t-rays

호몰로지 대수라고 불리는 수학의 가지에서 t 구조는 파생 범주의 아벨리안 하위 범주의 속성을 공리화하는 방법이다.A t-structure on ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ consists of two subcategories ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ of a triangulated category or stable infinity category which abstract the idea of complexes whose cohomology vanishes in positive, respectively nega티브, 도동일한 범주에 많은 구별되는 t-구조물이 있을 수 있으며, 이들 구조들 사이의 상호작용이 대수학과 기하학에 시사하는 바가 있다.t-구조의 개념은 비뚤어진 셰이브에 대한 베일린슨, 번스타인, 딜린, 개버의 작품에서 생겨났다.^[1]

정의

Fix a triangulated category ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ with translation functor ${\displaystyle [1]}$. A t-structure on ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ is a pair ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ of full subcategories, each of which다음의 세 가지 공리를 만족시키는 이등형성 하에서 안정적이다.

1. If X is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ and Y is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$, then ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y[-1])=0.$$}$
2. If X is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$, then X[1] is also an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$. Similarly, if Y is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$, then Y[-1] is also an object of ${\displaystyle {\mathcal$${{D}^{\geq$ 0$\}\}$ .
3. If A is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, then there exists a distinguished triangle ${\displaystyle X\to A\to Y[-1]\to X[1]}$ such that X is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ and Y is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\$$geq 0}$.

하위 범주 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\le }^{}}$ ${\$}^{\$d}^{\leq$ 0$}$과 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\ge }^{}}$ ${\displaystyle 0^{}}$ ${\$$d$}^{\$geq 0}$은(는) $D{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 확장에 따라 닫힌다는$$ 것을 알 수 있으며$,$ 특히 유한한 값이다.

Suppose that ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ is a t-structure on ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. In this case, for any integer n, we define ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$ to be the full subcategory of ${\displaystyle$${\mathcal {D}}}$ whose objects have the form ${\displaystyle X[-n]}$, where ${\displaystyle X}$ is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$. Similarly, ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$ is the full subcategory of objects ${\displaystyle Y[-n]}$,여기서 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$은(는) ${\displaystyle {\mathrm{D}}^{}}$ ${\displaystyle {\ge }^{}}$ 0 ${\$}^{\geq $0$의 개체. 더 간략하게 정의한다.

${\displaystyle {\begin{aigned}{\mathcal {D}^{\leq n}&={\mathcal {D}^{\leq 0}[-n],\\\mathcal {D}^{\geq n}={\mathcal {D}^{\geq 0}[-n].\end{정렬}}}$

이 표기법으로 위의 공리를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

1. If X is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ and Y is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$, then ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y)=0.}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}\subseteq {\mathcal {D}}^{\leq 1}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}\supseteq {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$.
3. If A is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, then there exists a distinguished triangle ${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$ such that X is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ and Y is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$.

${\displaystyle {\mathrm{t}}^{}}$ 구조물의 심장 또는 코어는 전체 하위 범주 $♡{\$$}}}{\$과 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\ge }^{}}$ ${\displaystyle 0^{}}$ ${\$D}}}}{\$mathcal$ {$D}}^{\geq$ 0$}}$에 포함된 개체로 구성된다$.$

${\displaystyle {\mathcal{D}^{\heartsuit }={\mathcal {D}^{\leq 0}\cap {\mathcal {D}^{\geq 0}}}}$

t-구조의 심장은 아벨리아 범주(삼각형 범주는 첨가물이지만 거의 아벨리아인이 아님)이며, 연장하에서도 안정적이다.

t-구조를 선택할 수 있는 삼각형 범주를 t-category라고 부르기도 한다.

변형

It is clear that, to define a t-structure, it suffices to fix integers m and n and specify ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq m}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$. Some authors define a t-structure to be the pair ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},$${\mathcal {D}^{\geq$ 1$\}\}\}.$

$D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$sub ${\$ 0$}$과 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\ge }^{}}$ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ {$D}^{\geq$ 1$}$이 서로 결정한다$$.An object X is in ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ if and only if ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)=0}$ for all objects Y in ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$, and vice versa.즉$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\le }^{}}$ ${\displaystyle 0^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{D}}^{}}$ ${\displaystyle {\ge }^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle({\mathcal {D}^{\leq$ 0$},{\mathcal {D}^{\geq$ 1$})$은 서로 좌우 직교 보완이다.따라서 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\le }^{}}$ ${\displaystyle 0^{}}$ ${\$}^{\$d}^{\leq 0}$과 D ${\displaystyle {\ge }^{}}$ 1 ${\$1. 더욱이 이러한 하위 범주는 정의에 의해 가득 차 있기 때문에 대상을 지정하기에 충분하다$.$

위의 표기법은 코호몰로지 연구에 적용되었다.동음이의학을 공부하는 것이 목표일 때는 약간 다른 표기법을 사용한다.$D{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 동질 t 구조는 쌍$({\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\le }_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$) ${\displaystyle({\mathcal {D}_{\geq$ 0$},{\mathcal {D}},{\$mathcal$}}{\leq$ 0$})$이며, 정의하면 다음과 같다.

