선형공간(지오메트리)

선형 공간은 발생 기하학에서 기본적인 구조다.선형 공간은 점이라고 불리는 원소의 집합과 선이라고 불리는 원소의 집합으로 구성된다.각 선은 점의 뚜렷한 부분집합이다.줄에 있는 점들은 줄과 같은 것이라고 한다.어떤 두 선이라도 공통점이 1점 이하일 수 있다.직관적으로 이 규칙은 두 직선이 한 번 이상 교차하지 않는 속성으로 시각화할 수 있다.

선형 공간은 투사 평면과 아핀 평면의 일반화로 볼 수 있으며, 보다 광범위하게는 2- (${\displaystyle v}$,${\displaystyle k}$ ,${\displaystyle 1}$ ) ${\디스플레이$ 스타일$(v,k,$1$$) 블록 설계의 경우 모든 블록에 동일한 수의 점이 포함되어야 한다는 요건이 삭제되며, 필수적인 구조적 특성은 2개의 점이 정확히 1개의 선과 충돌한다는 것이다.

선형 공간이라는 용어는 1964년 폴 리보이스에 의해 만들어졌지만 선형 공간에 대한 많은 결과들은 훨씬 더 오래되었다.

정의

Let L = (P, G, I)은 발생 구조로, 이 경우 P의 원소를 점이라고 하고 G의 원소를 선이라고 한다.L은 다음과 같은 세 개의 공리가 유지되는 경우 선형 공간이다.

• (L1) 두 개의 구별되는 점은 정확히 하나의 선으로 입사한다.
• (L2) 모든 선은 적어도 두 개의 구별되는 점에 해당된다.
• (L3) L은 적어도 두 개의 구별되는 선을 포함한다.

선형공백을 정의할 때 일부 저자는 L3을 삭제한다.그러한 상황에서 (L3)을 준수하는 선형 공간은 비교 대상이 아니며 사소한 것으로 간주되지 않는 것으로 간주된다.

예

점과 선이 있는 일반 유클리드 평면은 선형 공간을 구성하며, 더욱이 모든 부속 공간과 투영 공간도 선형 공간이다.

아래 표는 5개의 점으로 가능한 모든 비선형 선형 공간을 보여준다.어떤 두 점이라도 항상 하나의 선과 우연히 마주치기 때문에, 관습에 의해 두 점만 부딪히는 선은 그려지지 않는다.사소한 사건은 단순히 5점을 통과하는 선이다.

첫 번째 그림에서는 10쌍의 점을 연결하는 10개의 선이 그려지지 않는다.두 번째 그림에서는 7쌍의 점을 연결하는 7개의 선이 그려지지 않는다.

열 줄	8줄	6행	5행

n - 1 포인트와 충돌하는 선을 포함하는 n 포인트의 선형 공간을 근연필이라고 한다.(연필 참조)

연필에 10점 가까이

특성.

The De Bruijn–Erdős theorem shows that in any finite linear space ${\displaystyle S=({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},{\textbf {I}})}$ which is not a single point or a single line, we have ${\displaystyle {\mathcal {P}} \leq {\mathcal {L}} }$.

참고 항목

• 블록 설계
• 파노 평면
• 투영 공간
• 아핀 공간
• 분자 기하학
• 부분 선형공간

참조

• Shult, Ernest E. (2011), Points and Lines, Universitext, Springer, doi:10.1007/978-3-642-15627-4, ISBN 978-3-642-15626-7.

• 알브레히트 보텔스파허: 다이엔드 에인후룽의 기하학 2세.서지학연구소, 1983, ISBN 3-411-01648-5, 페이지 159(독일어)
• J. H. 반 린트, R. M. 윌슨: 콤비네토릭스의 코스.케임브리지 대학교 출판부, 1992년 ISBN 0-521-42260-4. 페이지 188
• L. M. Batten, Albrecht Beutelspacher:유한 선형 공간의 이론.1992년 케임브리지 대학 출판부