이방성 확산

이미지 처리 및 컴퓨터 시각에서 이방성 확산(Perona-Malik diffusion)은 이미지 해석에 중요한 이미지 내용(^[1]^[2]^[3]일반적으로 가장자리, 선 또는 기타 세부 사항)의 중요한 부분을 제거하지 않고 이미지 노이즈를 줄이는 것을 목적으로 하는 기술입니다.이방성 확산은 스케일 공간을 생성하는 프로세스와 유사하며, 여기서 화상은 확산 프로세스에 기초하여 점점 더 많은 흐릿한 화상의 파라미터화된 패밀리를 순차적으로 생성한다.이 패밀리의 각 결과 화상은 2D 등방성 가우스 필터와의 사이에 컨볼루션으로서 주어지며, 여기서 필터의 폭은 파라미터에 따라 증가한다.이 확산 과정은 원본 이미지의 선형 및 공간 불변 변환입니다.이방성 확산은 이 확산 과정을 일반화한 것입니다.파라미터화된 이미지 패밀리를 생성하지만 각 결과 이미지는 원본 이미지와 원본 이미지의 로컬 내용에 따라 달라지는 필터 사이의 조합입니다.그 결과 이방성 확산은 원래 화상의 비선형 공간변환이다.

1987년 ^[1]Perona와 Malik에 의해 제시된 원래의 공식에서, 공간 가변 필터는 사실 등방성이지만, 결과 스케일 공간의 다양한 레벨에 걸쳐 이미지에 보존되어야 하는 에지 및 기타 구조에 가까운 임펄스 함수에 근접하도록 이미지 내용에 의존한다.이 공식은 국소적으로 적응된 필터가 등방성임에도 불구하고 Perona와 Malik에 의해 이방성 확산이라고 언급되었지만, 다른 저자들에 의해 비균질 및^[4] 비선형 확산 또는 Perona-Malik^[5] 확산이라고도 언급되었다.보다 일반적인 공식은 국소적으로 조정된 필터가 가장자리 또는 선과 같은 선형 구조에 가까운 진정한 이방성을 가질 수 있도록 합니다. 즉, 필터는 구조를 따라 연장되고 폭이 좁아지도록 구조에 의해 주어진 방향을 가집니다.이러한 방법을 형상 적응^[6]^[7] 평활화 또는 확산성을 ^[8]높이는 일관성 향상이라고 합니다.그 결과, 결과 화상은 선형 구조를 유지하면서 동시에 이러한 구조를 따라 평활화된다.이 두 경우 모두 일정한 스칼라 대신 확산계수가 영상위치의 함수이며 매트릭스(또는 텐서) 값을 가정하는 통상적인 확산방정식의 일반화로 설명할 수 있다(구조 텐서 참조).

결과 영상 패밀리는 원본 영상과 공간 가변 필터 간의 조합으로 설명할 수 있지만 로컬로 조정된 필터와 영상과의 조합을 실제로 실현할 필요는 없습니다.이방성 확산은 일반적으로 일반화 확산 방정식의 근사치에 의해 구현된다.패밀리 내의 각 새로운 화상은 이 방정식을 이전 화상에 적용하여 계산된다.따라서 이방성 확산은 비교적 단순한 연산 세트를 사용하여 패밀리 내의 각 연속 화상을 계산하는 반복 프로세스이며, 이 프로세스는 충분한 평활도를 얻을 때까지 계속된다.

형식적 정의

공식적으로 $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ R $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ {\ $displaystyle \Omega \display\mathbb {R} ^{2$ }}은 $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ 평면의 서브셋을 $I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ I(θ $I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ $I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ : $I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ $I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ $(\$ I $(\cdot,t):$ $\Omega$ \ $rightarrow \mathbb {R}$ 은 그레이스케일 $I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ 이미지 패밀리입니다 $.$ $I(\cdot ,0)$ ( $I(\cdot ,0)$ , $I(\cdot ,0)$ ) { $style$ I ( \ $cdot , 0$ )는 $I(\cdot ,0)$ 입력 이미지입니다.그러면 이방성 확산은 다음과 같이 정의된다.