${\displaystyle({\mathcal {D}^{\leq 0},{\mathcal {D}^{\geq 0}}}=({\mathcal {D}_{\geq 0}),}$

then ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ is a (cohomological) t-structure on ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. That is, the definition is the same except that upper indices are converted to lower indices and the roles of ${\displaystyle \geq }$ and ${\displaystyle \le }$${\displaystyle \leq }$이(가) 교환됨.우리가 정의한다면

${\displaystyle {\begin{aigned}{\mathcal {D}_{\geq n}&={\mathcal {D}_{\leq n}[n],\mathcal {D}}={\leq 0},\end{aigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

그 다음, 동역학적 t-multi에 대한 공리는 다음과 같이 명시적으로 쓰여질 수 있다.

1. If X is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq 0}}$ and Y is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq -1}}$, then ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y)=0.}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq 1}\subseteq {\mathcal {D}}_{\geq 0}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq 1}\supseteq {\mathcal {D}}_{\leq 0}}$.
3. If A is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, then there exists a distinguished triangle ${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$ such that X is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq 0}}$ and Y is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq -1}}$.

예

자연 t-구조

t 구조물의 가장 근본적인 예는 파생 범주의 자연 t 구조물이다.$A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 아벨 범주, $D{\displaystyle (A)}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A})$를 파생$$ 범주로 한다.그런 다음 자연적인 t-구조는 하위 범주 쌍에 의해 정의된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq 0}&=\{X\colon \forall i>0,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq 0}&=\{X\colon \forall i<0,\ H^{i}(X)=0\}.\end{정렬}}}$

하는 것이 바로 뒤따른다.

${\displaystyle {\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq n}&=\{X\colon \forall i>n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq n}&=\{X\colon \forall i<n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\heartsuit }&=\{X\colon \forall i\neq 0,\ H^{i}(X)=0\}\cong {\mathcal {A}}.\end{정렬}}}$

이 경우 t-구조에 대한 세 번째 공리인 특정 구분 삼각형의 존재는 다음과 같이 명시할 수 있다.$A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ ${\$이(가) $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$A}$에 값이 있는 코체인 복합체라고$$ 가정해 정의하십시오$.$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq 0}A^{\bullet }&=(\cdots \to A^{-2}\to A^{-1}\to \ker d^{0}\to 0\to 0\to \cdots ),\\\tau ^{\geq 1}A^{\bullet }&=(\cdots \to 0\to 0\to A^{0}/\ker d^{0}\to A^{1}\to A^{2}\to \cdots ).\end{정렬}}}$

$\tau {\displaystyle {}^1}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ /${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle 0^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ {\$displaystyle \tau$ \tau $^{\geq 1}A^{\bullet }=A^{\bullet }/\tau ^{\leq$ 0$}A^{\bullet }}}}}}}}}}}}}}}$의 정확한 콤플렉스 순서가 있음은$$ 분명하다.

${\displaystyle 0\to \tau ^{\leq 0}A^{\bullet }\to A^{\geq 1}A^{\bullet }\to 0.}$

이 정확한 순서는 필요한 구별 삼각형을 제공한다.

이 예는 정확한 범주로 일반화할 수 있다(^[2]퀼렌의 의미).또한 파생 범주 아래에 경계, 경계 및 경계와 유사한 t 구조물이 있다.If ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ is an abelian subcategory of ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, then the full subcategory ${\displaystyle D_{\mathcal {C}}({\mathcal {A}})}$ of ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ consisting of those complexes whose cohomology is in ${\displaystyle \mathcal{C}}$${\displaystyle {\mathcal{C}}$의 심장은 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$인 t 구조와 유사하다$.$^[3]

삐뚤삐뚤한 칼집

비뚤어진 피복의 범주는 정의에 의해, 복잡한 분석 공간 X나 (l-adic 피복과 함께 작업) 피복의 범주의 파생된 범주에 대한 소위 비뚤어진 t 구조의 핵심이다.위에서 설명한 것처럼 표준 t-구조물의 심장은 단순히 0도에 집중된 복합체로 간주되는 일반 피복만을 포함한다.예를 들어, (단수일 가능성이 있는) 대수 곡선 X(또는 유사하게 단수 표면)에 있는 비뚤어진 피복의 범주는 특히 형태의 물체를 포함하도록 설계된다.

