프로베니우스 내형성

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정류 대수학 및 장 이론에서 프로베니우스 내형성(Frobenius Georg Frobenius 이후)은 유한장을 포함하는 중요한 등급인 주요 특성 p를 가진 정류 링의 특수한 내형성이다.내형성은 모든 요소를 그것의 p-th 힘에 매핑한다.어떤 맥락에서 보면 그것은 자동 형태론이지만, 이것은 일반적으로 사실이 아니다.null

정의

R은 primary 특성 p를 가진 communative ring이 되도록 하자(예를 들어, 양성 특성의 적분 영역은 항상 primary 특성을 가지고 있다).프로베니우스 내형성 F는 에 의해 정의된다.

${\displaystyle F(r)=r^{p}}$

모든 R에 대하여R:의 곱셈을 존중한다.

${\displaystyle F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F,}$

그리고 F(1)도 1이다.그러나 R의 추가도 존중한다.표현(r + s)^p은 이항 정리를 사용하여 확장할 수 있다.p는 원시이기 때문에 p!를 나누지만 q!는 q < p에 대해 나누지 않는다. 따라서 이항계수의 명시적 공식에 대한 분모는 나누지 않지만 분자는 나누지 않는다.

$♪ 디스플레이 스타일 ♪\frac {\fac(*frac) {p!}{{k!(p-k)!}},}$

1 ≤ k p p - 1인 경우.따라서 r과^p s를^p 제외한 모든 항들의 계수는 p로 나누어지며, 따라서 소멸된다.^[1]그러므로

${\displaystyle F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s)}$

이것은 F가 고리 동형상이라는 것을 보여준다.null

만약 : : R → S가 특성 p의 고리의 동형상이라면,

$\pi(x^{p})=\pi(x)^{p}}$

만약_R F와_S F가 R과 S의 프로베니우스 내형성이라면, 이것은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle \phi \circ F_{R}=F_{S}\circle \phi .}$

이것은 프로베니우스 내형성이 특징적인 p링의 범주에 있는 정체성 펑터로부터 그 자체로 자연적인 변형이라는 것을 의미한다.null

만약 R 링이 nilpotent 원소가 없는 고리라면, 프로베니우스 내형성은 주입성: F(r) = 0은^p r = 0을 의미하며, 정의상 r은 최대 p에서 질서의 nilpotent임을 의미한다.사실, 이것은 필요하고 충분하다. 왜냐하면 만약 r이 어떤 영약이라면, 그것의 힘 중 하나는 최대 p에서 질서의 영약원이 될 것이기 때문이다.특히 R이 분야라면 프로베니우스 내형성은 주입된다.null

프로베니우스 형태론은 R이 밭일 때에도 반드시 허탈한 것은 아니다.예를 들어 K = F(t_p)를 단일 초월 요소와 함께 p 요소의 유한한 영역으로 하자. 동등하게 K는 F에_p 계수가 있는 합리적인 함수의 영역이다.그러면 F의 이미지는 t를 포함하지 않는다.만약 그렇다면 p-th power q(t)/^pr(t)^p가 t와 같은 합리적인 함수 q(t)/r(t)가 있을 것이다.그러나 이 p-th 동력의 정도는 p의 배수인 p deg(q) - p deg(r)이다.특히 t의 정도인 1이 될 수 없다.이것은 모순이다. 그래서 t는 F의 이미지에 있지 않다.

필드 K는 특성이 0이거나 양성이며 프로베니우스 내형성이 자동형성이라면 완벽이라고 불린다.예를 들어, 모든 유한한 분야가 완벽하다.null

프로베니우스 내형성의 고정점

유한 필드 F를_p 고려하십시오.페르마의 작은 정리에 의해_p F의 모든 원소 x는^p x = x를 만족한다. 동등하게 다항식^p X - X의 근원이 된다.따라서 F의_p 원소는 이 방정식의 p 루트를 결정하는데, 이 방정식은 도 p를 가지기 때문에 어떤 확장에도 p 루트를 가지지 않는다.특히 K가 F의_p 대수적 확장(대수학적 폐쇄 또는 다른 유한장 등)이라면 F는_p K의 프로베니우스 자동형성의 고정장이다.

R을 특성 p > 0의 링으로 하자. R이 일체형 영역이라면, 같은 추리에 의해 프로베니우스의 고정점은 원시 영역의 요소다.단, R이^p 도메인이 아닌 경우, X - X는 p 루트를 초과할 수 있다. 예를 들어, R_p = F × F일_p 경우 이러한 현상이 발생한다.