(\displaystyle {\frac I}{\partial t}=\mathrm {div}\left(c(x,y,t)\partial I\right)=\nabla c\cdot\c(x,y,t)\Delta I}

여기서 $\Delta$ (\ $displaystyle \Delta ）$ 는 $\Delta$ Laplacian, ${\display{ displaystyle$ \nabla $\mathrm {div} (\dots )$ }는 $\nabla$ $\mathrm {div} (\dots )$ $displaystyle$ $\mathrm {div}(\dots)$ 는 ${\mathrm {div}}(\dots )$ 발산 $c(x,y,t)$ , c $(x, y, t)$ 는 $c(x,y,t)$ 확산 계수입니다.

t $t>0$ > $t>0$ { $displaystyle$ t > $0$ 의 $t>0$ 출력 이미지는 $I(\cdot ,t)$ ( $I(\cdot ,t)$ , $I(\cdot ,t)$ ) { $displaystyle$ I ( \ $cdot , t$ ) $I(\cdot ,t)$ } 로 사용할 수 있습니다. $큰$ t { $displaystyle$ t}는 $t$ 보다 흐릿한 이미지를 생성합니다.

$c(x,y,t)$ c $c(x,y,t)$ ( $c(x,y,t)$ , $c(x,y,t)$ , $c(x,y,t)$ ) { $style$ c $(x , y$ , $t)}$ 는 $c(x,y,t)$ 확산 속도를 제어하며 일반적으로 이미지 구배 함수로 선택되므로 이미지에서 가장자리를 보존합니다.Pietro Perona와 Jitendra Malik은 1990년에 이방성 확산의 개념을 개척했고 확산 계수에 대한 두 가지 함수를 제안했다.

c\left(\displaystyle I\right)=e^{-\left(\displayla I\/K\right)^{2}

그리고.

c\left(\displaystyle I\right)=frac {1}{1+\left\frac {\displayla I\}{K}}{2}

상수 K는 에지에 대한 민감도를 제어하며 일반적으로 실험적으로 또는 영상의 노이즈 함수로 선택됩니다.

동기

M{\ $displaystyle$ M $}$ 이 $M$ 매끄러운 이미지의 다양체를 나타내면 $M$ 에서 제시한 확산 방정식은 $E:M\rightarrow \mathbb {R}$ 함수 $E:M\rightarrow \mathbb {R}$ E : $E:M\rightarrow \mathbb {R}$ $E:M\rightarrow \mathbb {R}$ {\ $displaystyle$ E $:}$ 의 최소화를 위한 경사 강하 방정식으로 해석할 수 있다. $정의 M\rightarrow$ \ $mathbb$ {R $E:M\rightarrow \mathbb {R}$ } $}$

\displaystyle E [ I ] = flac {1} {2} int _{\Omega }g\left(\ displayla I(x)\^{2}\right) , pright}

$g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ 서 $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ g : $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ {\ $style$ g $:\mathbb {R}$ \ $rightarrow \mathbb {R}}$ 은 $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ 확산 계수와 밀접한 관련이 있는 실수값 함수이다.그런 다음 콤팩트하게 지원되는 무한히 차별화된 테스트 $기능$ h $displaystyle$ h에 대해서는

좌측에 전시합니다.\ frac { d } { dt } \ right _ { t = 0 } E [I+th]&=paramfrac {d}{\big }_{t=0}{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\paramla (I+th)(x)\^{2}\right), paramp\&=\int _{\la int {\Omega }g(왼쪽)\laft }{{\lf}\lf}\lf}{{{{{\lf}\lf}\lf}\lf}\lf}\lf}

여기서 마지막 줄은 부품별 다차원 적분으로부터 나옵니다. $\nabla E_{I}$ 의 $\displaystyle$ \ $nabla E_{$ $I}}$ 는 $\nabla E_{I}$ I에서 $L^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )$ 된 $L^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )$ $)$ {{ $displaystyle$ L $^{2}(\Omega,\mathbb {R})}$ 내부 $L^{2}(\Omega ,{\mathbb {R}})$ 곱에 대한 E의 기울기를 나타냅니다. 이는 다음과 같습니다.

\displaystyle \nabla E_{I}=-\mathrm {div}(g'\left(\\sqla I(x)\^{2}\right)\sqla I)}

따라서 함수 E의 경사 강하 방정식은 다음과 같이 주어진다.

