멀티바디 시스템

멀티바디 시스템은 서로 연결된 강체 또는 유연한 신체의 동적 거동에 대한 연구로, 각각 큰 변환 및 회전 변위를 겪을 수 있다.

소개

서로 연결된 신체의 동적 거동에 대한 체계적인 처리는 역학 분야에서 중요한 다원적 형식주의를 다수 이끌어냈다. 멀티바디 시스템의 가장 단순한 신체나 원소는 뉴턴(자유입자)과 오일러(강체체체)에 의해 처리되었다. 오일러는 신체 사이에 반응력을 도입했다. 이후 일련의 형식주의가 파생되었는데, 다만 최소한의 좌표를 바탕으로 한 라그랑주의 형식주의와 제약조건을 도입하는 두 번째 공식만을 언급할 뿐이었다.

기본적으로 신체의 움직임은 그들의 운동학적 행동에 의해 묘사된다. 동적 거동은 적용된 힘의 평형과 운동량의 변화율에서 비롯된다. 오늘날 멀티바디 시스템이라는 용어는 특히 로봇과 차량 동력학에서 많은 공학 분야의 연구와 관련이 있다. 중요한 특징으로서, 멀티바디 시스템 형식주의는 대개 수천 개의 상호연결된 신체의 임의 운동을 모델링, 분석, 시뮬레이션 및 최적화하는 알고리즘적인 컴퓨터 지원 방법을 제공한다.

적용들

유한요소법으로 기계시스템의 단일체나 일부를 상세하게 연구하지만, 일반적으로 멀티바디 시스템 전체의 거동은 다음과 같은 영역 내에서 멀티바디 시스템 방법으로 연구한다.

항공 우주 공학(헬리콥터, 착륙 기어, 다양한 중력 조건에서 기계의 동작)
생물역학
연소 엔진, 기어 및 변속기, 체인 구동, 벨트 구동
동적 시뮬레이션
호이스트, 컨베이어, 제지공장
군 신청서
입자 시뮬레이션(분자 매체, 모래, 분자)
물리 엔진
로보틱스
차량 시뮬레이션(차량 다이내믹스, 차량의 신속한 프로토타이핑, 안정성 향상, 편의성 최적화, 효율성 향상 등)

예

다음 예는 전형적인 멀티바디 시스템을 보여준다. 보통 슬라이더-크랭크 메커니즘으로 표시된다. 이 메커니즘은 회전하는 주행빔, 연결봉 및 슬라이딩 보디를 통해 회전 운동을 변환 운동으로 변환하는데 사용된다. 이 예에서는 연결봉에 유연한 차체를 사용한다. 슬라이딩 질량은 회전할 수 없으며, 3개의 회전 이음매를 사용하여 신체를 연결한다. 각 신체는 우주에서 자유도가 6도인 반면, 운동학적 조건은 전체 시스템에 대해 자유도가 1도인 것으로 이어진다.

메커니즘의 동작은 다음의 gif 애니메이션에서 볼 수 있다.

개념

신체는 보통 기계 시스템의 경직되거나 유연한 부분으로 간주된다(인체와 혼동되지 않는다). 신체의 예로는 로봇의 팔, 자동차의 바퀴나 차축 또는 인간의 팔뚝이 있다. 연결은 두 개 이상의 신체 또는 한 몸을 지면과 연결하는 것이다. 링크는 신체의 상대적 움직임을 제한하는 특정한 (유명적) 제약조건에 의해 정의된다. 대표적인 제약조건은 다음과 같다.

카르단 조인트 또는 유니버설 조인트; 4개의 동적 구속조건
프리즘관절; 한 축을 따라 상대 변위가 허용되고 상대 회전을 구속한다; 5 운동학적 제약 조건을 내포한다.
회전식 조인트, 상대 회전 하나만 허용됨; 5개의 운동학적 제약 조건을 내포함; 위의 예 참조
구형 관절; 한 점에서 상대적 변위를 구속하고, 상대적 회전이 허용된다; 3 운동학적 제약을 암시한다.

멀티바디 시스템에는 자유도와 제약 조건이라는 두 가지 중요한 용어가 있다.

자유도

자유도는 움직일 수 있는 독립적인 운동학적 가능성의 수를 나타낸다. 즉, 자유도는 우주에서 실체의 위치를 완전히 정의하는 데 필요한 최소 매개변수 수입니다.

경직된 신체는 일반적인 공간운동의 경우 자유도가 6도인데, 그 중 3도는 자유도(reversional leadition)와 3회전 자유도가 있다. 평면운동의 경우, 신체는 하나의 회전과 두 개의 변환된 자유도를 가진 3도만 가지고 있다.

