일반화 다각형

수학에서 일반화된 다각형은 1959년 자크 티츠가 도입한 발병 구조다.일반화된 n-gon은 특수 사례 투영 평면(일반화된 삼각형, n = 3) 및 일반화된 사분면(n = 4)으로 포괄한다.일반화된 다곤은 리 유형의 집단에서 많이 발생하지만, 이런 식으로 얻을 수 없는 이국적인 것도 있다.Moufang 속성으로 알려진 기술적 조건을 만족하는 일반화된 다각형은 Tits와 Weiss에 의해 완전히 분류되었다.n이 짝수인 모든 일반화된 n곤도 거의 다곤이다.

정의

일반화 2곤(또는 디곤)은 각 점이 각 선에 입사하는 최소 2개의 점과 2개의 선을 갖는 입사 구조다.

For ${\displaystyle n\geq 3}$ a generalized n-gon is an incidence structure (${\displaystyle P,L,I}$), where ${\displaystyle P}$ is the set of points, ${\displaystyle L}$ is the set of lines and ${\displaystyle I\subseteq P\times L}$ is the incidence relation, such that:

• 그것은 부분적인 선형 공간이다.
• ${\displaystyle 2\leq m<n}$에 대한 하위측정으로 일반적인 m-gon이 없다
• 그것은 하위 계량법으로서 보통의 n-곤을 가지고 있다.
• For any ${\displaystyle \{A_{1},A_{2}\}\subseteq P\cup L}$ there exists a subgeometry (${\displaystyle P',L',I'}$) isomorphic to an ordinary n-gon such that ${\displaystyle \{A_{1},A_{2}\}\subseteq P'\cup L'}$.

이러한 조건을 표현하는 동등하지만 때로는 간단한 방법은: P${\displaystyle }verte{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P\cup$ L$}$과(와) 입사$$ 쌍과 점 및 선들을 연결하는 가장자리가 있는 초당적 발생 그래프를 고려하는 것이다.

• 입사 그래프의 둘레는 입사 그래프의 직경의 두 배 n이다.

이를 통해 일반화된 다각형의 발생 그래프가 무어 그래프라는 점을 분명히 밝혀야 한다.

일반화된 다각형은 다음과 같은 경우 순서가 있다(s,t).

• $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 요소에 해당하는 발생 그래프의 모든 정점은 일부 자연수 s에 대해 동일한 도 s + 1을 가진다$$. 즉, 모든 선은 정확히 s + 1 점을 포함한다.
• $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 요소에 해당하는 발생 그래프의 모든 정점은 일부 자연수 t에 대해 t + 1이 동일하다$$. 즉, 모든 점은 정확히 t + 1 선에 놓여 있다.

우리는 모든 점(선)이 최소한 세 개의 선(점)을 가진 사건이라면 일반화된 다각형이 두껍다고 말한다.굵고 일반화된 모든 다각형에는 순서가 있다.

일반화된 n-곤(${\displaystyle }$, ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle P,L,I}$ )$$의 이중은 점과 선에 대한 개념이 뒤바뀌고$$발생 $관계$가 I {\displaystyle $I}$의 역관계로 간주되는 발생 구조다$.$ 이것은 다시 일반화된 n-곤임을 쉽게 알 수 있다.

예

• 일반화된 digon의 발병률 그래프는 완전한 초당적 그래프 K이다_s+1,t+1.
• 자연 n ≥ 3의 경우, n면이 있는 일반 폴리곤의 경계를 고려한다.폴리곤의 정점을 점으로, 면이 선으로, 입사 관계로 설정된 포함으로 선언한다.이로 인해 s = t = 1로 일반화된 n-곤이 생성된다.
• 순위 2의 Lie 유형 G의 각 그룹에 대해, G가 X의 플래그 집합에 대해 트랜스적으로 작용하도록 n이 3, 4, 6 또는 8인 연관된 일반화된 n-곤 X가 있다.In the finite case, for n=6, one obtains the Split Cayley hexagon of order (q, q) for G₂(q) and the twisted triality hexagon of order (q³, q) for ³D₄(q³), and for n=8, one obtains the Ree-Tits octagon of order (q, q²) for ²F₄(q) with q = 2²ⁿ⁺¹. Up to duality, these are the only known thick finite generalized hexagons or octagons.

파라미터 제한

Walter Feit과 Graham Higman은 s ≥ 2, t ≥ 2를 가진 유한 일반화된 n-gons의 질서가 n의 다음 값에 대해서만 존재할 수 있다는 것을 증명했다.

2, 3, 4, 6, 8.페이트 하이그만 결과의 또 다른 증거는 킬모이어와 솔로몬에 의해 제시되었다.

이러한 값에 대한 일반화된 "n"-곤은 일반화된 디곤, 삼각형, 사각형, 육각형, 팔각형이라고 한다.