${\displaystyle i_{*}F_{Z},j_{*}F_{U}[1]}$

where ${\displaystyle i:Z\to X}$ is the inclusion of a point, ${\displaystyle F_{Z}}$ is an ordinary sheaf, ${\displaystyle U}$ is a smooth open subscheme and ${\displaystyle F_{U}}$ is a locally constant sheaf on U. Note the presence of the shift according to the dimension of Z and U respectively이러한 변화는 비뚤어진 옷감의 범주를 단일한 공간에서 잘 보이게 한다.이 범주의 단순 개체는 수정 불가능한 로컬 시스템에 계수가 있는 하위 분리의 교차 코호몰로지 층이다.이 t 구조물은 빌린슨, 번스타인, 델린에 의해 소개되었다.^[4]${\displaystyle {Beilinson}^{}}$에 ${\displaystyle \mathrm{의해}}$ ${\displaystyle \mathrm{심장}}$ D ${\displaystyle b}$ ($$P ${\displaystyle e}$ r v${\displaystyle }$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle D^{b$}(Perv(X$))}$의 파생 범주가 사실상$$ 원래 파생된 셰이브 범주와 동등하다는 것을 보여주었다.이것은 삼각형 범주에 몇 개의 뚜렷한 t-구조가 부여될 수 있다는 일반적인 사실의 예다.^[5]

등급화된 모듈

등급이 매겨진 링 위에 있는 (등급이 매겨진) 모듈의 파생 범주에 대한 t 구조의 비표준적인 예는 그것의 심장이 복합체로 구성되는 특성을 가진다.

$\dots \to P^{n}\to P^{n+1}\to \dots }$

여기서 $P{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$은(graded) n도에 의해 생성된 모듈이다$$.기하학적 t구조라 불리는 이 t구조물은 코즐 이중성에서 두드러진 역할을 한다.^[6]

스펙트럼

스펙트럼 범주는 위의 의미에서 단일 물체, 즉 구체 스펙트럼에 의해 생성된 t-구조물로 귀속된다.범주 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\le }^{}}$ ${\$ 0$}}$은 결합 스펙트럼의 범주, 즉 음의 호모토피 그룹이 소멸하는 범주로 한다$$.(호모토피 이론과 관련된 영역에서는 공동의 규약과는 반대로 호몰로지 규약을 사용하는 것이 일반적이므로 이 경우 " " ${\displaystyleq$를 "로 대체하는 것이 일반적이다.${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle \geq }$ ".$$ 이 규약을 사용하여 표기법 S ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ge }^{}}$ ${\displaystyle 0^{}}$ ${\$을 나타내는 결합 스펙트럼 범주를 가리킨다.$$

동기

동기 이론에서 추측되는 예는 이른바 동기 t 구조다.그것의 존재는 Beilinson-Soulé 추측과 같은 대수적 주기 및 사라지는 추측에 대한 특정 표준 추측과 밀접하게 관련되어 있다.^[7]

절단 펑커

아벨리아 범주의 자연 t-구조의 위의 예에서, 세 번째 공리에 의해 보장된 구별되는 삼각형은 잘림으로써 구성되었다.As operations on the category of complexes, the truncations ${\displaystyle \tau _{\leq 0}A^{\bullet }}$ and ${\displaystyle \tau _{\geq 1}A^{\bullet }}$ are functorial, and the resulting short exact sequence of complexes is natural in ${\displaystyle A^{\bullet }}$. Using this, it can 파생된 범주에 잘림 펑커가 있고 그것들이 자연적으로 구별되는 삼각형을 유도한다는 것을 보여준다.

사실 이것은 일반적인 현상의 한 예다.t-구조물에 대한 공리는 잘리는 펑터의 존재를 가정하지 않지만, 그러한 펑터는 항상 구성될 수 있고 본질적으로 고유하다.$D{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 삼각형 범주이고 (${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}{\displaystyle {\le }^{}}$ 0, ${\displaystyle {\mathrm{D}}^{}{}^{}{\ge }^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ )${\displaystyle({\mathcal$ {$D}^{\leq 0},$ {\$mathcal$ {$D}^{\$d}^{\$geq 0})$이 t 구조라고 가정해 보자.정확한 진술은 포텐셜 펑크 난다는 것이다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\iota ^{\leq n}\colon &gt;\\leq n}\{d}\iota ^{\geq n}}\colon &{d}}}}{\mathcal {D}}}}}}에 {mathcaline}{d}}}}}.$

연임을 인정하다이것들은 펑커다.

