글래스터의 마스터 정리

적분 미적분학에서 글래스터의 마스터 정리는 특정 종류의 대체물이 -${\displaystyle \mathrm{-}}$ ${\displaystyle -\infit }$에서 +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$까지 전체 간격에 걸쳐 특정 통합을 단순화할 수 있는 방법을 설명한다${\displaystyle .}$ -$$∞ {\$displaystyle$+\$infit.}$ 통합이 Cauchy 기본 값으로 해석되어야 하는 경우에 적용되며$$, fortiiiiii i.s 일체형이 절대적으로 수렴될 때 적용된다.1983년 선보인 M. L. 글래서(M. L. Glasser)의 이름을 딴 것이다.^[1]

특별한 경우: Cauchy-Schlömilch 변환

19세기 초 카우치-슐뢰밀치 대체 또는 카우치-슐뢰밀치 변환이라는^[2] 특수한 사례가 카우치에게 알려졌다.^[3]라고 되어 있다.

${\displaystyle u=x-{\frac {1}{x}\,}$

그때

${\displaystyle \operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(u)\,dx=\operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(x)\,dx\qquad ({\text{Note: }}F(u)\,dx,{\text{ not }}F(u)\,du)}$

여기서 PV는 Cauchy 기본값을 나타낸다.

마스터 정리

${\displaystyle a$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$및 ${\displaystyle b_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) 실제 숫자와

${\displaystyle u=x-a-\sum _{n=1}^{{N}{\frac {a_{n}}{x-b_{n}}}}}}}}}}}$

그때

${\displaystyle \operatorname {PV} \int _{-\nf(u)\,dx=\operatorname {PV} \int _{-\nft }^{\inft }F(x)\,dx.}$

예

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2}\,dx}{x^{4}+1}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{\left(x-{\frac {1}{x}}\right)^{2}+2}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+2}}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}.}$

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Glasser's Master Theorem". MathWorld.