존슨-나이키스트 잡음

이 세 회로는 모두 동등합니다. (A) 0이 아닌 온도에서 존슨 노이즈가 있는 저항; **(B)** 노이즈 생성 전압 소스와 직렬로 구성된 노이즈 없는 저항(예: Thevenin 등가 회로); **(C)** 노이즈 생성 전류 소스와 병렬로 구성된 노이즈 없는 저항(예: 노튼 등가 회로).

존슨-나이퀴스트 잡음(열 잡음, 존슨 잡음 또는 나이퀴스트 잡음)은 평형 상태의 전기 도체 내부에서 전하 캐리어(일반적으로 전자)가 열 교반함으로써 발생하는 전자 잡음으로, 인가된 전압에 관계없이 발생합니다. 열 잡음은 모든 전기 회로에 존재하며 민감한 전자 장비(예: 라디오 수신기)에서는 약한 신호를 흡수할 수 있으며 전기 측정 기기의 감도를 제한하는 요인이 될 수 있습니다. 열 잡음은 온도에 따라 증가합니다. 전파망원경 수신기와 같은 일부 민감한 전자 장비는 회로의 열 잡음을 줄이기 위해 극저온으로 냉각됩니다. 이 잡음의 일반적이고 통계적인 물리적 유도를 변동-분산 정리라고 하며, 여기서 일반화된 임피던스 또는 일반화된 민감도를 사용하여 매질을 특성화합니다.

이상적인 저항기의 열 잡음은 대략 흰색으로, 즉 전력 스펙트럼 밀도는 주파수 스펙트럼 전체에서 거의 일정하지만, 극도로 높은 주파수(실온의 경우 테라헤르츠)에서는 0으로 붕괴됩니다. 유한 대역폭으로 제한될 경우 열 잡음은 거의 가우스 진폭 분포를 갖습니다.^[1]

역사

이런 종류의 소음은 존 B에 의해 발견되고 처음 측정되었습니다. 1926년 벨 연구소의 존슨.^[2]^[3] 그는 벨 연구소의 해리 나이퀴스트에게도 자신의 연구 결과를 설명했습니다. 그는 결과를 설명할 수 있었습니다.^[4]

파생

나이퀴스트가 1928년 논문에서 밝힌 바와 같이, 정상적인 전기 진동 모드에서의 에너지의 합은 소음의 진폭을 결정할 것입니다. 나이퀴스트는 볼츠만과 맥스웰의 등분법을 사용했습니다. 등분법의 개념 포텐셜 에너지와 고조파 진동자를 사용하여,^[5]

$\left\lang H\right\rangle =k_{\rm {B}}T$

$여기서$ ⟩ $H$ ⟨ {\ $displaystyle \left\$ langle H\right\rangle }는 노이즈 전력 밀도(W/Hz $)$ 이고, $kB {\displaystyle$ k_{\rm {B}}는 $상수$ 이고 T{\displaystyle T}는 온도입니다. 방정식에 대역폭을 곱하면 결과가 노이즈 파워가 됩니다.

$N=k_{\rm {B}}T\Delta f$

여기서 N은 노이즈 파워이고 δf는 대역폭입니다.

노이즈 전압 및 전원

열 소음은 전압이 인가되고 거시적인 전류가 흐르기 시작할 때 발생하는 추가적인 전류 변동으로 구성되는 샷 소음과 구별됩니다. 일반적인 경우, 위의 정의는 저항기뿐만 아니라 모든 종류의 전도성 매체(예를 들어, 전해질의 이온)의 전하 캐리어에 적용됩니다. 비이상적인 저항기의 노이즈를 이상적인 노이즈 없는 저항기와 직렬로 나타내는 전압원으로 모델링할 수 있습니다.

대역폭의 헤르츠당 단방향 전력 스펙트럼 밀도 또는 전압 분산(평균 제곱)은 다음과 같습니다.

{\overline {v_{n}^{2}}=4k_{\text{B}}TR

여기서 k는 볼츠만 상수(켈빈당 줄 단위), T는 저항기의 절대 온도(켈빈 단위), R은 저항기 값(옴 단위), ω. 빠른 계산을 위해 이 식을 사용하여 실온에서:

{\sqrt {\overline {v_{n}^{2}}}}=0.13{\sqrt {R}}~\mathrm {nV} /{\sqrt {\mathrm {Hz}}

예를 들어, 300K의 온도에서 1K ω 저항은 다음과 같습니다.