${\displaystyle{\begin}\tau ^{\leqn}\colon &{{D}\mathcal {D}^{\leqn}}\\\tau ^{\geqn}}\mathcal {D}}\mathcal {D}}}\defined{d}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그런

${\displaystyle {\regated}\iota ^{\leq n}\iota ^{\leq n}\\tau ^{\geq n}\iota \iota ^{\geq n}.\end{정렬}}}$

또한 $D{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 모든 개체 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에$$대해 고유한 것이 있음

${\displaystyle d\in \operatorname {Hom} ^{1}(\tau ^{\geq 1}A,\tau ^{\leq 0}A)}}$

d와 부칙의 상담과 단위가 함께 구별되는 삼각형을 정의하는 것

${\displaystyle \tau^{\leq 0}A\to \to \tau \to \to \d}{\}\tau ^{\leq 0}A[1]}$

Up to unique isomorphism, this is the unique distinguished triangle of the form ${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$ with ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ objects of ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$, r예상하여$이{\displaystyle }$ 삼각형의 존재로부터 $물체{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$$$A ${\$ A$}$이(가) D$nn {\displaystyle$ {\d}^{\$leqn$}}}($$resp)에$$ 놓여 있는 것이 나타난다.${\displaystyle {\mathcal{D}}^{}}$ ${\displaystyle {\ge }^n}$ ${\$}^{{$D}^{\geq$ n$\}\}$인 경우에만, $\tau {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ge }^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}A}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \tau ^{\geq n$+1$}(A)=0$}($$resp).${\displaystyle {\tau }^{}}$ ${\displaystyle {\le }^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$(${\displaystyle }$A )${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \tau ^{\leq n-1}(A)=0}$ $$.

$\tau {\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 존재는 반대 범주를 이동 및 취함으로써 다른 잘림 장치의 존재를 암시한다$$.If ${\displaystyle A}$ is an object of ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, the third axiom for a t-structure asserts the existence of an ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ and a morphism ${\displaystyle X\to A}$ fitting into a certain distinguished triangle.For each ${\displaystyle A}$, fix one such triangle and define ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}(A)=X}$. The axioms for a t-structure imply that, for any object ${\displaystyle T}$ of ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$, we have

${\displaystyle \operatorname {Hom}(T,X)\cong \operatorname {Hom}(T,A),}$

형태론 $X{\displaystyle }$→ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle$ X$\to A}$에 의해 유도되는 이형성$.$ 이것은 $특정$한 보편적 매핑 문제에 대한 해결책으로$$ X ${\displaystyle$ X$}$을(를)보조 functors에 대한 표준 결과는 $이제{\displaystyle }$ X${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle$ X$}$이(가$)$ 고유한 이소모르퍼시즘에 따라 고유하며$$, right oint 0{\$displaystyle$ $\tau ^{\leq 0}}$을(를) 오른쪽 보조자로 정의하는 독특한 방법이 있음을 암시한다.이것은${\displaystyle {}^{}}\tau {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 0^{}}$ ${\$의 존재와$$ 그에 따라 모든 잘림 방지 장치가 존재함을 증명한다.

t-구조물에 대한 반복적인 잘림은 복합체에 대한 반복 잘림과 유사하게 작용한다.$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n\leq$ m$\}$인 경우 자연 변환이 있다.

${\displaystyle {\required}\tau ^{\leq n}&\to \tau ^{\leq m},\\tau ^{\geq n}&\to \tau ^{\geq m},\ended{aigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

자연적으로 동등하게 만들어지는 것

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq n}\circ \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\geq m}\circ \tau ^{\geq n},\\\tau ^{\geq n}\circ \tau ^{\leq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq m}\circ \tau ^{\geq n}.\end{정렬}}}$

코호몰로지 펑커스

n번째 코호몰로지 펑터 ${\displaystyle H^{}}$ n ${\$ H$^{n}}$은(는) 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle H^{n}=\tau ^{\leq 0}\circle \tau ^{\geq 0}\circ [n].}$