프로베니우스 자동형성의 n번째 반복에 의해$$ 유한 필드 $F{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {p^{}}_{}}$ n ${\$에서 유사한 속성을 누린다.Every element of ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$ is a root of ${\displaystyle X^{p^{n}}-X}$, so if K is an algebraic extension of ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$ and F is the Frobenius automorphism of K, then the fixed field of Fⁿ is ${\displaysty$$le \mathbf {F} _{p^{n}}}$. If R is a domain which is an ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$-algebra, then the fixed points of the nth iterate of Frobenius are the elements of the image of ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}$.

프로베니우스 지도를 반복하면 R:

${\displaystyle x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots .}$

이 일련의 반복은 프로베니우스 폐쇄와 이상에 대한 엄격한 폐쇄를 정의하는데 사용된다.null

Galois 그룹의 생성자로서

유한한 장의 확장의 갈루아 집단은 프로베니우스 오토모프리즘의 반복에 의해 생성된다.첫째, 지상장이 주요 필드 F인_p 경우를 고려한다.F는_q q 원소의 유한한 필드(여기서 q = pⁿ)가 되도록 한다.F의_q 프로베니우스 오토모르피즘 F는 프라임 필드 F를_p 고정하기 때문에 갈루아 그룹 갈(F_q/F_p)의 한 요소다.실제로 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은(는) q - 1 원소와 순환하므로 갈루아 그룹은 순환이고 F는 발전기임을 알고 있다.f의ⁿ 순서는 원소 x를 x에^q 보내어 원소에 작용하기 때문에 n이며, 이것이 F의 원소에_q 대한 정체성이다.F의_q 모든 자동형은 F의 힘이며, 발전기는 i-coprime을 n으로 하는 F의ⁱ 힘이다.

이제 유한 필드 F를_q^f F의_q 확장으로 간주한다. 여기서 q = p는ⁿ 위와 같다.n > 1이면 F의_q^f 프로베니우스 오토모르프 F는 지상장 F를_q 고정하지 않지만, 그것의 n번째 반복 F는ⁿ 고정한다.갈루아 그룹 갈(F_q^f/F_q)은 순서 f의 주기적인 것이며 F에ⁿ 의해 생성된다.F에ⁿ 의해 생성되는 Gal(F_q^f/F_p)의 부분군이다.Gal(F_q^f/F_q)의 발전기는 내가ⁿⁱ F와 같은 위치에 있는 힘 F이다.null

프로베니우스 오토모르프리즘은 절대 갈루아 집단의 발생기가 아니다.

${\displaystyle \operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbf {F} _{q}/\mathbf {F} _{q}\right),}}$

이 갈루아 집단은 무한정 정수에 대해 이질성이 있기 때문이다.

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {Z}}}}}=\varprojlim_{n}\mathbf {Z} /n\mathbf {Z},}$

주기적이지 않은.그러나 프로베니우스 오토모르프리즘은 F의_q 모든 유한한 연장선의 갈루아 집단의 발생기이기 때문에 절대 갈루아 집단의 모든 유한한 지분의 발생기라고 할 수 있다.따라서 절대 갈루아 그룹의 통상적인 Krull 위상에 있는 위상 발전기가 된다.null

계획을 위한 프로베니우스

어떤 계획을 위해 프로베니우스 형태론을 정의하는 몇 가지 다른 방법이 있다.가장 근본적인 것은 절대 프로베니우스 형태론이다.그러나 절대적 프로베니우스 형태주의는 기본 구도에 전혀 신경을 쓰지 않기 때문에 상대적인 상황에서 서툴게 행동한다.프로베니우스 형태론을 상대적 상황에 적응시키는 방법에는 여러 가지가 있는데, 각각의 방법은 특정 상황에서 유용하다.null

절대 프로베니우스 형태론

X가 특성 p > 0의 체계라고 가정해 보자.개방형 부속품 U = X의 사양 A를 선택하십시오.A반지는 F-알제브라여서_p 프로베니우스 내형성을 인정한다.만약 V가 U의 개방된 부속서류라면, 프로베니우스의 자연성에 의해, V로 제한되었을 때 U에 프로베니우스 형태론은 V에 대한 프로베니우스 형태론이다.결과적으로 프로베니우스 형태론은 X의 내형성을 주기 위해 반짝인다.이 내형성은 F로_X 표시된 X의 절대 프로베니우스 형태론이라고 불린다.정의에 따르면, 그것은 그 자체로 X의 동형상이다.절대 프로베니우스 형태주의는 F-schemes의_p 범주에 있는 정체성 펑터로부터 그 자체로 자연스럽게 변형된 것이다.null