평면 운동의 자유도는 컴퓨터 마우스를 사용하여 쉽게 증명할 수 있다. 자유도는 왼쪽-우측, 앞-뒤-뒤로, 수직축에 대한 회전이다.

제약조건

제약조건은 하나 이상의 신체의 자유에 대한 운동학적 수준의 제한을 의미한다. 고전적 제약조건은 보통 두 신체 사이의 상대적 번역이나 회전을 규정하는 대수 방정식이다. 더 나아가 두 신체 또는 한 신체와 땅 사이의 상대적 속도를 구속할 가능성이 있다. 예를 들어 지면에 닿는 디스크의 지점이 지면에 대해 항상 상대 속도가 0인 롤링 디스크의 경우를 들 수 있다. 위치 구속조건을 형성하기 위해 속도 구속조건을 제때 통합할 수 없는 경우를 비혼수학이라고 한다. 일반적인 롤링 제약이 그렇다.

그 외에도 신체의 지점이 다른 신체의 표면을 따라 움직일 수 있는 슬라이딩 조인트와 같은 새로운 미지의 좌표를 도입할 수 있는 비분류적 제약조건이 있다. 접촉의 경우 구속조건은 불평등에 기초하므로 그러한 제약조건은 신체의 자유도를 영구히 제한하지 않는다.

운동 방정식

동작 방정식은 멀티바디 시스템의 동적 동작을 설명하는 데 사용된다. 각각의 멀티바디 시스템 제형은 뒤의 물리학이 동일한 동안 운동 방정식의 다른 수학적인 외관으로 이어질 수 있다. 제약된 신체의 움직임은 기본적으로 뉴턴의 제2법칙에서 비롯되는 방정식을 통해 설명된다. 이 방정식은 구속조건이 추가된 단일체의 일반적인 움직임을 위해 작성된다. 보통 운동 방정식은 뉴턴-어울러 방정식이나 라그랑주의 방정식에서 도출된다.

경직된 신체의 움직임은 다음에 의해 설명된다.

\mathbf {M(q)} {\ddot {\mathbf {q} }}-\mathbf {Q} _{v}+\mathbf {C_{q}} ^{T}\mathbf {\lambda } =\mathbf {F} ,

(1)

\mathbf {C} (\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=0

(

\mathbf {C} (\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=0

,

\mathbf {C} (\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=0

\mathbf {C} (\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=0

)

\mathbf {C} (\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=0

=

\mathbf {C} (\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=0

{\displaystyle \mathbf {C}(\mathbf {q},{\dot

{\

mathbf {q}})=0

}(

\mathbf {C} (\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=0

2)

이러한 유형의 운동 방정식은 기본 시스템의 자유도보다 많은 좌표를 사용하기 때문에 소위 중복 좌표에 기초한다. 일반화된 좌표는 $\mathbf {q}$ ${\$ 으로 표시되며 $\mathbf {q}$ 질량 행렬은 일반화된 좌표에 따라 다를 수 있는 $\mathbf {M} (\mathbf {q} )$ ( $\mathbf {M} (\mathbf {q} )$ ) $\mathbf {M}(\mathbf {q$ )로 표시된다. $\mathbf {C}$ ${\$ 은 제약조건 조건을 나타내며 $\mathbf {C}$ , $\mathbf {C_{q}}$ $\mathbf {C_{q}}$ q {\ $displaystyle \mathbf$ { $C_{q}}}($ 때로는 Jacobian으로 불림)은 좌표에 관한 제약조건 조건의 파생어다. 이 행렬은 신체의 다음과 같은 방정식에 $\mathbf {\lambda }$ 구속력 $\mathbf {\lambda }$ ${\$ {\ $lambda }}$ 을(를) 적용하는 데 사용된다. 벡터 $\mathbf {\lambda }$ ${\$ 의 성분도 라그랑주 승수(Lagrange multiers)로 표시된다 $\mathbf {\lambda }$ . 경직된 신체에서는 가능한 좌표가 두 부분으로 분할될 수 있다.

$\mathbf {q} =\왼쪽[\mathbf {u} \quad \mathbf {\PSI } \right]^{T$

여기서 $\mathbf {u}$ ${\$ 는) 번역을 나타내고 $\mathbf {u}$ $\mathbf {\Psi }$ ${\$ }은 $($ 는) 회전을 설명한다 $\mathbf {\Psi }$ .

