잔류 부울 대수

Residuated Boolean algebra

수학에서 잔여 부울대수는 잔여 격자 구조를 부울대수의 격자 구조로 하는 잔여 격자 구조는 부울대수의 격자 구조다.예를 들어, 연결될 단면체의 부울 알헤브라스, 연결될 때 주어진 알파벳 Ⅱ에 대한 모든 공식 언어 집합, 관계형 구성 하에서 주어진 집합 X에 대한 모든 이진 관계 집합, 그리고 보다 일반적으로 관계형 구성 하에서 다시 모든 동등성 관계의 파워셋이 포함된다.원래 적용은 알헤브라를 이진관계의 정밀하게 공리화된 일반화로서 연관시키는 것이었지만, 언어의 예처럼 알헤브라와 관계가 아닌 잔여 부울알헤브라의 흥미로운 예가 존재한다.

정의

잔류 부울대수는 다음과 같은 대수 구조(L, ∧, ∨, ¬, 0, 1, • I, \, /)이다.

  1. (L, ∧, ∨, • I, \, /)은 잔류 격자이며,
  2. (L, ∧, ∨, ¬, 0, 1)은 부울 대수학이다.

관계 대수 적용에 더 적합한 등가 서명은 (L, ∧, ∨, ¬, ¬, 0, 1, • I, ▷, ▷)이며, 여기서 단항 연산 x\와 x ▷를 통해 De Morgan의 법칙을 상호 변환할 수 있다.

x\y = ¬(x ▷y), x ▷y = ¬(x\yyy),

그리고 로서 dolly /y와 ◁y.

x/y = ¬(¬x◁y), x◁y = ¬(¬x/y),

잔여 격자 기사의 잔여 공리를 적절히 재구성( ( z by ¬z)하여 읽음

(x ▷z)∧y = 0⇔ (x•y)yz = 0 0 (z (y)yx = 0

이 De Morgan 이중 개혁은 동기를 부여하고 아래 절에서 더 자세히 논의한다.

잔여 래티스와 부울 알헤브라는 각각 미세하게 많은 방정식으로 정의할 수 있기 때문에 잔류 부울 알헤브라는 미세하게 공리할 수 있는 품종을 형성한다.

예

  1. 모든 부울 대수(단모형 곱셈 • 결합으로 취함)와 두 잔차 모두 물질적 함축 x→y로 취함.모노이드 곱셈을 위해 연계하여 고려할 수 있는 나머지 15개의 이진 부울 연산 중에서 단조로움 요구 조건인 0, 1, x, y, x xy를 충족하는 것은 5개에 불과하다.y = z = 0을 잔존공리 y y x\z x•y z z에 설정하며, 0 ≤ x\0 ⇔ x•0 ≤ 0이 있는데, x•y = 1, x, x∨y일 때 x = 1을 취하여 위변조된다.z/y에 대한 이중 인수는 x•y = y를 배제한다.이렇게 하면 x•y = 0(x와 y에 독립적인 상수 이항 연산)만 남게 되는데, 이는 잔차가 모두 상수 연산 x/y = x\y = 1인 경우 거의 모든 공리를 만족한다.그것이 실패하는 공리는 x•I = x = I•x이며, I에 적합한 값이 필요하다.따라서 접속사는 잔여 부울 대수의 단일 곱셈을 만드는 유일한 이진 부울 연산이다.
  2. 동력 세트 2는X2 X에2 상대적인 ∩, ∪, 보완으로 평소와 같이 부울대수를 만들고 관계형 구성으로 단조형을 만들었다.단면 단위 I는 ID 관계 {(x,x) x x X}이다.오른쪽 잔차 R\S는 X의 모든 z에 대해 zRx가 zSy를 암시하는 경우에만 x(R\S)y로 정의된다.X의 모든 z에 대해 xRz가 ySz를 암시하는 경우에만 dallally 왼쪽 잔차 S/R이 y(S/R)x로 정의된다.
  3. 전원 세트 2는Σ* 예 2와 같이 부울 대수를 만들었지만, 단면체의 언어 연결로 만들었다.여기서 집합 σ은 알파벳으로 사용되며, **은 해당 알파벳 위에 모든 유한(빈 단어 포함)의 집합을 의미한다.L과 M 언어의 결합 LM은 u ∈ L과 v ∈ M과 같은 모든 단어로 구성된다.모노이드 단위는 빈 단어 ε만으로 구성된 언어 {ε}이다.오른쪽 잔차 M\L은 Mw ⊆ L과 같은 σ 이상의 모든 단어로 구성된다.왼쪽 잔존 L/M은 mw 대신 wM과 동일하다.