(\displaystyle\frac{\partial t}=-\displayla E_{I}=\mathrm {div}(g'\left(\\sqla I(x)\^{2}\right)\sqla I)}

따라서 c $c=g'$ $c=g'$ $≤$ { $displaystyle$ c $=g`$ 로 $c=g'$ 으로써 $c=g'$ 이방성 확산 방정식을 얻을 수 있다.

정규화

∇ 2을 ∥ 때 ∥ 그 확산 계수, c(x, yt){\displaystyle c(x,y,t)}, Perona과 말릭이 제안한 청의;K2{\displaystyle\parallel \nablaI\parallel ^{2}>, 이어질 수 있다.K^{2}}. 그런데 이것은 상태 수학과 차이가 물리적 확산 계수(에 해당합니다 증명될 수 있다.Perona와 Malik)에 의해 정의된 에매틱 확산계수가 음이 되고, 이는 영상 강도를 평활하기 보다는 대비시키는 역확산으로 이어진다.이 문제를 피하기 위해서는 정규화가 필요하며, 사람들은 공간 정규화가 수렴되고 지속적인 정상 상태 ^[9]솔루션으로 이어진다는 것을 보여 주었다.

이를 위해 수정된 Perona-Malik 모델^[10](P-M 방정식의 정규화라고도 함) 중 하나가 논의됩니다.이 접근법에서, 미지의 것은 수정된 Perona-Malik 방정식을 얻기 위해 비선형성 내부의 가우스와 결합된다.

(\displaystyle {\frac I}{\partial t}=\mathrm {div} \left(c(\sigma(G_{\sigma }*I)^{2}\partial la I\right)})

여기서 G $G_{\sigma }=C{\sigma }^{-\left(1/2\right)}\exp \left(-|x|^{2}/4{\sigma }\right)$ $G_{\sigma }=C{\sigma }^{-\left(1/2\right)}\exp \left(-|x|^{2}/4{\sigma }\right)$ C $G_{\sigma }=C{\sigma }^{-\left(1/2\right)}\exp \left(-|x|^{2}/4{\sigma }\right)$ - ( $G_{\sigma }=C{\sigma }^{-\left(1/2\right)}\exp \left(-|x|^{2}/4{\sigma }\right)$ / $G_{\sigma }=C{\sigma }^{-\left(1/2\right)}\exp \left(-|x|^{2}/4{\sigma }\right)$ ) $G_{\sigma }=C{\sigma }^{-\left(1/2\right)}\exp \left(-|x|^{2}/4{\sigma }\right)$ - x $G_{\sigma }=C{\sigma }^{-\left(1/2\right)}\exp \left(-|x|^{2}/4{\sigma }\right)$ / $G_{\sigma }=C{\sigma }^{-\left(1/2\right)}\exp \left(-|x|^{2}/4{\sigma }\right)$ $G_{\sigma }=C{\sigma }^{-\left(1/2\right)}\exp \left(-|x|^{2}/4{\sigma }\right)$ C { \ $sigma }^{$ - \ left ( $1$ / $2$ \ right )\ $exp$ \ left x $^2$ } / $4 ^ right$

이 정규화를 통해 방정식의 양호한 위치를 얻을 수 있지만 정규화의 주요 단점인 흐림 효과도 초래합니다.소음 레벨에 대한 사전 지식이 필요합니다. 정규화 파라미터의 선택이 소음 레벨에 좌우되기 때문입니다.

적용들

이방성 확산은 가장자리를 흐리지 않고 디지털 이미지에서 노이즈를 제거하기 위해 사용할 수 있습니다.일정한 확산 계수로 이방성 확산 방정식은 가우스 블러링과 동등한 열 방정식으로 감소합니다.이것은 노이즈 제거에 이상적이지만 가장자리가 무차별하게 흐려집니다.Perona-Malik과 같이 확산 계수를 에지 회피 함수로 선택한 경우 결과 방정식은 영상 강도가 더 부드러운 영역 내에서 확산(즉, 평활)을 촉진하고 강한 에지 전체에 걸쳐 억제합니다.따라서 이미지에서 노이즈를 제거하는 동안 가장자리가 보존됩니다.