X가 S-scheme이고 S의 Probenius morphism이 정체라면 절대 Frobenius morphism은 S-schemes의 형태론이다.그러나 일반적으로 그렇지 않다.예를 들어 링 $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {{p\mathrm{}}^{}}_{}}$ 2 ${\$X와 S 둘 다 Spec A와 동일하고 구조 지도 X → S는 모두 동일하다고 하자.A의 프로베니우스 형태론은 a에게^p a를 보낸다.$F{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}_{}}$ ${\$}}$$-algebras의$$ 형태론이 아니다.그렇다면 F ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}_{}}$ ${\$ 원소 b에 곱하면 프로베니우스 내형성을 적용하여 통근하게 된다$$.그러나 이는 다음과 같은 이유로 사실이 아니다.

$(\displaystyle b\cdot a=ba\neq F(b)\cdot a=b^{p}a.}$

전자는 A가 시작되는 $F{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ p ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}_{}}$ ${\$ -algebra$$ 구조에서 b의 작용이며, 후자는 프로베니우스가 유도한$$ $F{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {{p\mathrm{}}^{}}_{}}$ 2 ${\$의 작용이다.따라서 사양 A의 프로베니우스 형태론은 $F{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}_{}}$ ${\$ -schemes의$$ 형태론이 아니다.null

절대 프로베니우스 형태론은 순전히 분리할 수 없는 p급 형태론이다.그것의 차이는 0이다.X와 Y의 두 가지 구성에서 F = F_X×YX × F를_Y 의미하는 제품을 보존한다.

프로베니우스의 스칼라 제한 및 연장

φ : X → S는 S-scheme X에 대한 구조 형태론이라고 가정한다.기본계획 S는 프로베니우스 형태론 F를_S 가지고 있다.φ과 F를_S 합치면 프로베니우스에 의한 스칼라의 제한이라고 불리는 S-scheme X가_F 된다.스칼라의 제한은 S-모르퍼시즘 X → Y가 S-모르퍼시즘 X_F → Y를_F 유도하기 때문에 사실상 functor이다.

예를 들어 특성 p > 0의 링 A와 정밀하게 제시된 대수 A를 A에 대해 생각해 보자.

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).}$

R에 대한 A의 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum ca_{\alpha }}}}$

여기서 α는 다중 지수다.X = 규격 R.그렇다면 X는_F 어음 체계 사양 R이지만, 그 구조 형태론 사양 R → 스펙 A, 따라서 R에 대한 A의 작용은 다르다.

${\displaystyle c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum F(c)a_{\alpha }^{p}a_{\alpha }=\sum c^{p}a}{\alpha }X^{\alpha }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

프로베니우스에 의한 스칼라의 제한은 단순한 구성이기 때문에 프로베니우스 형태론에 대한 적절한 가설 하에서 X의 많은 성질이 X에_F 의해 계승된다.예를 들어 X와 S가_F 둘 다 유한형이라면 X도_F 유한형이다.

프로베니우스에 의한 스칼라의 연장은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle X^{(p)}=X\time _{S}S_{F}.}$

S 인자에 투영하면 X는^(p) S-scheme이 된다.S가 맥락에서 명확하지 않으면 X는^(p) X로^(p/S) 표시된다.스칼라의 제한과 마찬가지로 스칼라의 연장은 펑터(functor)이다.S-형상 X → Y는 S-형상 X^(p) → Y를^(p) 결정한다.

전과 같이 A에 대해 반지 A와 정밀하게 제시된 대수 R을 고려하고, 다시 X = 규격 R을 제시한다.다음:

${\displaystyle X^{(p)}=\operatorname {Spec} R\otimes _{A}A_{F}.}$

X의^(p) 전역 섹션은 다음과 같은 형식이다.

${\displaystyle \sum \{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i_{i\alpha }\x^{\i}=\otimes b_{\alpha }X^{p}b_{i}i}}}.$

여기서 α는 다중 지수이고 모든 a와_iα b는_i A의 요소다.이 절에 대한 A 요소 c의 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle c\cdot \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}c.}$

따라서 X는^(p) 다음과 같은 이형성을 갖는다.

