적절한 동등성 관계

수학의 한 분야인 대수 기하학에서, 적절한 동등성 관계는 그러한 주기들의 잘 작동하는 이론을 얻기 위해 사용되는 부드러운 투영 다양성의 대수적 주기, 특히 잘 정의된 교차점 생산물에 대한 동등성 관계다.피에르 사무엘은 1958년에 적절한 동등성 관계의 개념을 공식화했다.^[1]그 이후로 그것은 동기 이론의 중심이 되었다.모든 적절한 동등성 관계에 대해, 그 관계에 관한 순수한 동기의 범주를 정의할 수 있다.

가능한 (그리고 유용한) 적절한 동등성 관계에는 합리적, 대수적, 동질적 및 수치적 동등성이 포함된다.등가관계로 나누면 펑터럴(functorial), 즉 푸시 포워드(codimension의 변화로)와 사이클의 풀백(pull-back of cycles)이 잘 정의되어 있기 때문에 이들을 "적정하다"라고 부른다.코디네이션 1은 모듈로 합리적 등가성이 고전적인 칸막이 집단을 형성한다.모든 사이클은 차우 링에서 합리적인 등가성을 형성한다.

정의

Z^*(X) :=Z[X]를 X의 대수 주기에 자유 아벨리안 그룹으로 한다.그 다음 적절한 동등성 관계는 Z(X^*)에 대한 동등성 관계 계열로,_X 매끄러운 투영성 품종 X에 각각 하나씩, 다음 세 가지 조건을 만족한다.

(선형성)동등성 관계는 주기의 추가와 호환된다.
(부명제 이동)만약 X에서 α,β∈ Z∗(X){\displaystyle \alpha ,\beta \in Z^{*}(X)}은 사이클, 그렇다면 주기 α′∈ Z∗(X){\displaystyle \alpha '\in Z^{*}(X)}가 α{\displaystyle \alpha}~X α′{\displaystyle \alpha의}과{β ′{\displaystyle \alpha의}intersects α 존재한다.) $올바르게$ 표시 스타일 $\cHB }.$
(Push-forwards) Let $\alpha \in Z^{*}(X)$ and $\beta \in Z^{*}(X\times Y)$ be cycles such that $\beta$ intersects $\alpha \times Y$ properly.If $\alpha$ ~_X 0, then $(\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))$ ~_Y 0, where $\pi _{Y}:X\times Y\to Y$ is the projection.

마지막 공리의 푸시-포워드 사이클은 종종 표시된다.

\beta(\alpha ):=(\pi _{Y}_{*}(\beta \cdot(\alpha \time Y))

$\beta$ $\beta$ 이(가) 함수의 그래프인 $\beta$ 경우 함수의 푸시 포워드(push-forward)로 감소한다.X에서 Y까지의 함수에서 X × Y의 사이클까지의 일반화를 대응이라고 한다.마지막 공리는 우리가 통신으로 사이클을 앞당길 수 있게 해준다.

동등성 관계의 예

가장 강한 것부터 약한 것까지의 가장 일반적인 동등성 관계는 다음 표에 모아진다.

	정의	언급
이성적 등가성	Z _rat~ Z'는 P 위에¹ X × P 플랫에¹ 사이클 V가 있는 경우, [V ∩ X × {0}] - [V ∩ X × { {}] = [Z] - [Z' ]	가장 미세한 적절한 동등성 관계(Yves André's book의^[2] Leema 3.2.2.1) "영역"은 주기-이론적 의미에서의 교차점(즉, 승수가 있는)을 의미하며 [ydrak는 하위 체임과 연관된 주기를 의미한다.참고 항목: 차우 링
대수적 등가성	Z _alg~ Z′ C 위에 X × C 평면에 커브 C와 사이클 V가 있는 경우, 즉 [V × X × {c}] - [V × X × {d}] = [Z] - [Z' ]가 커브에 있는 두 지점 c와 d에 대해.	그리피스 그룹이 측정한 동질성보다 엄격히 강하다.Néron-Seberi 그룹도 참조하십시오.
스매시-나트륨 등가성	Z _sn~ Z가 X에 스매시-닐포텐트인 경우, 즉 $(Z-Z')^{\otimes n}$ ( $(Z-Z')^{\otimes n}$ - $(Z-Z')^{\otimes n}$ $(Z-Z')^{\otimes n}$ ) $(Z-Z')^{\otimes n}$ $(Z-Z')^{\otimes n}$ ${\$ n $(Z-Z')^{\otimes n}$ _rat를 X에ⁿ 0으로 한다.	1995년에 Voevodsky에 의해 소개되었다.^[3]
동질적 등가성	사이클 클래스 맵에 따른 사이클의 이미지가 일치하는 경우 주어진 Weil 코호몰로지 H, _homZ ~ Z′에 대해	표준 추측 D를 가정하지 않고 H의 선택 선험에 의존한다.
수치적 등가성	Z _num~ Z deg(Z ∩ T) = deg(Z ′ ∩ T), 여기서 T는 딤 T = 코딤 Z와 같은 사이클이다(교차는 점의 선형 결합이며 각 점의 교차로 승수를 더하여 학위를 얻는다).	가장 강력한 동등성 관계(Yves Andre's book에서^[4] 3.2.7.2 운동)

메모들

^ Samuel, Pierre (1958), "Relations d'équivalence en géométrie algébrique" (PDF), Proc. ICM, Cambridge Univ. Press: 470–487, archived from the original (PDF) on 2017-07-22, retrieved 2015-07-22
^ André, Yves (2004), Une introduction aux motifs (motifs purs, motifs mixtes, périodes), Panoramas et Synthèses, vol. 17, Paris: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, MR 2115000
^ Voevodsky, V. (1995), "A nilpotence theorem for cycles algebraically equivalent to 0", Int. Math. Res. Notices, 4: 1–12
^ André, Yves (2004), Une introduction aux motifs (motifs purs, motifs mixtes, périodes), Panoramas et Synthèses, vol. 17, Paris: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, MR 2115000

참조

Kleiman, Steven L. (1972), "Motives", in Oort, F. (ed.), Algebraic geometry, Oslo 1970 (Proc. Fifth Nordic Summer-School in Math., Oslo, 1970), Groningen: Wolters-Noordhoff, pp. 53–82, MR 0382267
Jannsen, U. (2000), "Equivalence relations on algebraic cycles", The Arithmetic and Geometry of Algebraic Cycles, NATO, 200, Kluwer Ac. Publ. Co.: 225–260

[1] Samuel, Pierre (1958), "Relations d'équivalence en géométrie algébrique" (PDF), Proc. ICM, Cambridge Univ. Press: 470–487, archived from the original (PDF) on 2017-07-22, retrieved 2015-07-22

[2] André, Yves (2004), Une introduction aux motifs (motifs purs, motifs mixtes, périodes), Panoramas et Synthèses, vol. 17, Paris: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, MR 2115000

[3] Voevodsky, V. (1995), "A nilpotence theorem for cycles algebraically equivalent to 0", Int. Math. Res. Notices, 4: 1–12

[4] André, Yves (2004), Une introduction aux motifs (motifs purs, motifs mixtes, périodes), Panoramas et Synthèses, vol. 17, Paris: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, MR 2115000

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[3]

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