단어(그룹 이론)

그룹 이론에서, 단어는 그룹 요소들과 그 반대들의 쓰여진 산물이다.예를 들어 x, y 및 z가 그룹 G의 요소인 경우 xy, zxz⁻¹ 및 yzxyz는⁻¹⁻¹⁻¹ 집합 {x, y, z}의 단어입니다.두 개의 다른 단어가 ^[1]G 또는 모든 ^[2]그룹에서 동일한 값으로 평가될 수 있습니다.단어들은 자유 집단 이론과 발표에서 중요한 역할을 하며, 조합 집단 이론에서 중요한 연구 대상이다.

정의.

G를 그룹으로 하고 S를 G의 서브셋으로 하자. S의 단어는 형식의 표현이다.

${\displaystyle s_{1}^{{1}}s_{2}^{\varepsilon_{2}\cdots_{n}^{\varepsilon_{n}}$

여기서₁ s,...s는_n S의 원소이고 각 µ는_i ±1이다.숫자 n은 단어의 길이로 알려져 있습니다.

S의 각 단어는 G의 요소, 즉 식의 곱을 나타낸다.관례상 동일성(^[3]고유성) 요소는 길이 0의 고유어인 빈 단어로 나타낼 수 있다.

표기법

단어를 쓸 때 약자로 지수 표기법을 사용하는 것이 일반적입니다.예를 들어, 이 단어는

${\displaystyle xxy^{-1}zzx^{-1}x^{-1},}$

라고 쓸 수 있다

${\displaystyle x^{2}y^{-1}zyz^{3}x^{-2}},$

이 후자의 표현은 단어 자체가 아닙니다.원본을 줄인 표기법일 뿐입니다.

긴 단어를 다룰 때는 오버라인을 사용하여 S 요소의 반전을 나타내는 것이 도움이 될 수 있습니다.오버라인 표기법을 사용하면 위의 단어는 다음과 같이 작성됩니다.

${\displaystyle x^{2}{\overline {y}}z^{3}{\overline {x}^{2}},$

단어 및 프레젠테이션

군 G의 부분집합 S는 G의 모든 원소가 S의 단어로 표현될 수 있는 경우 생성 집합이라고 하며, S가 생성 집합이라면 관계는 G의 같은 원소를 나타내는 S의 단어 쌍이다.$이들$은 $보통{\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ y ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$. { $displaystyle$$$x$^{-$1$}$$yx=y$$^{$$2$} ,$$, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , \ $displaystyle의 모든$ 관계가$$논리적으로 그룹의 $관계$와 일치하는 경우$G$를 정의합니다$.$G에 대한 프레젠테이션은 쌍${\displaystyle s}$ S$$ R ${\$ { \ $displaystyle$ \ $langle$ S \ $mid$ \$mathcal$ { R } \ $rangle$입니다.여기서 S는 G의 생성 세트이고 $(\$\$mathcal {R})$은 정의 관계 세트입니다.

예를 들어, 클라인 4개 그룹은 프레젠테이션을 통해 정의할 수 있습니다.

$(\displaystyle \j\mid i^{2}=1,j^{2}=1,ij=ji\rangle.}$

여기서 1은 ID 요소를 나타내는 빈 단어를 나타냅니다.

S가 G에 대한 생성 집합이 아닌 경우, S에서 단어로 나타나는 원소 집합은 G의 부분군이다.이는 S에 의해 생성된 G의 서브그룹으로 알려져 있으며, 일반적으로$S$ \ $displaystyle$ \ $langle$S \ $rangle$로 표기되며, S의 원소를 포함하는 G의 서브그룹 중 가장 작은 서브그룹이다.

단어를 줄이다

생성자가 자신의 역(xx⁻¹ 또는⁻¹ xx) 옆에 나타나는 모든 단어는 다중 쌍을 생략하면 단순화할 수 있습니다.

${\displaystyle y^{-1}zx^{-1}y;\long rightrow\;\;y^{-1}zy.}$

이 연산은 축소라고 하며, 단어로 표시되는 그룹 요소를 변경하지 않습니다(축소는 그룹 공리에서 이어지는 관계라고 생각할 수 있습니다).

축소한 단어는 중복된 쌍을 포함하지 않는 단어입니다.다음과 같이 일련의 축소를 실시함으로써 임의의 단어를 축소한 단어로 단순화할 수 있습니다.

${\displaystyle xzy^{-1}xx^{-1}z^{-1}yz\;\;\long rightrow \;\;xyz.}$

결과는 감소가 수행되는 순서에 따라 달라지지 않습니다.

S가 임의의 세트일 경우, 프리 그룹 over S는 프레젠테이션 ${\displaystyle s}$ S$∣$ \ $display$style \ $langle$S \ $mid$\ ; \ $rangle$가 됩니다.즉, 프리 그룹 over S는 S의 요소에 의해 생성된 그룹이며 추가 관계가 없습니다.프리그룹의 각 요소는 S의 축어로서 일의적으로 쓸 수 있다.

단어의 모든 순환 치열이 감소하는 경우에만 단어가 주기적으로 감소한다.

표준형식

생성 집합 S를 가지는 군 G의 정규 형태는, G의 요소 마다 S내의 1개의 축소어를 선택하는 것이다.예를 들어 다음과 같습니다.

• 단어 1, i, j, ij는 클라인의 4개 그룹에 대한 일반적인 형태이다.
• 단어 1, r, r², r, ..., r^n-1, s, sr, ..., sr은^n-1 이면체군_n Dih에 대한 정규 형식이다.
• S의 축소어 집합은 S 위의 자유 그룹에 대한 정규 형식입니다.
• m, n of Z에 대해 xy 형식의^mn 단어 세트는 순환군 'x'와 'y'의 직접곱에 대한 정규 형식이다.

단어 조작

두 단어의 곱은 연결로 구한다.

$\displaystyle \left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)=xzy^{-1}x^{-1}y.}$

두 단어를 줄여도 제품이 줄지 않을 수 있습니다.

단어의 역수는 각 생성기를 반전하고 요소의 순서를 바꿈으로써 얻을 수 있습니다.

$\displaystyle \left(zy^{-1}x^{-1}y\right)^{-1}=y^{-1}xyz^{-1}.}$

단어의 역수를 곱하면 다음과 같이 빈 단어로 환원할 수 있습니다.

${\displaystyle zy^{-1}xy^{-1}y\;y^{-1}xyz^{-1}=1.}$

결합을 사용하여 생성자를 단어의 시작에서 끝으로 이동할 수 있습니다.

${\displaystyle x^{-1}z^{-1}yz\right)x=y^{-1}z^{-1}yzx}$

「 」를 참조해 주세요.

• 단어 문제(수학)
• 그룹의 단어 문제

메모들

레퍼런스

• 를 클릭합니다Epstein, David; Cannon, J. W.; Holt, D. F.; Levy, S. V. F.; Paterson, M. S.; Thurston, W. P. (1992). Word Processing in Groups. AK Peters. ISBN 0-86720-244-0..
• Novikov, P. S. (1955). "On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory". Trudy Mat. Inst. Steklov (in Russian). 44: 1–143.
• Robinson, Derek John Scott (1996). A course in the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94461-3.
• Rotman, Joseph J. (1995). An introduction to the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.
• Schupp, Paul E; Lyndon, Roger C. (2001). Combinatorial group theory. Berlin: Springer. ISBN 3-540-41158-5.
• Solitar, Donald; Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham (2004). Combinatorial group theory: presentations of groups in terms of generators and relations. New York: Dover. ISBN 0-486-43830-9.
• Stillwell, John (1993). Classical topology and combinatorial group theory. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97970-0.