{\sqrt {\overline {v_{n}^{2}}}={\sqrt {4\cdot 1.38\cdot 10^{-23}~\mathrm {J} /\mathrm {K} \cdot 300~\mathrm {K} \cdot 1000~\Omega }} = 4.07\cdot 10^{-9}~\mathrm {V} /{\sqrt {\mathrm {Hz}}

주어진 대역폭의 경우 전압의 RMS(Root Mean Square) $v_{n}$ ${\$ 은 다음과 같습니다 $v_{n}$

v_{n}={\sqrt {\overline {v_{n}^{2}}}}{\sqrt {\Delta f}}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR\Deltaf}

여기서 δF는 잡음이 측정되는 대역폭(헤르츠 단위)입니다. 실온 및 10kHz 대역폭에서 1K ω 저항의 경우 RMS 노이즈 전압은 400nV입니다. 기억해야 할 유용한 경험 법칙은 1Hz 대역폭에서 50 ω은 실온에서 1 nV 노이즈에 해당한다는 것입니다.

단락 회로의 저항기는 다음과 같은 노이즈 전력을 방출합니다.

P={v_{n}^{2}}/R=4k_{\text{B}}\,T\Delta f.

저항기에서 발생한 노이즈는 나머지 회로로 전달될 수 있습니다. 나머지 회로의 테베닌 등가 저항이 노이즈 발생 저항과 같을 때 최대 노이즈 전력 전달은 임피던스 매칭으로 이루어집니다. 이 경우 참여하는 2개의 저항기 각각은 자기 자신과 다른 저항기 모두에서 노이즈를 방출합니다. 소스 전압의 절반만 이들 저항 중 하나에 걸쳐 강하하기 때문에 결과적으로 발생하는 노이즈 파워는 다음에 의해 제공됩니다.

P=k_{\text{B}}\,T\Deltaf

여기서 P는 열 잡음 전력(와트)입니다. 이는 소음 발생 저항과 무관합니다.

노이즈 전류

노이즈 소스는 저항기와 병렬로 전류원에 의해 모델링될 수도 있습니다. 전압원의 Norton 등가를 취하는 것은 노이즈 전압을 R로 나누는 것에 해당합니다. 이는 현재 소스의 평균 제곱근 값을 다음과 같이 제공합니다.

i_{n} = {v_{n} \over R} = {\sqrt {4k_{\text{B}}T\Delta f} \over R}}.

소음 파워(데시벨 단위)

신호 전력은 종종 dBm(1밀리와트 대비 데시벨) 단위로 측정됩니다. 위의 식에서 실온에서 저항기의 노이즈 전력(dBm)은 다음과 같습니다.

P_{\mathrm {dBm} = 10\log _{10} (k_{\text{B}}T\Delta f/1\,{\textrm {mW}})\ {\textrm {dBm}}.

실온(300K)에서 이는 대략 다음과 같습니다.

{\displaystyle P_{\mathrm {dBm} =- 173입니다.8\ {\textrm {dBm}}+10\ \log _{10}(\Delta f{\text{in Hz}})\ {\textrm {dB}}.

^[7]^[8]^{: 260}

이 식을 사용하면 다양한 대역폭에 대한 노이즈 전력을 쉽게 계산할 수 있습니다.

$(\Delta f)$ δf) ${\displaystyle(\$ Deltaf)}	열잡음 파워 at 300 K (dBm)	메모들
1Hz	−174
10Hz	−164
100Hz	−154
1kHz	−144
10kHz	−134	양방향 라디오 FM 채널
100kHz	−124
180kHz	−121.45	LTE 자원 블록 하나
200kHz	−121	GSM 채널
1MHz	−114	블루투스 채널
2MHz	−111	상용 GPS 채널
3.84MHz	−108	UMTS 채널
6MHz	−106	아날로그 텔레비전 채널
20MHz	−101	WLAN 802.11 채널
40MHz	−98	무선랜 802.11n 40MHz 채널
80MHz	−95	무선랜 802.11ac 80MHz 채널
160MHz	−92	WLAN 802.11ac 160MHz 채널
1GHz	−84	UWB 채널

캐패시터의 열잡음

무손실 장치로서 이상적인 커패시터는 열 잡음이 없지만 RC 회로에서 저항기와 일반적으로 사용되는 것처럼 이 조합은 kTC 잡음이라고 합니다. RC 회로의 노이즈 대역폭은 δF = 1/(4RC)입니다. 이것을 열 잡음 방정식에 대입하면, 저항(R)의 값이 방정식에서 빠지면서 결과는 비정상적으로 단순한 형태를 갖습니다. R이 높으면 잡음이 커지는 만큼 대역폭이 줄어들기 때문입니다.

