뉴턴 포텐셜

수학에서 뉴턴의 전위 또는 뉴턴의 전위는 무한대에서 충분히 매끄럽고 빠르게 부패하는 함수에서 음의 라플라시안과 역행하는 벡터 미적분학의 연산자다. 이와 같이 전위론에서 근본적인 연구의 대상이다. 그것의 일반적인 성질상, 그것은 라플라스 방정식의 근본적인 해결책인 뉴턴 커널 Ⅱ인 원점에 수학적 특이점을 갖는 함수를 가진 콘볼루션에 의해 정의되는 단일한 적분 연산자다. 그것은 뉴턴의 만유인력의 법칙에서 근본적인 중력 전위 역할을 했던 세 변수의 특수한 경우에서 그것을 처음 발견하고 조화 함수임을 증명했던 아이작 뉴턴의 이름을 따서 명명되었다. 현대 전위 이론에서 뉴턴의 전위는 대신 정전기 전위로 간주된다.

압축적으로 지원되는 통합형 함수의 뉴턴의 잠재력은 콘볼루션으로 정의된다.

${\displaystyle u(x)=\gamma *f(x)=\int_{\mathb {R}^{d}}\gamma(x-y)f(y)\,dy}$

여기서 차원 d의 뉴턴 커널 γ은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \Gamma(x)={\begin{case}{\frac {1}{1}{2\pi }\log {x }&d=2\\\\\\\frac {1}{d(2-d)\morea _{d}x{2-d}&d\neq 2.\end{case}}}$

여기서 Ω은_d 단위 d-ball의 부피(때로는 수화 규칙이 다를 수 있다; 비교(Evans 1998) 및 (Gilbarg & Trudinger 1983)이다. 예를 들어, ${\displaystyle \mathrm{d}}$= 3 ${\displaystyle d=3}$의 경우 ${\displaystyle \gamma (}$x )${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- 1${\displaystyle }$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \pi x}$ )${\displaystyle }$. ${\displaystyle \Gamma(x)=-1/(4\pi$ x $)$가 있다.$}$

newton의 뉴턴 전위 w는 포아송 방정식의 해법이다.

$\displaystyle \Delta w=f,\,}$

즉, 함수의 뉴턴 전위를 취하는 연산은 라플라스 연산자와 부분적으로 역행한다는 것이다. w는 f가 경계되고 오토 헐더(Otto Hölder)가 나타낸 것처럼 국소 쾰더(Hölder)가 연속적으로 나타난다면 두 배 다른 고전적인 해법이 될 것이다. 연속성만으로 충분한가 하는 것은 공공연한 문제였다. 이는 w가 두 배 이상 차이가 나지 않는 연속 f의 예를 든 헨리크 페트리니에 의해 잘못된 것으로 드러났다. w에 어떤 고조파 함수를 추가해도 방정식에 영향을 주지 않기 때문에 해법은 고유하지 않다. 이 사실은 적절한 정규 영역에서 포아송 방정식에 대한 디리클레 문제에 대한 해결책의 존재와 고유성을 입증하는 데 사용될 수 있으며, 적절한 행동의 함수 ƒ: 먼저 뉴턴의 전위를 적용하여 해결책을 얻은 다음, 정확한 경계 데이터를 얻기 위해 조화 함수를 추가하여 조정할 수 있다.

뉴턴의 전위는 보다 광범위하게 콘볼루션으로 정의된다.

${\displaystyle \Gamma *\mu (x)=\int_{\mathb {R}^{d}\Gamma (x-y)\d\mu (y)}$

μ가 콤팩트하게 지원되는 라돈 측정값일 때. 그것은 포아송 방정식을 만족시킨다.

${\displaystyle \Delta w=\mu \,}$

분배의 관점에서 게다가, 그 측정치가 양성이면 뉴턴의 전위는 R에서^d 하위조화성이 된다.

만약 ƒ이 회전 불변성인 콤팩트하게 지원되는 연속함수(또는 보다 일반적으로 유한한 척도)라면, γ을 가진 with의 convolution은 ƒ의 지지 밖에서 x에 대해 만족한다.

${\d}f*\감마(x)=\lambda \감마(x),\quad \lambda=\int_{\mathb {R} ^{d}f(y)\,dy.}$

차원 d = 3에서, 이것은 훨씬 더 큰 수직 대칭 질량 분포 외부에 있는 작은 질량의 잠재적 에너지가 더 큰 물체의 모든 질량이 그것의 중심에 집중된 것과 같다는 뉴턴의 정리로 감소한다.

측정 μ가 R을^d 두 영역 D와₊ D로₋ 나누는 충분히 매끄러운 초대면 S(Hölder 등급 C의^1,α Lyapunov 표면)의 질량 분포와 연관되어 있을 때, μ의 뉴턴 전위를 단순층 전위라고 한다. 단순층 전위는 연속적이며 S를 제외한 Laplace 방정식을 해결한다. 그것들은 닫힌 표면의 전하 분포와 관련된 정전기 전위의 맥락에서 전기학 연구에 자연스럽게 나타난다. 만약 dμ = μ dH가 (d - 1)차원 Hausdorff 측정치를 가진 S의 연속함수의 산물이라면, S의 지점 y에서 정상파생물은 층을 건널 때 점프 불연속성 uity(y)을 겪는다. 더욱이 정상파생상품은 S에 잘 정의된 연속함수 w이다. 이것은 라플라스 방정식의 노이만 문제 연구에 특히 적합한 단순한 층을 만든다.

참고 항목

• 이중층 전위
• 그린의 기능
• 리에즈 포텐셜
• 3변수 라플라스 방정식에 대한 그린의 함수

참조

• Evans, L.C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2.
• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, New York: Springer, ISBN 3-540-41160-7.
• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Newton potential", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Simple-layer potential", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Surface potential", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press