Feit-Higman의 정리가 Hamers-Roos 불평등과 결합될 때, 우리는 다음과 같은 제한을 받는다.

• n = 2인 경우, 발생 그래프는 완전한 초당적 그래프이므로 "s", "t"는 임의의 정수가 될 수 있다.
• n = 3이면 구조물은 유한 투영면이고 s = t이다.
• n = 4일 경우 구조는 유한 일반화 쿼드랑글이고 t^1/2 ≤ s ≤ t이다².
• n = 6이면 st는 제곱이고 t t^1/3 s ≤ t이다³.
• n = 8이면 2번째는 정사각형이고 t t^1/2 s ≤ t이다².
• s 또는 t가 1이 되도록 허용되고 구조가 일반적인 n-곤이 아닌 경우, 이미 열거된 n의 값 외에 n = 12만이 가능할 수 있다.

s, t > 1에 대해 알려진 모든 유한 일반화 육각형 순서가 있다.

• (q, q): 분할된 케이리 육각형 및 그 이중형
• (q³, q): 꼬인 삼차성 육각형 또는
• (q, q³): 이중 트위스트 삼차성 육각형,

여기서 q는 주요 강국이다.

s, t > 1에 대해 알려진 모든 유한 일반화된 질서의 8각형에는 질서가 있다.

• (q, q²): 리-잇츠 팔각형 또는
• (q², q: 이중 리-잇츠 8각형)

여기서 q는 2의 홀수 검정력이다.

반피니트 일반화 다각형

s와 t가 모두 무한하다면, 2보다 크거나 같은 각 n에 대해 일반화된 다각형이 존재한다.매개변수 중 하나가 유한(그리고 1보다 큰)인 일반화된 폴리곤이 존재하는지 여부는 알 수 없고, 다른 한 개의 무한(이러한 경우를 반피니트라고 한다)은 존재하지 않는다.피터 캐머런은 각 라인에 3점씩의 점수로 준피니트 일반화 쿼드랭글의 존재하지 않음을 증명했고, 앤드리즈 브루워와 빌 칸토르는 각 라인에서 4점씩의 사례를 독자적으로 증명했다.각 라인의 5점 만점에 대한 비존재 결과는 G에 의해 증명되었다.모형이론을 이용한 체린.^[1]일반화된 육각형 또는 옥타곤에 대해 더 이상 가정을 하지 않고는 그러한 결과를 알 수 없다. 각 선에 있는 세 개의 점 중 가장 작은 경우에도 말이다.

조합 응용 프로그램

일반화 다각형의 발생 그래프는 앞에서 지적한 바와 같이 중요한 특성을 가지고 있다.예를 들어, 모든 일반화된 n-곤 순서(s,s)는 (s+1,2n) 케이지가 된다.확장 특성이 좋아 확장 그래프와도 관련이 있다.^[2]몇몇 종류의 극단 확장기 그래프는 일반화된 다각형에서 얻는다.^[3]Ramsey 이론에서 일반화된 다각형을 사용하여 구성된 그래프는 우리에게 가장 잘 알려진 건설적인 Ramsey 수치의 하한선을 제공한다.^[4]

참고 항목

• 건물(수학)
• (B, N) 쌍
• 리 그룹
• 무방 폴리곤
• 근 폴리곤

참조

• Godsil, Chris; Royle, Gordon (2001), Algebraic Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 207, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4613-0163-9, ISBN 978-0-387-95220-8, MR 1829620.
• Feit, Walter; Higman, Graham (1964), "The nonexistence of certain generalized polygons", Journal of Algebra, 1 (2): 114–131, doi:10.1016/0021-8693(64)90028-6, MR 0170955.

• Haemers, W. H.; Roos, C. (1981), "An inequality for generalized hexagons", Geometriae Dedicata, 10 (1–4): 219–222, doi:10.1007/BF01447425, MR 0608143.

• Kantor, W. M. (1986). "Generalized polygons, SCABs and GABs". Buildings and the Geometry of Diagrams. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1181. Springer-Verlag, Berlin. pp. 79–158. CiteSeerX 10.1.1.74.3986. doi:10.1007/BFb0075513. ISBN 978-3-540-16466-1.
• Kilmoyer, Robert; Solomon, Louis (1973), "On the theorem of Feit-Higman", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 15 (3): 310–322, doi:10.1016/0097-3165(73)90076-9, MR 0357157
• Van Maldeghem, Hendrik (1998), Generalized polygons, Monographs in Mathematics, vol. 93, Basel: Birkhäuser Verlag, doi:10.1007/978-3-0348-0271-0, ISBN 978-3-7643-5864-8, MR 1725957.
• Stanton, Dennis (1983), "Generalized n-gons and Chebychev polynomials", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 34 (1): 15–27, doi:10.1016/0097-3165(83)90036-5, MR 0685208.
• Tits, Jacques; Weiss, Richard M. (2002), Moufang polygons, Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-43714-7, MR 1938841.