이러한 필터에서 생성되는 평균 제곱 및 RMS 노이즈 전압은 다음과 같습니다.^[10]

{\overline {v_{n}^{2}}={4k_{\text{B}}TR \over 4RC}=k_{\text{B}}T/C

v_{n}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR \over 4RC}}={\sqrt {k_{\text{B}}T/C}}.

노이즈 전하는 정전 용량과 전압의 곱입니다.

Q_{n}=Cv_{n}=C{\sqrt {k_{\text{B}}T/C}}={\sqrt {k_{\text{B}}TC}}

{\overline {Q_{n}^{2}}}=C^{2}{\overline {v_{n}^{2}}}=C^{2}k_{\text{B}}T/C=k_{\text{B}}TC

이 충전 소음은 "kTC 소음"이라는 용어의 기원입니다.

저항기 값과는 무관하지만 저항기에서 kTC 노이즈가 100% 발생합니다. 따라서 저항과 커패시터의 온도가 다를 경우 위 계산에서 저항의 온도만을 사용해야 합니다.

극단적인 경우는 이상적인 스위치를 열어 커패시터에 남아 있는 리셋 노이즈라고 하는 대역폭 제한 0입니다. 저항은 무한하지만 공식은 여전히 적용됩니다. 그러나 이제 RMS는 시간 평균이 아니라 대역폭이 0일 때 전압이 일정하기 때문에 이러한 많은 리셋 이벤트에 대한 평균으로 해석되어야 합니다. 이러한 의미에서 RC 회로의 존슨 잡음은 저항기의 개입 없이도 커패시터에 대한 전자 수의 열역학적 분포의 영향인 고유한 것으로 볼 수 있습니다.

소음은 축전기 자체가 아니라 축전기의 전하량의 열역학적 변동에 의해 발생합니다. 커패시터가 전도 회로에서 분리되면 열역학적 변동은 위에 주어진 표준 편차와 함께 임의의 값으로 동결됩니다. 용량성 센서의 리셋 노이즈는 예를 들어 이미지 센서에서 제한 노이즈 소스인 경우가 많습니다.

열 평형에 있는 모든 계는 자유도당 평균 에너지가 kT/2인 상태 변수를 가지고 있습니다. 커패시터의 에너지 공식(E = ½CV)을 사용하면 커패시터의 평균 노이즈 에너지도 ½C(kT/C) = kT/2임을 알 수 있습니다. 커패시터의 열 잡음은 저항을 고려하지 않고 이 관계에서 유도될 수 있습니다.

300 K에서 커패시터의 소음
정전용량	${\sqrt {k_{\text{B}}T/C}$	${\sqrt {k_{\text{B}}TC}}$	전자
1 fF	2mV	2aC	12.5e⁻
10 fF	640 µV	6.4 aC	사십이⁻
100fF	200 µV	20 aC	125e⁻
1pF	64 µV	64 aC	400e⁻
10pF	20 µV	200aC	1250e⁻
100pF	6.4 µV	640 aC	4000e⁻
1nF	2 µV	2fC	12500e⁻

일반화된 양식

$4k_{\text{B}}TR$ $4k_{\text{B}}TR$ $4k_{\text{B}$ 위에서 설명한 $TR}$ 전압 $4k_{\text{B}}TR$ 노이즈는 저주파용 순수 저항성 구성 요소에 대한 특수한 경우입니다. 일반적으로, 열 전기 잡음은 변동-방산 정리의 결과로 더 일반화된 많은 전기적 사례에서 저항 반응과 계속 연관됩니다. 아래에는 다양한 일반화가 나와 있습니다. 이러한 모든 일반화는 고려 중인 전기 구성 요소가 순수하게 수동적이고 선형적인 경우에만 적용된다는 공통된 한계를 가지고 있습니다.

반응 임피던스

Nyquist의 원래 논문은 또한 부분적으로 반응성이 있는 구성 요소, 예를 들어 커패시터 또는 인덕터를 포함하는 소스에 대해 일반화된 노이즈를 제공했습니다.^[4] 이러한 구성 요소는 주파수 의존 복합 전기 임피던스 $Z(f)$ ${\displaystyle$ Z $(f)}$ 로 설명할 수 있습니다 $Z(f)$ 직렬 노이즈 전압의 파워 스펙트럼 밀도 공식은

S_{v_{n}v_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Z(f)].

함수 $\eta (f)$ η(f) ${\displaystyle$ \eta(f)}는 매우 높은 주파수 또는 절대 0에 가까운 경우를 제외하고는 간단히 1과 같습니다(아래 참조).

