등측점

Isoperimetric point
Isoperimetric point.svg

기하학에서 등측점(Isoperimetric point)은 평면 삼각형과 연관된 특수점이다. 이 용어는 원래 G.R. Veldkamp가 1985년 American Mathematical Monthly에서 발행한 논문에서 삼각형 PBC, PCA, PAB가 이소미터(Isopermeter)를[1][2] 갖는 삼각형 ABC 평면의 점 P를 나타내기 위해 도입되었다.

PB + BC + CP = PC + CA + AP = PA + AB + BP.

Veldkamp의 의미에서의 등측점 점수는 특정 조건을 만족하는 삼각형에만 존재한다. 벨드캄프(Veldkamp)의 의미에서 삼각형 ABC의 등측점에는 다음과 같은 삼선 좌표가 있다.[3]

(A/2 ) cos (B/2 ) cos (C/2 ) - 1 , sec (B/2 ) cos (A/2 ) cos (A/2 ) - 1 초 (C/2) cos (A/2 ) cos (B/2 ) - 1 )

어떤 삼각형 ABC도 위에 주어진 좌표를 삼선 좌표를 가진 점 P를 그것과 연관시킬 수 있다. 이 점은 삼각형 중심이며 클라크 킴벌링의 삼각형 중심(ETC)에서는 ABC 삼각형의 등측점(Isoperimetric Point)이라고 불린다. 삼각 중심 X(175)로 지정되어 있다.[4] X(175점)는 벨드캄프의 의미에서 삼각형 ABC의 등측점일 필요는 없다. 단, 벨드캄프의 의미에서 삼각형 ABC의 등측점(Isoperimetric point)이 존재한다면, X(175) 지점과 동일할 것이다.

삼각형 PBC, PCA, PAB가 동일한 경계선을 갖는 특성을 가진 P 지점은 1890년 에밀 레모인 기사에서 연구되었다.[4][5]

Veldkamp의 의미에서의 등측점 존재

삼각형 중심 X(175)가 Veldkamp의 의미에서 등측점이 아닌 삼각형 ABC.

ABC를 어떤 삼각형이라도 되게 하라. 이 삼각형의 옆길이는 a, b, c가 되도록 하라. 그 회음부는 R이고 인반도는 R이다. Veldkamp의 의미에서 등측점 존재에 필요한 충분한 조건을 다음과 같이 나타낼 수 있다.[1]

ABC 삼각형은 + b + c > 4R + r일 경우에만 Veldkamp의 의미에서 등측점을 가진다.

모든 급각 삼각형 ABC에 대해 우리는 + b + c > 4R + r을 가지고 있고, 그래서 모든 급각 삼각형은 Veldkamp의 의미에서 등각점을 가지고 있다.

특성.

P는 삼각형 ABC의 삼각형 중심 X(175)를 나타낸다.[4]

  • P는 ABC 삼각형의 Gergonne 지점과 인센티브를 연결하는 선에 놓여 있다.
  • P가 Veldkamp의 의미에서 삼각형 ABC의 등측점이라면, 삼각형 PBC, PCA, PAB의 외관은 쌍방향으로 접하고 P는 그들의 급진적인 중심이다.
  • If P is an isoperimetric point of triangle ABC in the sense of Veldkamp, then the perimeters of triangles PBC, PCA, PAB are equal to 2 Δ / ( 4R + r - ( a + b + c) ) where Δ is the area, R is the circumradius, r is the inradius, and a, b, c are the sidelengths of triangle ABC.[6]

소디 서클

내측과 외측 소디는 바깥쪽 소디 지점이 벨드캄프의 의미에서 등측점인 경우 원을 그린다.
내측과 외측 소디는 바깥쪽 소디 지점이 벨드캄프의 의미에서 등측 지점이 아닌 경우에 원을 그린다.

삼각형 ABC가 주어진다면 A, B, C의 중심을 가진 삼각형 ABC 평면에 외부적으로 서로 접하는 원형을 그릴 수 있다. 일반적으로 A, B, C를 중심으로 3개의 원과 각각 접하는 형태로 2개의 원을 새로 그릴 수 있다.(원 중 1개가 직선으로 전락할 수 있다) 이 원들은 ABC 삼각형의 소디 원이다. 반지름이 작은 원은 안쪽 소디 원이고 그 중심은 안쪽 소디 포인트 또는 삼각형 ABC의 안쪽 소디 중심이라고 불린다. 반지름이 더 큰 원은 바깥쪽 소디 원이고 그 중심은 바깥쪽 소디 지점 또는 삼각형 ABC의 바깥쪽 소디 중심이라고 불린다. [6][7]

킴벌링의 의미에서의 등측점인 삼각 중심 X(175)는 삼각형 ABC의 바깥쪽 소디 지점이다.

참조

  1. ^ a b G. R. Veldkamp (1985). "The isoperimetric point and the point(s) of equal detour". Amer. Math. Monthly. 92 (8): 546–558. doi:10.2307/2323159. JSTOR 2323159.
  2. ^ Hajja, Mowaffaq; Yff, Peter (2007). "The isoperimetric point and the point(s) of equal detour in a triangle". Journal of Geometry. 87 (1–2): 76–82. doi:10.1007/s00022-007-1906-y. S2CID 122898960.
  3. ^ Kimberling, Clark. "Isoperimetric Point and Equal Detour Point". Retrieved 27 May 2012.
  4. ^ a b c Kimberling, Clark. "X(175) Isoperimetric Point". Archived from the original on 19 April 2012. Retrieved 27 May 2012.
  5. ^ 에밀 르모인이 쓴 글은 갈리카에서 열람할 수 있다. 논문은 111페이지에서 시작되며, 그 요점은 126페이지에서 논의된다.갈리카
  6. ^ a b Nikolaos Dergiades (2007). "The Soddy Circles" (PDF). Forum Geometricorum. 7: 191–197. Retrieved 29 May 2012.
  7. ^ "Soddy Circles". Retrieved 29 May 2012.

외부 링크