${\displaystyle \operatorname {Spec}A[X_{1},\ldots,X_{n}]/\좌측(f_{1}^{p)},\ldots,f_{m}^{p}}\right),}$

여기서, 다음과 같은 경우:

${\displaystyle f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta }}}$

다음:

${\displaystyle f_{j}^{j}^{(p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{p}X^{\beta }}}}$

유사한 설명은 임의의 A-알제브라스 R에 적용된다.

스칼라의 연장은 기저변화가므로 한계와 공동효율을 보존한다.이는 특히 X가 유한한 한계(집단계획 등)의 관점에서 정의된 대수적 구조를 가지고 있다면^(p) X도 마찬가지라는 것을 암시한다.더욱이 염기변화가 된다는 것은 스칼라의 확장이 유한형, 유한형 표시, 분리형, 아핀형 등의 특성을 보존한다는 것을 의미한다.null

스칼라의 연장은 기저변화에 대해 잘 되어 있다.형태론 S′ → S에 따라 자연 이형성이 있다.

${\displaystyle X^{(p/S)}\time _{S}\cong(X\time _{S}S')^{{(p/S')}}.}$

상대 프로베니우스

X는 구조 형태론 φ을 가진 S-scheme이 되도록 하라.X의 상대적인 프로베니우스 형태론은 형태론이다.

${\displaystyle F_{X/S}X\to X^{(p)}}$

풀백 X의^(p) 범용 속성에 의해 정의된다(위의 다이어그램 참조):null

${\displaystyle F_{X/S}=(F_{X},\varphi).}$

절대적인 프로베니우스 형태주의는 자연스러우므로 상대적인 프로베니우스 형태주의는 S-schemes의 형태론이다.null

예를 들어 A-알지브라에 대해 생각해 보십시오.

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).}$

다음이 있음:

${\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots,X_{n}]/(f_{1}^{(p)},\ldots,f_{m}^{(p)}).}$

상대적인 프로베니우스 형태론은 다음과^(p) 같이 정의되는 동형상 R → R이다.

$\displaystyle \sum \sum _{i}\alpha }}\otimes a_{i\alpha }\mapsto a_{i}\sum _{\alpha_{\i\alpha }}}}}}$

상대적 프로베니우스는 X^(p/S) ×_S S′ 및 (X ×_S S′)^(p/S′)의 자연 이형성 하에서 다음과 같은 의미에서 기저변화와 양립할 수 있다.

${\displaystyle F_{X/S}\time 1_{S'}=F_{X\time _{S}}}$

상대적인 프로베니우스는 보편적인 동형상주의다.X → S가 공개몰입이라면 그것은 정체성이다.X → S가 O의_S 이상적인 sheaf I에 의해 결정되는 폐쇄적 몰입이라면 X는^(p) 이상적인 sheaf I에^p 의해 결정되고 상대적인 프로베니우스는 증강 지도 O_S/I^p → O_S/I이다.null

X는 만약 F가_X/S 단형화되지 않았다면 그리고 만약 F가_X/S 단형화되지 않았다면 그리고 만약 F가 단형화 되어있다면 S에 대해 미라그램화된다.X는 만약 F가_X/S étal이라면 그리고 만약 F가_X/S etalism이라면 그리고 if and only F가 etalism인 경우에만 S에 대한 étale이다.null

산술 프로베니우스

S-scheme X의 산술적인 프로베니우스 형태론은 형태론이다.

${\displaystyle F_{X/S}^{a}:X^{(p)}\to X\time_{S}S\cong X}$

정의:

${\displaystyle F_{X/S}^{a}=1_{X}\time F_{S}.}$

즉, F의_S 베이스 변화 1이다_X.

다시, 다음과 같은 경우:

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots,X_{n}]/(f_{1},\ldots,f_{m}),}$

${\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots,X_{n}]/(f_{1},\ldots,f_{m})\otimes _{A}A_{F}}}$

산술적인 프로베니우스는 동형상이다.

${\displaystyle \sum \{i}\lf(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }\x^{\x^}\otimes b_{i}\sum _{\alpha }a_{i\b_{i}^{p}X^{}}}}}.$

R을^(p) 다음과 같이 다시 쓰는 경우:

${\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots,X_{n}]/\좌측(f_{1}^{(p)},\ldots,f_{m}^{{m}^{(p)}\right),}$

그렇다면 이 동형성은 다음과 같다.