임피던스의 실제 부분인 $\operatorname {Re} [Z(f)]$ ⁡ $\operatorname {Re} [Z(f)]$ [Z $\operatorname {Re} [Z(f)]$ f)] $\operatorname {Re$ [Z(f)]}은 일반적으로 주파수에 따라 다르므로 Johnson-Nyquist 노이즈는 백색 노이즈가 아닙니다. 주파수 $f_{1}$ $f_{1}$ ${\$ $f_{2}$ $f_{2}$ ${\$ 의 rms 노이즈 전압은 전력 스펙트럼 밀도를 통합하여 확인할 $f_{2}$ 수 있습니다.

⟩

{\sqrt {\langle v_{n}^{2}\rangle }}={\sqrt {\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{v_{n}v_{n}}(f)df}}

∫ f 1 f 2 S v n n ( f ) d f {\displayst

{\sqrt {\langle v_{n}^{2}\rangle }}={\sqrt {\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{v_{n}v_{n}}(f)df}}

{\langle v_{n}^{2}\ra

{\sqrt {\langle v_{n}^{2}\rangle }}={\sqrt {\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{v_{n}v_{n}}(f)df}}

gle}}={\sqrt {\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{v_{n}v_{n}}(f)df}}}.

또는 병렬 노이즈 전류를 사용하여 존슨 노이즈를 설명할 수 있으며, 그 파워 스펙트럼 밀도는 다음과 같습니다.

S_{i_{n}i_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Y(f)].

여기서 $Y(f)=1/Z(f)$ ) = $Y(f)=1/Z(f)$ / $Y(f)=1/Z(f)$ Z( $\operatorname {Re} [Y(f)]=\operatorname {Re} [Z(f)]/|Z(f)|^{2}$ $displaystyle Y(f$ ) = 1 $/Z$ (f)}는 전기적 허용치입니다. Re ⁡ [Y(f)] = Re ⁡ [Z(f)] / Z(f) 2 {\displaystyle \operatorname {Re} [Y(f)] = $\$ operatorname {Re} [Z(f)] / Z(f) ^{2}

고주파 또는 저온에서의 양자효과

나이퀴스트는 또한 절대영도 근처의 매우 높은 주파수 또는 매우 낮은 온도에서 양자 효과가 발생한다고 지적했습니다.^[4] 함수 $\eta (f)$ η (f) ${\displaystyle \$ eta (f)}은 일반적으로 다음과 같습니다.

\eta(f)={\frac {hf/k_{\text{B}}T}{e^{hf/k_{\text{B}}T}-1},

여기서 $h$ $h$ 는 플랑크 상수이고 $\eta (f)$ η (f) ${\displaystyle \$ eta (f)}는 곱셈 인자입니다.

매우 높은 $f\gtrsim k_{\text{B}}T/h$ 에서 $f\gtrsim k_{\text{B}}T/h$ ≳ $f\gtrsim k_{\text{B}}T/h$ B T / $h$ ${\displaystyle$ f $\gtrsim k_{\$ text{B}} $T/h$ 함수 $\eta (f)$ $η$ (f) ${\displaystyle$ \eta(f)}이(가) 지수 함수적으로 0으로 감소하기 시작합니다. 실온에서 이러한 전이는 테라헤르츠에서 발생하며, 이는 기존 전자 제품의 기능을 훨씬 뛰어 넘으므로 기존 전자 제품 작업에 $\eta (f)=1$ η(f) = 1 ${\$ displaystyle \eta(f)= 1}을 설정하는 것이 유효합니다.

플랑크 법칙과의 관계

나이퀴스트의 공식은 1901년 플랑크가 1차원 흑체의 전자기 복사를 위해 유도한 것과 본질적으로 동일합니다. 즉, 그것은 플랑크의 흑체 복사 법칙의 1차원 버전입니다.^[11] 즉, 뜨거운 물체가 자유 공간에서 전자파를 만드는 것처럼 뜨거운 저항기가 전송선로에 전자파를 만드는 것입니다.

1946년 로버트 H. 디케(Robert H. Dicke)는 이 관계를 자세히 설명했으며, 특히 모든 방향에서 평균 안테나 개구가 λ 2 $\lambda ^{2}/(4\pi )$ / $\lambda ^{2}/(4\pi )$ (λ $) {\displaystyle$ \lambda $\lambda ^{2}/(4\pi )$ ^{2} / (4\pi )}보다 클 수 없다는 사실을 안테나의 특성에 연결했습니다. 여기서 π은 파장입니다. 이는 3D 대 1D 플랑크 법칙의 주파수 의존성이 다르기 때문에 발생합니다.