이름에서 알 수 있듯이, 이것은 삼각형 범주에 대한 일반적인 의미에서의 코호몰로지 펑터다.즉, 어떤 구별되는 삼각형 $X{\displaystyle }$→ Y${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Z}$→ X${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ $[\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$에 대해 우리는 긴 정확한 순서를 얻는다$.$

${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i}(Z)\to H^{i+1}(X)\cdots.}$

대수 위상에 대한 적용에서, 코호몰로지 펑터는 ${\displaystyle H^{}}$ $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ H$^{n}$이 아닌$$ ${\displaystyle {\pi n}_{}}$ ${\$로 나타낼 수 있다$.$코호몰로지 펑커스는 심장 $♡{\$ 위의 반복적인 잘림 정체성 중 하나에 의해 자연적으로 동등하게 정의되는 것과 동등하다$.$

${\displaystyle H^{n}=\tau ^{\geq 0}\circle \tau ^{\leq 0}\circ [n].}$

파생 범주 $D{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle$ D$({\mathcal{A}}}}$에 있는 자연 t 구조의 경우$,$ 코호몰로지 펑터 ${\displaystyle {Hn}^{}}$ ${\$은 복합체의 일반적인 n번째 코호몰로지 그룹인 준 이형성까지이다$$.그러나, 콤플렉스의 functor로 여겨지는, 이것은 사실이 아니다.예를 들어 자연 t-구조 측면에서 정의된$$ $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$ H$^{0}$을 고려하십시오.정의상 이것은

${\displaystyle {\reasoned}H^{0}(A^{\bullet }})&=\tau ^{\leq 0}(\tau ^{\geq 0}(A^{\bullet })\\&=\tau ^{\leq 0}(\cdots \to 0\to A^{-1}/\ker d^{-1}\to A^{0}\to A^{1}\to \cdots )\\&=(\cdots \to 0\to A^{-1}/\ker d^{-1}\to \ker d^{0}\to 0\to \cdots ).\end{정렬}}}$

이 단지는 0도가 아니므로 -${\displaystyle }$$1{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle -1},$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 0$}$이므로$,$ A$$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ ${\$ A$^{\bullet }}$의 제로트 코호몰로지 그룹과는 분명히 같지 않다$.$ 다만, 비견상동차는 주사이므로 $유일$한 비견동호학은 0도 {$display\$ $0$.$}$, where it is ${\displaystyle \ker d^{0}/\operatorname {im} d^{-1}}$, the zeroth cohomology group of the complex ${\displaystyle A^{\bullet }}$. It follows that the two possible definitions of ${\displaystyle H^{0}(A^{\bullet })}$ are quasi-isomorphic.

모든 D ${\$}^{\$leqn$의 교차점뿐만 아니라 모든 D ${\displaystyle {\ge }^{}}n{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\${\$}^{\mathcal{d$geqn}}의 교차점이 0개의 개체로만 구성된 경우 t-구조물은 생성되지 않는다.비감소 t-구조물의 경우${\displaystyle }$펑커 {${\displaystyle {Hn}^{}{}_{}}$}${\displaystyle {nz\mathbf{}}_{}}$ Z ${\$의 집합은 보수적이다$$.더구나 이 경우에는 $D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\le }^n}$ ${\$resp.${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$) may be identified with the full subcategory of those objects ${\displaystyle A}$ for which ${\displaystyle H^{i}(A)=0}$ for ${\displaystyle i>n}$ (resp. ${\displaystyle i<n}$).

정확한 펑커

For ${\displaystyle i=1,2}$, let ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$ be a triangulated category with a fixed t-structure ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{i}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{i}^{\geq 0})}$ Suppose that ${\displaystyle F\col$${\mathcal{D}_{1}\to {\mathcal{D}_{2$}}번 on은 정확한 펑터(일반적으로 삼각형 범주의 경우, 번역과 함께 작용하고 구별된 삼각형을 보존하는 자연적 동등성까지)이다$$.$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ F$}$은(는$$)

• $F{\displaystyle ({\mathrm{D}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 0${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 0 ${\$}}^{2$}^{\geq$ 0$\}\},$ .
• $오른쪽{\displaystyle }$ t-정확한 경우 F${\displaystyle ({\mathrm{D}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 0${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle \subseteq }$ D ${\displaystyle 2_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 0 ${\$ F$({\mathcal {D}_{1}^{\leq$ 0$})\subseteq${\$mathcal {D}_{2}^{\leq$ 0$\},$ 그리고
• t-좌측 및 우측 t-좌측 모두일 경우.