${\displaystyle \sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{p}X^{\alpha }}}}}$

기하학적 프로베니우스

Assume that the absolute Frobenius morphism of S is invertible with inverse ${\displaystyle F_{S}^{-1}}$. Let ${\displaystyle S_{F^{-1}}}$ denote the S-scheme ${\displaystyle F_{S}^{-1}:$$S\to S$ 그러면 X ${\displaystyle {by}_{\mathrm{F}}^{}}$S - 1 {\$displaystyle F_{S}^{-1$ :

${\displaystyle X^{(1/p)}=X\times _{S}S_{F^{-1}}}$

다음과 같은 경우:

${\displaystyle R=A[X_{1},\ldots,X_{n}]/(f_{1},\ldots,f_{m}),}$

그런 다음 ${\displaystyle {스칼라}_{}^{}}$를 $F{\displaystyle {}_{}^{}}$ -${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$S}^{-$1}$만큼 확장하면 다음과 같은 효과를$$ 얻을 수 있다.

${\displaystyle R^{(1/p)}=A[X_{1},\ldots,X_{n}]/(f_{1},\ldots,f_{m})\otimes _{A}A_{F^{-1}}$

다음과 같은 경우:

${\displaystyle f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta }}}$

그리고 나서 우리는 다음과 같이 쓴다.

${\displaystyle f_{j}^{j}^{{j}^{1/p}^{\beta}}=\sum _{\beta }}}$

그리고 다음으로는 이형성이 있다.

${\displaystyle R^{(1/p)}\cong A[X_{1},\ldots,X_{n}]/(f_{1}^{(1/p)},\ldots,f_{m}^{{m}^{p})}).}$

S-scheme X의 기하학적 프로베니우스 형태론은 형태론이다.

${\displaystyle F_{X/S}^{g}^:X^{(1/p)}\to X\times _{S}S\cong X}$

정의:

${\displaystyle F_{X/S}^{g}=1_{X}\time F_{S}^{1}.}$

$F{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle S_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$의_X 기본 변화다.

위의 A와 R의 우리의 예를 계속하여, 기하학적 프로베니우스는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \sum \{i}\lf(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }\x^{x^{\i}\otimes b_{i}\sum _{\alpha }a_{i\b_{i}^{1/p}X^{alpha\}}}}}}}}.$

$\{{\displaystyle {\mathrm{f}}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$( 1${\displaystyle {}_{}^{}}$/ ${\displaystyle p_{}^{}}$) ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \{f_{j}^{(1/p)}\}}}}}}$의 관점에서 R을^(1/p) 다시 쓴 후 기하학적 프로베니우스는 다음과 같다$.$

${\displaystyle \sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{1/p}X^{\alpha }}}}$

갈루아 작용으로서의 산술과 기하학적 프로베니우스

S의 프로베니우스 형태론이 이소모르피즘이라고 가정해 보자.그 후 S의 오토모르피즘 그룹의 서브그룹을 생성한다.S = 스펙 k가 유한장의 스펙트럼이라면, 그 오토모피즘 그룹은 원시장 위에 있는 필드의 갈루아 그룹이며, 프로베니우스 형태주의와 그 역행은 모두 오토모피즘 그룹의 생성자들이다.또한 X와^(p) X는^(1/p) X와 함께 식별될 수 있다.산술적, 기하학적 프로베니우스 형태론은 그 후 X의 내형성이기 때문에 X에 K의 갈루아 집단의 작용으로 이어진다.

K 포인트 X(K)의 집합을 고려한다.이 세트에는 다음과 같은 Galois 액션이 함께 제공된다.그러한 각각의 지점 x는 구조체 피복에서부터 K에 이르는 동형상 O_X → K에 해당하는데, 이 요인은 k(x), x에 있는 잔류장, x에 대한 프로베니우스의 작용은 프로베니우스 형태론을 잔류장에 적용하는 것이다.이 갈루아 작용은 산술적인 프로베니우스의 작용에 동의한다.복합 형태론

${\displaystyle {\mathcal {O}_{X}\to k(x){\xrightarrow {\\overset {}{F}k(x)}$

복합 형태론과 동일함:

${\displaystyle {\mathcal{O}_{X}{\xrightarrow {{}{{F}_{X/S}^{a}}}{\mathcal {O}_{X}\to k(x)}$

산술 프로베니우스의 정의로따라서 산술 프로베니우스는 X의 내형성으로서 포인트에 갈루아 집단의 작용을 명시적으로 보여준다.

