호프스타터 포인트

Hofstadter points

삼각형 기하학에서 호프스타터 점은 모든 평면 삼각형과 연관된 특별한 점이다. 사실 삼각형과 관련된 호프스태터 점들이 몇 개 있다. 모두 삼각 중심이다. 그중 호프스타터 제로포인트와 호프스타터 원포인트 두 개가 특히 흥미롭다.[1] 그들은 두 개의 초월적인 삼각형 중심이다. 호프스타터 제로포인트는 X(360)로 지정된 중심지, 호프스타드후 원포인트는 클라크 킴벌링의 삼각중심백과사전 수록 X(359)로 표시된 중심지다. 호프스타터 제로 지점은 1992년 더글러스 호프스타터에 의해 발견되었다.[1]

호프스타터 삼각형

HofstadterPoint.svg

ABC를 주어진 삼각형이 되게 하라. 긍정적인 진짜 상수가 되도록 하자.

선 세그먼트 BC를 A를 향한 각도 rB를 통해 B에 대하여 회전시키고 L을BC 이 선 세그먼트를 포함하는 선으로 두십시오. 다음으로 A를 향한 각도 rC를 통해 선 세그먼트 BC를 C에 대하여 회전시킨다. L'BC은 이 선 세그먼트를 포함하는 선입니다. L과BC L'BC 라인이 A(r)에서 교차하도록 한다. 비슷한 방법으로 B(r)와 C(r)가 생성된다. 정점이 A(r), B(r), C(r)인 삼각형은 ABC 삼각형의 호프스태터 r-삼각형(또는 r-호프스태터 삼각형)이다.[2][1]

특수 케이스

호프스타터 삼각형 정점의 트리린 좌표

호프스태터 r-삼각형의 정점의 3행 좌표는 다음과 같다.

A(r) = ( 1, sin rB / sin (1 - r)B , sin rC / sin (1 - r)C )
B(r) = (죄 rA / 죄(1 - r)A , 1, 죄 rC / 죄(1 - r)C )
C(r) = (sin rA / sin (1 - r)A , sin (1 - r)B / sin rB , 1 )

호프스타터 포인트

다양한 호프스타터 포인트를 보여주는 애니메이션. H는0 호프스타터 제로 포인트다. H는1 호프스태터 원포인트다. 삼각형의 중앙에 있는 작은 붉은 호는 호프슈타터 r 포인트의 위치로서 0 < r < 1>이다. 이 지점은 삼각형의 인센티브 1을 통과한다.

양의 실제 상수 r > 0의 경우 A(r) B(r) C(r)를 삼각형 ABC의 호프스태터 r-삼각형이 되도록 한다. 그러면 AA(r), BB(r), CC(r) 라인이 동시에 된다.[3] 동시성의 지점은 ABC 삼각형의 호프스트더 r-점이다.

호프슈타터 r지점의 트리린 좌표

호프스태터 r포인트의 3행 좌표는 다음과 같다.

(sin rA / sin (A - rA) , sin rB / sin (B - rB ) , sin rC / sin (C - rC) )

호프스태터 0점 1점

이 점들의 삼선 좌표는 호프스트데터 r 포인트의 삼선 좌표 식에 r 값 0과 1을 꽂으면 얻을 수 없다.

호프스태터 제로포인트는 r이 0에 가까워질 때 호프스태터 r포인트의 한계다.
호프스태터 원포인트는 r이 1에 가까워질수록 호프스태터 r포인트의 한계다.

호프스타터 제로 포인트의 트리린 좌표

= lim (sin rA / sin (A - rA) , sin rB / sin (B - rB ) , sin rC / sin (C - rC) ) )
= lim (sin rA / r sin (A - rA) , sin rB / r sin (B - rB ) , sin rC / r sin (C - rC) )
= 임(A sin rA / rA sin (A - rA) , B sin rB / rB sin (B - rB ) , C sin rC / rC sin (C - rC) )
= ( A / sin A , B / sin B , C / sin C )), im sin rA / rA = 1 등.
= ( A / a, B / b, C / c )

호프스타터 원포인트의 트리린 좌표

= lim (sin rA / sin (A - rA) , sin rB / sin (B - rB ) , sin rC / sin (C - rC) ) )
= 임 ( ( 1 - r ) sin rA / sin (A - rA) , ( 1 - r ) sin rB / sin (B - rB ) , ( 1 - r )sin rC / sin (C - rC) )
= lim ( ( 1 - r ) A sin rA / A sin (A - rA) , ( 1 - r ) B sin rB / B sin (B - rB ) , ( 1 - r ) C sin rC / C sin (C - rC) )
= (죄 A / A, 죄 B / B, 죄 C / )는 림 ( 1 - r ) A / 죄 ( A - rA ) = 1 등.
= ( ( A, b / B, C )

참조

  1. ^ a b c Kimberling, Clark. "Hofstadter points". Retrieved 11 May 2012.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Hofstadter Triangle". MathWorld--A Wolfram Web Resource. Retrieved 11 May 2012.
  3. ^ C. Kimberling (1994). "Hofstadter points". Nieuw Archief voor Wiskunde. 12: 109–114.