노이즈 제거와 같은 선에 따라 이방성 확산은 에지 검출 알고리즘에 사용할 수 있습니다.엣지 탐색 확산 계수를 일정 반복으로 하여 확산함으로써 일정 성분 간의 경계를 엣지로 하여 분할적으로 일정한 화상으로 화상을 전개할 수 있다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b Pietro Perona and Jitendra Malik (November 1987). "Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion". Proceedings of IEEE Computer Society Workshop on Computer Vision. pp. 16–22.
^ Pietro Perona and Jitendra Malik (July 1990). "Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion" (PDF). IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 12 (7): 629–639. doi:10.1109/34.56205.
^ Guillermo Sapiro (2001). Geometric partial differential equations and image analysis. Cambridge University Press. p. 223. ISBN 978-0-521-79075-8.
^ Joachim Weickert (July 1997). "A Review of Nonlinear Diffusion Filtering". Scale-Space Theory in Computer Vision. Springer, LNCS 1252. pp. 1–28. doi:10.1007/3-540-63167-4.
^ Bernd Jähne and Horst Haußecker (2000). Computer Vision and Applications, A Guide for Students and Practitioners. Academic Press. ISBN 978-0-13-085198-7.
^ Lindeberg, T., Kluwer Academic Publishers, 1994, ISBN 0-7923-9418-6, (15장).
^ Andres Almansa and Tony Lindeberg (2000). "Fingerprint Enhancement by Shape Adaptation of Scale-Space Operators with Automatic Scale-Selection". IEEE Transactions on Image Processing. 9 (12): 2027–2042. Bibcode:2000ITIP....9.2027L. doi:10.1109/83.887971. PMID 18262941.
^ Weickert, 이미지 처리의 J 이방성 확산, Teuber Verlag, Stuttgart, 1998.
^ 바이커트, 요아힘"비선형 확산 필터링 검토"컴퓨터 비전에서의 규모 공간 이론에 관한 국제 회의스프링거, 베를린, 하이델베르크, 1997
^ Guidotti, P Some 이방성 확산, 2009.

외부 링크

Mathematica PeronaMalikFilter 함수.
IDL 비선형 이방성 확산 패키지(엣지 강화 및 일관성 강화):[1]

[Perona-Malik-1987-1] Pietro Perona and Jitendra Malik (November 1987). "Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion". Proceedings of IEEE Computer Society Workshop on Computer Vision. pp. 16–22.

[Perona-Malik-1990-2] Pietro Perona and Jitendra Malik (July 1990). "Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion" (PDF). IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 12 (7): 629–639. doi:10.1109/34.56205.

[Sapiro-2001-3] Guillermo Sapiro (2001). Geometric partial differential equations and image analysis. Cambridge University Press. p. 223. ISBN 978-0-521-79075-8.

[Weickert-review-4] Joachim Weickert (July 1997). "A Review of Nonlinear Diffusion Filtering". Scale-Space Theory in Computer Vision. Springer, LNCS 1252. pp. 1–28. doi:10.1007/3-540-63167-4.

[Jähne-Haußecker-2000-5] Bernd Jähne and Horst Haußecker (2000). Computer Vision and Applications, A Guide for Students and Practitioners. Academic Press. ISBN 978-0-13-085198-7.

[lin94-6] Lindeberg, T., Kluwer Academic Publishers, 1994, ISBN 0-7923-9418-6, (15장).

[AlmLin00-7] Andres Almansa and Tony Lindeberg (2000). "Fingerprint Enhancement by Shape Adaptation of Scale-Space Operators with Automatic Scale-Selection". IEEE Transactions on Image Processing. 9 (12): 2027–2042. Bibcode:2000ITIP....9.2027L. doi:10.1109/83.887971. PMID 18262941.

[Weickert-1998-8] Weickert, 이미지 처리의 J 이방성 확산, Teuber Verlag, Stuttgart, 1998.

[Weickert,Joachim-1997-9] 바이커트, 요아힘"비선형 확산 필터링 검토"컴퓨터 비전에서의 규모 공간 이론에 관한 국제 회의스프링거, 베를린, 하이델베르크, 1997

[Guidotti-2009-10] Guidotti, P Some 이방성 확산, 2009.

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