멀티포트 전기망

리처드 큐. Twiss는 Nyquist의 공식을 서큘레이터 및 아이솔레이터와 같은 비상호적 장치를 포함한 다중 포트 수동 전기 네트워크로 확장했습니다.^[13] 모든 포트에서 열 잡음이 발생하며, 각 포트와 직렬로 구성된 랜덤 직렬 전압 소스로 설명할 수 있습니다. 서로 다른 포트의 랜덤 전압은 상관관계가 있을 수 있으며, 그 진폭과 상관관계는 서로 다른 노이즈 전압과 관련된 일련의 교차 스펙트럼 밀도 함수에 의해 완전히 설명됩니다.

S_{v_{m}v_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Z_{mn}(f)+Z_{nm}(f)^{*})

여기서 $Z_{mn}$ $Z_{mn}$ $Z_{mn}$ ${\$ 은 $Z_{{mn}}$ 임피던스 매트릭스 $\mathbf {Z}$ ${\$ 의 요소입니다 $\mathbf {Z}$ 다시 말하지만, 노이즈에 대한 다른 설명은 각 포트에 적용되는 병렬 전류 소스에 대한 것입니다. 이들의 교차 스펙트럼 밀도는 다음과 같습니다.

S_{i_{m}i_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Y_{mn}(f)+Y_{nm}(f)^{*}

여기서 $\mathbf {Y} =\mathbf {Z} ^{-1}$ = $\mathbf {Y} =\mathbf {Z} ^{-1}$ - $\mathbf {Y} =\mathbf {Z} ^{-1}$ 1 {\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {Z} ^{-1}은 입장 행렬입니다.

연속전기역학적 매체

Nyquist 노이즈의 완전한 일반화는 유전율 또는 자기 투과성과 같은 연속 응답 함수에서 소산 응답을 갖는 연속 매체 내부의 노이즈 전류 밀도를 설명하는 변동 전기역학에서 발견됩니다. 변동 전기역학 방정식은 Johnson-Nyquist 잡음과 자유 공간 흑체 복사를 설명하기 위한 공통된 프레임워크를 제공합니다.^[14]

참고 항목

참고문헌

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외부 링크

[1] John R. Barry; Edward A. Lee; David G. Messerschmitt (2004). Digital Communications. Sprinter. p. 69. ISBN 9780792375487.

[2] Anonymous (1927). "Minutes of the Philadelphia Meeting December 28, 29, 30, 1926". Physical Review. 29 (2): 350–373. Bibcode:1927PhRv...29..350.. doi:10.1103/PhysRev.29.350.

[3] Johnson, J. (1928). "Thermal Agitation of Electricity in Conductors". Physical Review. 32 (97): 97–109. Bibcode:1928PhRv...32...97J. doi:10.1103/physrev.32.97.

[Nyquist-4] Nyquist, H. (1928). "Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors". Physical Review. 32 (110): 110–113. Bibcode:1928PhRv...32..110N. doi:10.1103/physrev.32.110.

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[7] Pierce, J. R. (1956). "Physical Sources of Noise". Proceedings of the IRE. 44 (5): 601–608. doi:10.1109/JRPROC.1956.275123. S2CID 51667159.

[8] Vizmuller, Peter (1995), RF Design Guide, Artech House, ISBN 0-89006-754-6

[9] Lundberg, Kent H. "Noise Sources in Bulk CMOS" (PDF). p. 10.

[10] Sarpeshkar, R.; Delbruck, T.; Mead, C. A. (November 1993). "White noise in MOS transistors and resistors" (PDF). IEEE Circuits and Devices Magazine. 9 (6): 23–29. doi:10.1109/101.261888. S2CID 11974773.

[11] Urick, V. J.; Williams, Keith J.; McKinney, Jason D. (2015-01-30). Fundamentals of Microwave Photonics. John Wiley & Sons. p. 63. ISBN 9781119029786.

[12] Dicke, R. H. (1946-07-01). "The Measurement of Thermal Radiation at Microwave Frequencies". Review of Scientific Instruments. 17 (7): 268–275. Bibcode:1946RScI...17..268D. doi:10.1063/1.1770483. PMID 20991753. S2CID 26658623.

[13] Twiss, R. Q. (1955). "Nyquist's and Thevenin's Theorems Generalized for Nonreciprocal Linear Networks". Journal of Applied Physics. 26 (5): 599–602. Bibcode:1955JAP....26..599T. doi:10.1063/1.1722048.

[14] Pitaevskii, L. P.; Lifshitz, E. M. (1980). "Chapter VIII. Electromagnetic Fluctuations". Statistical Physics, Part 2: Theory of the Condensed State. Vol. 9 (1st ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2636-1.

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