프리프레젠테이션

대수학에서, 정류 링 R 위에 모듈 M을 자유롭게 표시하는 것은 R-모듈의 정확한 순서다.

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}R{\}}\overset {f}{\\to }\bigoplus _{j\in J}R{g}{\\}}{\\m\to.}$

표준 기준 g 아래의 이미지는 M을 생성한다는 점에 유의하십시오.특히 J가 유한하다면 M은 정밀하게 생성된 모듈이다.I와 J가 유한한 집합이라면, 그 프리젠테이션을 유한한 프리젠테이션이라고 하고, 모듈이 유한한 프리젠테이션을 인정하면 정밀하게 프리젠테이션이라고 한다.

f는 자유 모듈 사이의 모듈 동형이기 때문에 R과 M의 항목을 코커넬로 하는 (무한) 행렬로 시각화할 수 있다.

프리 프리 프리젠테이션은 항상 존재한다. 모든 모듈은 프리 모듈의 몫이다.${\displaystyle F\stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \mathrm{g}}$ M${\displaystyle }$→ 0 ${\displaystyle F{{\\overset {g}{\\to$ 그러나 g의 커널은 다시 자유 모듈의 몫이 된다.${\displaystyle F^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}\stackrel{}{}}$→ f ${\displaystyle \ker g}$ g${\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F'{{f}{\}{\}}\ker g\to$ 0$}$.f와 g의 조합은 M의 자유로운 표현이다.이제, 이런 식으로 낟알을 계속해서 "해결"할 수 있다; 그 결과는 자유 해결이라고 불린다.따라서 자유발언은 자유 결의안의 초기 부분이다.

프레젠테이션은 계산에 유용하다.예를 들어, 텐서링은 정확하기 때문에 N이라고 하는 모듈로 위의 프리젠테이션을 텐서링하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}N}\overset {f\otimes 1}{\\}}\bigoplus _{j\in J}N\to M\otimes _{R}N\to.}}$

This says that ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ is the cokernel of ${\displaystyle f\otimes 1}$. If N is an R-algebra, then this is the presentation of the N-module ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$; that is, the presentation extends under base extension.

왼쪽-정확한 functors의 경우, 예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm{증명}}$: 유한 표시 $R{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\oplus }^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\oplus }^{}}$ ${\displaystyle m^{}}$→ M ${\displaystyle$ R$^{\oplus$ n$}\to$ M}에 F를 적용하면 R$$$^{\oplus m}\to M}$이(가) 된다.

${\displaystyle 0\to F(M)\to F(R^{\oplus m}\to F(R^{\oplus n})}$

G도 마찬가지다.이제 뱀 보조정리 해${\displaystyle \square }$

참고 항목

• 일관성 있는 모듈
• 정밀 관련 모듈
• 피팅 이상
• 준결속삭대

참조

• 아이젠버드, 데이비드, 대수기하를 향한 관점을 가진 정류 대수학, 수학의 대학원 본문, 150, 스프링거-베를라크, 1995, ISBN0-387-94268-8.

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