지역 들판의 프로베니우스

지역 영역의 미확정 유한 확장 L/K를 주어, 잔여장의 해당 확장에 프로베니우스 내형성을 유도하는 프로베니우스 내형주의 개념이 있다.^[2]null

L/K가 K의 정수 O의_K 링을 가진 지역 영역의 미묘화 확장이라고 가정하면, K의 정수 O는 K의 고유한 최대 이상 φ의 정수인 잔류장이 유한 순서 q의 필드인데, 여기서 q는 프라임의 힘이다.φ이 φ 위에 놓여 있는 L의 소수인 경우, L/K는 정의상 L의 잔류 필드인 L modulo φ의 정수가 K의 잔류 필드를 확장하는 유한한 순서^f q가 된다는 것을 의미하며, 여기서 f는 L/K의 수준이다.우리는 L의 정수 O의_L 원소에 대한 프로베니우스 지도를 다음과 같은 L의 자동형성으로_Φ 정의할 수 있다.

$s_{\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi .}$

프로베니우스(세계적인 분야)

대수적 수 이론에서 프로베니우스 요소는 L/K에서 미문명된 L의 1차 이상 Ⅱ에 대해 유한한 갈루아 확장인 글로벌 영역의 확장 L/K에 대해 정의된다.확장이 미화되기 때문에 Ⅱ의 분해군은 잔류장 확장의 갈루아군이다.프로베니우스 요소는 로컬 케이스에서와 같이 L의 정수 링의 요소에 대해 다음과 같이 정의할 수 있다.

$s_{\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi ,}$

여기서 q는 잔류장_K O/(φ_K ∩ o O)의 순서다.null

프로베니우스의 승강기는 p-deivation과 일치한다.null

예

다항식

x⁵ − x − 1

차별이 있다

19 × 151,

그리고 프라임 3에서도 그래미화되지 않았다; 그것은 또한 수정할 수 없는 모드 3이다.따라서 그것의 뿌리 q을 3자리 숫자 Q의₃ 영역에 붙이면 Q의₃ 미확장 Q₃(()가 된다.ρ에³ 가장 가까운 뿌리를 찾아 프로베니우스 지도 아래에서 ρ의 이미지를 찾을 수도 있는데, 이것은 뉴턴의 방법으로 할 수도 있다.우리는 이러한 방법으로 정수₃ Z[ρ]의 원소를 얻는다. 이것은 3-adic 정수 Z에₃ 계수가 있는 ρ의 도 4의 다항식이다.모둘로 3 이⁸ 다항식은

${\displaystyle {\rho }^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 3}$(${\displaystyle 460}$+ ${\displaystyle 183}$ ${\displaystyle \rho }$- ${\displaystyle 354}$ ${\displaystyle {\rho \mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 979}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 575}$ ${\displaystyle {\rho \mathrm{}}^{}}$ 4${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \rho ^{3}+3}+3(460+183\rho -354\rho ^{2}-979\rho ^{3}-575\rho ^{4$

이것은 Q에 대한 대수학이며 Q에 Q를₃ 내장하는 관점에서 올바른 글로벌 프로베니우스 이미지다. 더욱이 계수는 대수학이며 그 결과는 대수학적으로 표현될 수 있다.그러나 그들은 갈루아 그룹의 순서인 120등급으로, p-adic 결과가 충분할 경우 명시적 연산이 훨씬 더 쉽게 이루어진다는 사실을 보여준다.null

L/K가 글로벌 분야의 아벨론적 확장이라면, 베이스 필드 K에서는 프라임 φ에만 의존하기 때문에 우리는 훨씬 더 강한 합치를 얻는다.예를 들어, 만족스러운 루트 β를 결합하여 얻은 Q의 확장 Q(β)를 생각해 보십시오.

${\displaystyle \properties ^5}+\properties ^4}-4\properties ^{3}-3\properties ^{2}+3\properties +1=0}$

Q. 이 확장은 순서 5의 순환이며, 뿌리가 있다.

${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2\pi n}{11}}}$

정수 n의 경우β의 체비셰프 다항식인 뿌리를 가지고 있다.

β² − 2, β³ − 3β, β⁵ − 5β³ + 5β

프루베니우스 지도 결과를 2, 3, 5 자로 표시하며, 11 자와 같지 않은 자 또는 22n + 1 형식(분할된 자)에 해당하는 자로 표시한다.프로베니우스 지도가 어떻게 결과를 β근의 p-th 힘에 동일한 mod p를 주는지 즉시 알 수 있다.null

참고 항목

• 퍼펙트 필드
• 프로베니오이드
• 유한장 § 프로베니우스 오토모르프리즘과 갈루아 이론
• 보편적 동형성

참조

• "Frobenius automorphism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Frobenius endomorphism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]