비선형 디락 방정식

표기법은 Ricci 미적분학과 Van der Waerden 표기법을 참조하십시오.

양자장 이론
파인만 도표
역사
배경 장 이론 전자기학 약한 힘 강한 힘 양자역학 특수상대성 일반상대성 게이지 이론
대칭 양자역학의 대칭 C대칭 P-대칭 T-대칭 공간 번역 대칭 시간 변환 대칭 회전 대칭 로렌츠 대칭 푸앵카레 대칭 게이지 대칭 명시적 대칭 깨짐 자연대칭파단 양-밀스 이론 노에더 전하 위상 전하
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방정식 디라크 방정식 클라인-고든 방정식 프로카 방정식 휠러-드위트 방정식 바그만-위그너 방정식
표준 모델 양자전기역학 전기와크 상호작용 양자 색역학 힉스 메커니즘
불완전 이론 위상 양자장 이론 끈 이론 초대칭 테크니컬러 만물론 양자 중력
과학자들 C. D. 앤더슨 P. W. 앤더슨 베테 비요르켄 보골류보프 브라우트 캘런 콜먼 드위트 디락 다이슨 잉글러트 페르미 파인만 피에르즈 포크 프롤리히 글래쇼 겔만 징그럽다 구랄니크 하이젠베르크 힉스 하그 하겐 't 후프트' 조던 켄달 키블 양고기 란다우 리 메이저나나 밀스 남부 니시지마 파리시 폴리아코프 살람 슈윙거 스카이르메 수다르산 토모나가 벨트만 병동 와인버그 바이스코프 바일 윌체크 윌슨 양 유카와
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양자장 이론에서 비선형 디락 방정식은 자가 상호작용 디락 페르미온의 모델이다. 이 모델은 양자물리학에서 자기 상호작용 전자의 장난감 모델로서 널리 검토되고 있다.^{[1][2][3][4][5]}

비선형 디락 방정식은 아인슈타인-카르탄-시아마-키블 중력 이론에 나타나며, 일반 상대성 이론은 내적인 각운동량(spin)으로 물질로 확장된다.^[6][7] 이 이론은 아핀 연결부의 대칭의 제약을 제거하고 그 대칭 부분인 비틀림 텐서(torsion tensor)를 작용을 변화시키는 변수로 취급한다. 결과 장 방정식에서 비틀림 텐서는 스핀 텐서의 동질적이고 선형적인 함수다. 따라서 비틀림과 디락 스피너 사이의 최소 결합은 페르미온 물질에서 축축, 스핀-스핀 상호작용을 생성하며, 이는 매우 높은 밀도에서만 유의하게 된다. 결과적으로 디락 방정식은 스피너장에서 비선형(큐빅)이 되어 페르미온을 공간적으로 확장시키고 양자장 이론에서 자외선 차이를 제거할 수 있다.^[8][9][10]

모델

두 가지 일반적인 예가 대규모의 시스링 모델과 솔러 모델이다.

시어링 모형

Tirring 모델은^[11] 원래 (1 + 1) 시공간 차원의 모델로 공식화되었으며, 라그랑의 밀도가 특징이다.

${\displaystyle {\mathcal{L}={\overline {\psi }}}}(i\partial \!\!)!\!/-m)\cHB -{\frac {g}{2}}\좌측\오버라인 {\noff}\오버라인 {\mu }\noffer \우측)\좌측\오버라인 {\noffer _{\mu }\noffectrine _{\noff}\noffer \우측)}}}$

여기서 ψ ∈ C는² 스피너 필드, ψ = ψ*γ은⁰ 디라크 부선 스피너,

$\displaystyle \put \!\!\!/=\sum _{\mu =0,1}\mu ^{\mu }{\frac }{\frac }{\mu }}}}$

(Feynman 슬래시 표기법 사용), g는 연결 상수, m은 질량, γ은^μ 2차원 감마 행렬, 마지막으로 μ = 0, 1은 지수.

솔러 모델

솔러 모델은^[12] 원래 (3 + 1) 공간-시간 차원으로 공식화되었다. 라그랑고 밀도가 특징이다.

${\displaystyle {\mathcal{L}={\overline {\psi }}\왼쪽(i\partial \!\!)!\!/-m\right)\cHB +{\frac {g}{2}}\좌석\오버라인 {\cHB \i1}{2},$

위와 같은 명칭을 사용하여, 다음을 제외한다.

$\displaystyle \put \!\!\!/=\sum _{\mu =0}^{3}\mu ^{\mu }{\frac }{\frac }{\mu }}}}$

4차원 Dirac 감마 행렬 ices과^μ 계약한 4차원 연산자 μ = 0, 1, 2, 3이 있다.

아인슈타인-카르탄 이론

아인슈타인-카르타 이론에서 디락 스피너 필드의 라그랑비아 밀도는 (${\displaystyle }$= ${\displaystyle \hslash }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ c$=\hbar$=1$\})$에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\mathcal{L}={\sqrt {-g}\좌({\overline {\psi }}}}\좌(i\gamma^{\mu }-m\오른쪽))}}$

어디에

${\displaystyle D_{\mu }}=\partial _{\mu }+{\frac {1}{1}}\ma _{\nu \rho \ma ^{\nu }\rho }}}}}}}{\rho }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

아핀 연결에 관한 스피너의 Fock-Ivanenko 공변량 파생상품이며, $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle {\rho }_{}}$ ρ ${\$$\rho$$$}}}}은 스핀 연결이고, g$${\$displaystyle$ g$}$은 미터법 $텐서{\displaystyle {}_{}}$ g ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ \{\$d}$의 결정요인자이고$,$ 디라크 행렬을 만족한다.

$\displaystyle \gamma ^{\mu ^{\mu ^}{\nu }+\gma ^{\mu \nu }}{\mu \nu }I.}$

스핀 연결에 대한 아인슈타인-카르탄 필드 방정식은 부분 미분 방정식이 아닌 스핀 연결과 스피너 필드 사이에 대수적 제약조건을 발생시켜 스핀 연결을 이론에서 명시적으로 제거할 수 있게 한다. 최종 결과는 효과적인 "spin-spin" 자가 상호작용을 포함하는 비선형 Dirac 방정식이다.

${\displaystyle i\gamma ^{\mu }D_{\mu }\psi -m\psi =i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }\psi +{\frac {3\kappa }{8}}\left({\overline {\psi }}\gamma _{\mu }\gamma ^{5}\psi \right)\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi -m\psi =0,}$

여기서 $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ $[\$은 스피너의 일반-상대적 공변량 파생상품이며, $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$은 아인슈타인 중력 상수, 8 $8\frac{\mathrm{}}{}$ G $\frac{{}^{}}{}$ $\frac{\pi }{}$ G $\frac{{4\mathrm{}}^{}}{}$ ${\frac$ {$8\pi$ G$}{c^{4$ 이 방정식의 입방 항은 m $\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}$ $\frac{{}^{}}{}$ ${\frac {m^{2}}:{\cappa }}}$의 순서에 따라 밀도에서 유의해진다$.$

참고 항목

• 디라크 방정식
• 물리공간의 대수학에서의 디락 방정식
• 그로스-네베우 모델
• 고차원 감마 행렬
• 비선형 슈뢰딩거 방정식
• 고정 비선형 디라크 방정식에 대한 포코즈하프의 정체성
• 솔러 모델
• 시어링 모형

참조