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) 완전히 충실하고 t-정확하다면 ${\displaystyle D_{\mathrm{}}}$ $1{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$}{$D}{1}$의 $개체$ A ${\displaystyle A}$이(가) ${\displaystyle D_{\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}_{}^{}}$≤ 0 ${\displaystystyle {D}{1}^{1$}{$leq 0}}}}}($resp)에 있는$$ 것을 보는 것은 초급이다.${\displaystyle {\mathcal{D}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\$ 0$\}$에 F ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle {\mathrm{FA}}_{}^{}}$$}$이(가) D ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 0 ${\$ {$D}{2}^{\leq 0}$에 있는 경우에만 해당된다.$$${\displaystyle {\mathcal{D}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$It is also elementary to see that if ${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{2}\to {\mathcal {D}}_{3}}$ is another left (resp. right) t-exact functor, then the composite ${\displaystyle G\circ F}$ is also left (resp. right) t-exact.

단측 t-정확성 성질을 연구하게 된 동기는 심장에 단측정확성 성질을 유도하기 때문이다.$\iota {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{\mathrm{}}^{}}$ : ${\displaystyle D_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$→ ${\displaystyle D_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$}to {\$mathcal {D}_{$i}}}}}}}}}}}}}이 포함되도록 한다$$.그리고 복합 펑터가 있다.

${\displaystyle {}^{p}F=H^{0}\circule \iota \iota _{1}^{{1}^{\colon {\mathcal {D}_{1}^{\mathcal {D}}^{2}^{\mathcal}}}}}}$

It can be shown that if ${\displaystyle F}$ is left (resp. right) exact, then ${\displaystyle {}^{p}F}$ is also left (resp. right) exact, and that if ${\displaystyle G}$ is also left (resp. right) exact, then ${\displaystyle {}^{p}(G\circ F)=({}^{p}G)\circ F}$.

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) 좌측(resp. 오른쪽) $t-exact$이고$,$ A {\$displaystyle$ A$$$}$이(${\displaystyle {\mathrm{가}}^{)}}$ D $\$0 {\$displaystyle{$D}^{\$leq$ 0$}}($$resp$)인 경우${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$), then there is a natural isomorphism ${\displaystyle {}^{p}F(H^{0}A)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ H^{0}F(A)}$ (resp.${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle p\stackrel{}{}{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( H ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle H^{0}F(A)\\\\stackrel {\sim }{\}}\{}^{p}F(H^{0}A)}}}).$

If ${\displaystyle (T^{*},T_{*})\colon {\mathcal {D}}_{1}\leftrightarrows {\mathcal {D}}_{2}}$ are exact functors with ${\displaystyle T^{*}}$ left adjoint to ${\displaystyle T_{*}}$, then ${\displaystyle T^{*}}$ is right t-exact if and only if ${\displaystyle T_{}}$$∗{\$은(는) t-exact 왼쪽이며, 이 경우 $({\displaystyle {}^{}{}^{}}$ T${\displaystyle {}^{}}$ p ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$) ${\displaystyle({}^{p})$$T^{*},{}^{p}$$T_{*}}}$은(는) 보조 펑커 $D{\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ {\$mathcal {D}{2}^{\heartsuit$}}}}}}의 쌍이다$.$

t-구조물의 구성

Let ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ be a t-structure on ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. If n is an integer, then the translation by n t-structure is ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq n},{\mathcal {D}}^{\geq n})}$.The dual t-structure is the t-structure on the opposite category ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\text{op}}}$ defined by ${\displaystyle (({\mathcal {D}}^{\geq 0})^{\text{op}},({\mathcal {D}}^{\leq 0})^{\text{op}})}$.

Let ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ be a triangulated subcategory of a triangulated category ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. If ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ is a t-structure on ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, then

${\displaystyle ({\mathcal {D}')^{\leq 0}({\mathcal {D}^{D}}{\mathcal {D}}\mathcal {D}^{\mathcal {D}}}}}}}}$

$D{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$displaystyle$ ${\$$mathcal$${D}}$이(가) 잘림 펑터${\displaystyle {}^{}}under{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 0$} 아래$에서 안정적인 경우에만$$$$ D $on{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\$$displaystystyle$ {\$mathcal$ {D$}}}$에 있는 t 구조다$.$이 조건이 유지되면 t 구조 (${\displaystyle ({\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {\le }^{}}$ ${\displaystyle 0^{}}$,${\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathrm{D}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}{}^{}}$) $≥$ 0 ) $displaystyle ({\mathcal$ {D$}^{\leq$ 0}, $({\mathcal {$D}}}^{\mathcal){D$}^{\geq$ 0$})$을 유도 t 구조라 한다$$.The truncation and cohomology functors for the induced t-structure are the restriction to ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ of those on ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. Consequently, the inclusion of ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ in ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ is t-exact, and ${\displaystyle }$${\displaystyle ({\mathcal{}}^{}}$) ${\displaystyle {♡\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {\mathcal{}}^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$d}}={\$mathcal {D$

