볼록 곡선을 정의할 때 평활도를 가정해야 합니다.수직 접선이나 단변 접선도 없는 연속 함수의 그래프와 프랙탈 곡선이 있습니다.[14]이러한 곡선의 경우 각 접선의 한 면에 놓여 있지만 볼록하지는 않습니다.
  2. ^ 두 평행선 사이의 영역인 슬래브의 경우 경계는 두 정의선입니다.[15]
  3. ^ 많은 나선형은 국소적으로 볼록하지만 닫힌 곡선을 형성하지는 않습니다.[9][26]비볼록 다각형은 부분 선형 볼록 함수의 그래프와 국소적으로 동일한 닫힌 곡선이지만 이러한 함수는 엄밀하게 볼록하지 않습니다.[27]
  4. ^ 세 개의 평행 접선이 없지만 볼록하지 않은 매끄러운 열린 곡선이 있습니다. 임의의 입방정 다항식의 그래프가 한 예입니다.함수의 그래프에서 임의의 접선의 기울기는 해당 점에서 함수의 도함수이고,[34] 입방체의 도함수는 2차 다항식이므로 주어진 기울기를 최대 두 번 생성합니다.[35]
  5. ^ 장미 곡선과 같은 단순하지 않은 폐곡선에도 일관되게 부호가 있는 곡선이 있습니다.[38]

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