결합

De Morgan 듀얼스 ▷와 ◁은 다음과 같이 발생한다.잔류 격자 중 부울 알헤브라는 보완작전이 있어 특별하다.이로써 세 가지 불평등을 대체적으로 표현할 수 있게 되었다.

y ≤ x\z x•y y z x ≤ z/y

두 잔차의 공리화에서 등가성 x y y x xyy = 0. 절연 xyy = 0 ~ x # y를 통해 그들의 해체성의 표현으로 사용하고, 공리에서 zz를 z에 대입하여 약간의 부울 조작을 하게 된다.

¬(x\¬z) # y⇔ x•y # z⇔ ¬(¬z/y) # x

이제 ¬(x\¬z)은 De Morgan 이중성을 연상시키므로, x\y에 의해 정의된 x\는 fxφ(x) = ¬xφ(x)와 유사한 de Morgan 이중 ¬f(¬y)를 갖는 단항 연산 f로 생각될 것을 제안한다.이 이중 연산을 x ▷로 나타내며 x ▷z를 ¬(x\¬z)로 정의한다.이와 유사하게 우리는 또 다른 작업 zzy를 ¬(¬z/y)로 정의한다.x\와 유사하게 x• 연산과 관련된 잔여 연산을 x•의 결합 연산을 가리킨다.마찬가지로 ◁y는 •y의 결합이다.잔차와는 달리, 결합은 연산 사이의 동등성 관계인데, 만약 f가 g의 결합이라면 g도 f의 결합이다. 즉 f의 결합은 f이다.결합의 또 다른 장점은 오른쪽과 왼쪽의 결합을 말할 필요가 없게 된다는 것이다. 그 구별은 각각의 결합체 x ▷와 xx로 존재하는 x•와 •x의 차이로부터 유전된다. (그러나 이러한 장점은 x\를 x•에 대한 잔류 연산으로 간주할 때 잔차에도 발생한다.)

이 모든 산출물은 (부울 대수 및 단면 공리와 함께) 잔류 부울 대수의 다음과 같은 등가 공리화된다.

y # x ▷z x•y # z ⇔ x ⇔y

이 서명으로 이 공리화가 정밀하게 많은 방정식으로 표현될 수 있는 경우가 남아 있다.

컨버스

사례 2와 3에서 x ▷I = I◁x를 나타낼 수 있다.예제 2에서는 양쪽이 x의 역 x x x와 같으며, 예제 3에서는 x가 빈 단어를 포함할 때 양쪽이 모두 I이고 그렇지 않으면 0이다.앞의 경우 x˘ = x.x는 x에 대한 정보를 거의 갖고 있지 않기 때문에 후자에겐 불가능한 일이다.따라서 예제 2에서는 x의 x를 x의 x로 대체할 수 있고 x의 x는 x의 x = i canx로 바꿀 수 있으며, 취소(소리나게)는 다음과 같이 할 수 있다.

x˘ ▷I = x = I◁x˘.

x˘˘ = x는 이 두 방정식에서 증명할 수 있다.타르스키의 관계 대수 개념은 이 두 방정식을 만족시키는 연산 x˘을 갖는 잔류 부울 대수학으로 정의할 수 있다.

위의 취소 단계는 관계 대수인 예 3에서는 가능하지 않으며, 따라서 x˘은 x ▷I로 고유하게 결정된다.

이 역의 공리화 결과에는 x˘˘ = x, ¬(x˘) = (¬x)˘, (x∨ y)˘ = x˘ y y y, (x•y)˘ = y˘•x˘이 있다.

참조