삐뚤어진 천의 범주를 구성하려면, 그 공간에서 국소적으로 작업함으로써 한 공간에 걸친 천의 범주에 대한 t 구조를 정의할 수 있어야 한다.이것이 가능하기 위해 필요한 정확한 조건은 다음과 같은 설정으로 어느 정도 추상화될 수 있다.세 개의 삼각형 범주와 두 개의 형태론이 있다고 가정하자.

${\displaystyle {\mathcal{D}_{F}\\\\stackrel {i_{*}}}\\\mathcal {D}\\\stackrel {j^{*}}}}}}{\mathcal {D}{U}}}}}}}$

다음 특성을 만족하는 경우.

• 부선형 펑커(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$의 세 배 순서가 있다$(j$!, j$^{!},j^{*},j_{*}},$ 그리고$$${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∗, i${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (i^{*},i_{*},i$
• functors $∗{\$ $j{\displaystyle {}_{!}}$ ${\$$\}\}\},$ $그리고{\displaystyle {}^{}}$ j${{\$은(는) 충만하고 충실하며, $j{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty j^{*i_{*}=0}$을(를) 만족시킨다$.$
• $D{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 모든 K에 대해 정확한 삼각형을 만드는 고유한 차이점이 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{!}j^{*}K&\to K\to i_{*}i^{*}K\to j_{!}j^{*}K[1],\\i_{*}i^{!}K&\to K\to j_{*}j^{*}K\to i_{*}i^{!}K[1].\end{aligned}}}$

In this case, given t-structures ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{U}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{U}^{\geq 0})}$ and ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{F}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{F}^{\geq 0})}$ on ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{U}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{F}}$, respectively, there is a t-structure on ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ defined by

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\leq 0}&=\{K\in {\mathcal {D}}\colon j^{*}K\in {\mathcal {D}}_{U}^{\leq 0},\ i^{*}K\in {\mathcal {D}}_{F}^{\leq 0}\},\\{\mathcal {D}}^{\geq 0}&=\{K\in {\mathcal {D}}\colon j^{*}K\in {\mathcal {D}}_{U}^{\geq 0},\ i^{!}K\in {\mathcal {D}}_{F}^{\geq 0}\}.\end{aligned}}}$

This t-structure is said to be the gluing of the t-structures on U and F. The intended use cases are when ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{U}}$, and ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{F}}$ are bounded below derived categories of sheaves on a space X, an open subset U, and the closed complement F of U. The functors ${\displaystyle j^{*}}$ and ${\displaystyle i_{*}}$ are the usual pullback and pushforward functors. This works, in particular, when the sheaves in question are left modules over a sheaf of rings ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ on X and when the sheaves are ℓ-adic sheaves.

Many t-structures arise by means of the following fact: in a triangulated category with arbitrary direct sums, and a set ${\displaystyle S_{0}}$ of compact objects in ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, the subcategories

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\geq 1}&=\{X\in {\mathcal {D}}\colon \operatorname {Hom} (S_{0}[-n],X)=0,n\geq 0\},\\{\mathcal {D}}^{\leq 0}&=\{Y\in {\mathcal {D}}\colon \operatorname {Hom} (Y,{\mathcal {D}}^{\geq 1})=0\},\end{aligned}}}$

can be shown to be a t-structure.^[8] The resulting t-structure is said to be generated by ${\displaystyle S_{0}}$.

Given an abelian subcategory ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ of a triangulated category ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, it is possible to construct a subcategory of ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ and a t-structure on that subcategory whose heart is ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.^[9]

On stable ∞-categories

The elementary theory of t-structures carries over to the case of ∞-categories with few changes. Let ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ be a stable ∞-category. A t-structure on ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ is defined to be a t-structure on its homotopy category ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}}$ (which is a triangulated category). A t-structure on an ∞-category can be notated either homologically or cohomologically, just as in the case of a triangulated category.

