힐베르트 가환정리

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수론에서, 1892년에 데이비드 힐버트가 고안한 힐버트의 환원불가능성 정리는 모든 유한한 수의 변수와 유리수 계수에 있는 환원불가능한 다항식의 유한 집합이 모든 다항식이 환원불가능한 상태로 남아 있도록 변수의 적절한 부분 집합의 공통 전문화를 인정한다는 것을 말합니다. 이 정리는 정수론에서 두드러진 정리입니다.

정리의 공식화

힐베르트의 환원불가능성 정리. 허락하다

${\displaystyle f_{1}(X_{1},\ldots,X_{r}}Y_{1},\ldots ,Y_{s}),\ldots ,f_{n}(X_{1},\ldots ,X_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s})}$

환의 축소할 수 없는 다항식들

${\displaystyle \mathbb {Q} (X_{1},\ldots,X_{r})[Y_{1},\ldots ,Y_{s}].}$

다음과 같은 유리수(a_1r, ..., a)의 r쌍이 존재합니다.

${\displaystyle f_{1}(a_{1},\ldots, a_{r}).Y_{1},\ldots ,Y_{s}),\ldots ,f_{n}(a_{1},\ldots ,a_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s})}$

축소할 수 없는 것.

${\displaystyle \mathbb {Q} [Y_{1},\ldots,Y_{s}].$

언급.

• 그 정리로부터 무한히 많은 r개의 쌍이 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 사실 힐베르트 집합이라고 불리는 축소할 수 없는 모든 전문화들의 집합은 많은 의미에서 큽니다. 예를 들어, $이{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 집합은 ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{r}$에서 자리스키 조밀입니다${\displaystyle {}^{}}$
• (a, ..., a_r)를 정수로 요구해도 정리의 주장은 항상 (무한히₁ 많은) 정수 전문화가 존재합니다.
• 힐베르트의 축소 불가능성 정리를 만족하는 많은 힐베르트 장들, 즉 많은 장들이 있습니다. 예를 들어 숫자 필드는 Hilbertian입니다.^[1]
• 정리에 명시된 환원 불가능한 전문화 속성이 가장 일반적입니다. ${\displaystyle 예}$를 들어, $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$ = ${\displaystyle \mathrm{s}}$ = 1 {\$display$ n = r = s = 1}을(를) 사용하면 됩니다. Bary-Soroker의 결과는 필드 K가 힐베르시안인 $경우$ n = ${\displaystyle r}$ = ${\displaystyle s}$ =${\displaystyle }$1 {\$displaystyle$ n = r = s = 1} 및 f = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ f = $f_{1}}$의 경우를 고려하기에 충분하다는 것을 보여줍니다. 즉, K는 K의 대수적 폐쇄인 링 K[X,Y]에서 환원 불가능합니다.

적용들

힐베르트의 환원불가능성 정리는 수론과 대수학에서 많은 응용이 있습니다. 예:

• 역 갈루아 문제, 힐베르트의 원래 동기. 이 정리는 만약 유한 군 G가 다음의 갈루아 확장 N의 갈루아 군으로 실현될 수 있다면,

${\displaystyle E=\mathbb {Q}(X_{1},\ldots,X_{r}),}$

G를 갈루아 군으로 하는 유리수의 갈루아 확장 N으로₀ 특화시킬 수 있습니다.^[2] (이를 보려면, 근이 E보다 N을 생성하는 모닉 난차 다항식 f(X₁, ..., X, Y_n)를 선택하십시오. 만약 f(a₁, ..., a_n, Y)가 어떤 a에_i 대해 난차화될 수 없다면, 그 근은 주장되는 N을₀ 생성할 것입니다.)

• 순위가 큰 타원 곡선의 구성.^[2]

• 힐베르트의 환원불가능성 정리는 페르마의 마지막 정리의 앤드루 와일스 증명의 단계로 사용됩니다.

• ${\displaystyle \mathrm{만약}}$ 다항식 $x)$ ∈ Z [$$x ] ${\displaystyle$g(x)\in $\mathbb {$Z} [x]}가 x의 모든 큰 정수 값에 대한 완벽한 제곱이라면, g(x)는${\displaystyle }$Z [$x]$의${\displaystyle }$다항식의 제곱입니다. ${\displaystyle \mathbb${Z} [x].$}$이것은 $n$ $=$ ${\displaystyle r}$ $=$${\displaystyle }$s $=$ 1 {\$displaystyle$ n $=$ r $=$$$s $=$ 1}인 힐베르트의 축소 불가능성 정리로부터 다음과 같습니다.

${\displaystyle f_{1}(X,Y)=Y^{2}-g(X)}$

(더 많은 기본적인 증명이 존재합니다.) "제곱"이 "큐브", "네 번째 거듭제곱" 등으로 대체되는 경우에도 마찬가지입니다.

일반화

그것은 대수기하학의 언어를 사용하여 광범위하게 재구성되고 일반화되었습니다. 얇은 세트(Serre)를 참조하십시오.

참고문헌

• D. 힐버트, "Uber die Irreducibilitat ganzer rationaler Functen mit ganzahligen Coefficienten", J. reineangew. 수학 110 (1892) 104–129.

• Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine Geometry. Springer-Verlag. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051.
• J. P. Serre, 모델-와일 정리에 관한 강의, Vieweg, 1989.
• M. D. Fried and M. Jarden, 현장 산술, 스프링어-베를라그, 베를린, 2005.
• H. Völklein, Galois Groups, Cambridge University Press, 1996.
• G. 말레랑 B. H. Matzat, Inverse Galois Theory, Springer, 1999.