2차 속도 벡터

경직된 차체의 경우 코리올리와 운동 방정식 원심용어를 기술하는 데 이른바 2차 속도 벡터 $\mathbf {Q} _{v}$ $\mathbf {Q} _{v}$ ${\$ 가 사용된다 $\mathbf {Q} _{v}$ . $그$ $\mathbf {Q} _{v}$ 은 Q $\mathbf {Q} _{v}$ v {\ $displaystyle \mathbf{Q} _{$ v}}}에 속도라는 2차 항이 포함되어 $\mathbf {Q} _{v}$ 있으며, 신체의 운동 에너지의 부분적인 파생에 기인하기 때문이다.

라그랑주 승수

라그랑주 승수 $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ ${\$ 는 구속조건 C $C_{i}=0$ = 0 $C_{i}=0$ 과 관련이 있으며 $\lambda _{i}$ $C_{i}=0$ , 일반적으로 구속조건 자유도의 "방향"에 작용하는 힘이나 순간을 나타낸다. 라그랑주 승수는 신체의 잠재적 에너지를 변화시키는 외부 힘에 비해 "작업"을 하지 않는다.

최소좌표

운동 방정식(1,2)은 중복 좌표를 이용하여 표현하는데, 이는 좌표가 독립적이지 않음을 의미한다. 이는 위에 표시된 슬라이더-크랭크 메커니즘으로 예시할 수 있는데, 여기서 각 신체는 6도의 자유도를 가지지만 좌표는 대부분 다른 신체의 움직임에 의존한다. 예를 들어, 18개의 좌표와 17개의 제약조건을 사용하여 단단한 차체를 가진 슬라이더 크랭크의 움직임을 설명할 수 있다. 그러나 자유도는 1도밖에 없기 때문에 움직임의 방정식은 예를 들어 운전 링크의 각도를 자유도로 사용하여 1개의 방정식과 1개의 자유도를 이용하여 나타낼 수도 있다. 후자 공식은 시스템의 움직임을 설명하기 위해 최소 좌표 수를 가지며, 따라서 최소 좌표 공식이라고 할 수 있다. 중복 좌표를 최소 좌표로 변환하는 것은 때때로 번거롭고, 동역학적 루프가 없는 홀노믹 제약조건의 경우에만 가능하다. 움직임의 최소 좌표 방정식의 도출에 대해, 이른바 재귀적 공식만을 언급하는 몇 가지 알고리즘이 개발되었다. 결과 방정식은 구속조건이 없는 경우 표준 시간 통합 방법을 사용하여 시간 내에 운동 방정식을 통합할 수 있기 때문에 해결하기가 더 쉽다. 축소된 시스템이 더 효율적으로 해결될 수도 있지만 좌표 변환은 계산적으로 비용이 많이 들 수도 있다. 매우 일반적인 멀티바디 시스템 제형과 소프트웨어 시스템에서는 시스템을 사용자 친화적이고 유연하게 만들기 위해 중복 좌표를 사용한다.

참고 항목

참조

J. 비텐버그, 강체계의 역학, 테브너, 슈투트가르트(1977년)
J. 비텐버그, 멀티바디 시스템의 다이내믹스, 베를린, 스프링거(2008)
K. Magnus, 멀티바디 시스템의 역학, Springer Verlag, 베를린 (1978년)
P.E. Nikravesh, Computer-Aided Analysis of Mechanical Systems, Fratice-Hall (1988).
E.J. 하우그, 컴퓨터 보조 운동학 및 역학, 앨리언과 베이컨, 보스턴 (1989년)
H. 브레머와 F. 독일 슈투트가르트(Stuttgart)의 Ffeiffer, Elastische Mehrköpersysteme, B. G. Teubner, Teubner, Feiffer, Elastische Mehrköpersystememe, 독일 (1992년)
J. Garcia de Jalon, E. Bayo, Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems - The Real-Time Challenge, Springer-Verlag, 뉴욕(1994)
A.A. 샤바나, 멀티바디 시스템의 다이내믹스, Second Edition, John Wiley & Sons(1998)
M. Géradin, A. Cardona, Flexible multibody dynamics – 유한 요소 접근, Wiley, New York(2001)
E. 아이히 소엘너, C. Führer, Multibody Dynamics in Multibody Dynamics, Teubner, Stuttgart, 1998년(Reprint Lund, 2008년)
T. Wasfy와 A. Noor, "Flexible Multibody 시스템을 위한 컴퓨터 전략," ASME. Appl. 메흐 2003;56(6):553-613. 도이:10.1115/1.1590354.

외부 링크

http://real.uwaterloo.ca/~mbody/ John McPhee의 링크 수집

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