Suppose that ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ is an ∞-category with homotopy category ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}}$ and that ${\displaystyle (\mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\geq 0},\mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\leq 0})}$ is a t-structure on ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}}$. Then, for each integer n, we define ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq n}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq n}}$ to be the full subcategories of ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ spanned by the objects in ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\geq n}}$ and ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\leq n}}$, respectively. Define

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota _{\geq n}&\colon {\mathcal {D}}_{\geq n}\to {\mathcal {D}},\\\iota _{\leq n}&\colon {\mathcal {D}}_{\leq n}\to {\mathcal {D}}\end{aligned}}}$

to be the inclusion functors. Just as in the case of a triangulated category, these admit a right and a left adjoint, respectively, the truncation functors

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\geq n}&\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}_{\geq n},\\\tau _{\leq n}&\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}_{\leq n}\end{aligned}}}$

These functors satisfy the same repeated truncation identities as in the triangulated category case.

The heart of a t-structure on ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ is defined to be the ∞-subcategory ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }={\mathcal {D}}_{\geq 0}\cap {\mathcal {D}}_{\leq 0}}$. The category ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$ is equivalent to the nerve of its homotopy category ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$. The cohomology functor ${\displaystyle \pi _{n}}$ is defined to be ${\displaystyle \tau _{\geq 0}\circ \tau _{\leq 0}\circ [-n]}$, or equivalently ${\displaystyle \tau _{\leq 0}\circ \tau _{\geq 0}\circ [-n]}$.

The existence of ${\displaystyle \tau _{\leq n}}$ means that ${\displaystyle \iota _{\leq n}}$ is, by definition, a localization functor. In fact, there is a bijection between t-structures on ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ and certain kinds of localization functors called t-localizations. These are localization functors L whose essential image is closed under extension, meaning that if ${\displaystyle X\to Y\to Z}$ is a fiber sequence with X and Z in the essential image of L, then Y is also in the essential image of L. Given such a localization functor L, the corresponding t-structure is defined by

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{\geq 0}&=\{A\colon LA\simeq 0\},\\{\mathcal {D}}_{\leq -1}&=\{A\colon LA\simeq A\}.\end{aligned}}}$

t-localization functors can also be characterized in terms of the morphisms f for which Lf is an equivalence. A set of morphisms S in an ∞-category ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ is quasisaturated if it contains all equivalences, if any 2-simplex in ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ with two of its non-degenerate edges in S has its third non-degenerate edge in S, and if it is stable under pushouts. If ${\displaystyle L\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$ is a localization functor, then the set S of all morphisms f for which Lf is an equivalence is quasisaturated. Then L is a t-localization functor if and only if S is the smallest quasisaturated set of morphisms containing all morphisms ${\displaystyle \{0\to X\colon LX\simeq 0\}}$.^[10]

The derived category of an abelian category has several subcategories corresponding to different boundedness conditions. A t-structure on a stable ∞-category can be used to construct similar subcategories. Specifically,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{+}&=\bigcup _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {C}}_{\leq n},\\{\mathcal {D}}_{-}&=\bigcup _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {C}}_{\geq n},\\{\mathcal {D}}_{b}&={\mathcal {D}}_{+}\cap {\mathcal {D}}_{-}.\end{aligned}}}$

These are stable subcategories of ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. One says that ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ is left bounded (with respect to the given t-structure) if ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{+}}$, right bounded if ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{-}}$, and bounded if ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{b}}$.

It is also possible to form a left or right completion with respect to a t-structure. This is analogous to formally adjoining directed limits or directed colimits. The left completion ${\displaystyle {\hat {\mathcal {D}}}}$ of ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ is the homotopy limit of the diagram

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {D}}_{\leq 2}\ {\stackrel {\tau _{\leq 1}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{\leq 1}\ {\stackrel {\tau _{\leq 0}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{\leq 0}\ {\stackrel {\tau _{\leq -1}}{\to }}\ \cdots .}$

The right completion is defined dually. The left and right completions are themselves stable ∞-categories which inherit a canonical t-structure. There is a canonical map from ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ to either of its completions, and this map is t-exact. We say that ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ is left complete or right complete if the canonical map to its left or right completion, respectively, is an equivalence.

Related concepts

If the requirement ${\displaystyle D^{\leq 0}\subset D^{\leq 1}}$, ${\displaystyle D^{\geq 1}\subset D^{\geq 0};}$ is replaced by the opposite inclusion

${\displaystyle D^{\leq 0}\supset D^{\leq 1}}$, ${\displaystyle D^{\geq 1}\supset D^{\geq 0},}$

and the other two axioms kept the same, the resulting notion is called a co-t-structure or weight structure.^[11]

References