골로드-샤파레비치 정리

Golod–Shafarevich theorem

수학에서 골로드-샤파레비치 정리는 1964년 에브게니 골로드와 이고르 샤파레비치에 의해 증명되었다.클래스 야전탑이 무한할 수 있다는 것을 보여줌으로써 클래스 야전탑 문제를 해결하는 비전역적 호몰로지 대수학의 결과물이다.

불평등

Let A = K1,x, ..., xn⟩는 n = d + 1 비 커밋i 변수 x의 필드 K에 대한 자유 대수다.

J를 A의j 동질 원소 f에j 의해 생성되는 A의 양면 이상과 함께 둡시다.

21 ≤ d ≤ d2 ... ...

여기서j d는 무한의 경향이 있다.r을i 나와 같은 d의j 수가 되게 하라.

등급대수인 B=A/J를 두자.Letj b = 엷은 Bj.

골로드와 샤파레비치의 근본적인 불평등은 다음과 같이 말하고 있다.

그 결과:

  • 모든 i에 대해 ri ≤ d2/4이면 B는 무한 차원이다.

적용들

이 결과는 조합군 이론에서 중요한 응용을 가지고 있다.

  • G가 비경쟁적 유한 p-그룹인 경우 r > d2/4 여기서 d = dim H1(G,Z/pZ) 및 r = dim2 H(G,Z/pZ) (G의 p cohomology 그룹)이다.특히 G가 최소한의 발전기 d를 가진 유한 p-그룹이고 주어진 프레젠테이션에 r 릴레이터가 있다면 r > d2/4이다.
  • 각 prime p에 대해, 각 원소가 p의 힘을 순서화한 3개의 원소에 의해 생성되는 무한 그룹 G가 있다.G 그룹은 일반적인 번사이드 추측에 대해 예를 제시한다. 즉, 원소의 순서에 따라 균일하게 구속되는 것은 아니지만, 정확하게 생성된 무한 비틀림 그룹이다.

클래스 필드 이론에서 숫자 필드 K의 클래스 필드 타워는 힐버트 클래스 필드 구축을 반복하여 생성된다.클래스 야전탑 문제는 이 탑이 항상 유한한가를 묻는다; Hasse(1926) target:(은 이 질문을 Furtwangler에게 귀속시켰다.골로드-샤파레비치 정리의 또 다른 결과는 그러한 탑이 무한할 수 있다는 것이다(즉, 힐베르트 계급장과 동일한 분야에서 항상 종료되는 것은 아니다).구체적으로 말하자면

  • K는 판별자가 적어도 6개의 주요 인자를 가진 가상의 이차적 장이 되도록 하자.그러면 K의 최대 미문율 2연장은 무한도를 가진다.

보다 일반적으로, 판별의 주요 요인이 충분히 많은 숫자 필드는 무한 클래스 필드 타워를 가지고 있다.

참조

  • Golod, E.S; Shafarevich, I.R. (1964), "On the class field tower", Izv. Akad. Nauk SSSSR, 28: 261–272 (러시아어) MR0161852
  • Golod, E.S (1964), "On nil-algebras and finitely approximable p-groups.", Izv. Akad. Nauk SSSSR, 28: 273–276 (러시아어) MR0161878
  • Herstein, I.N. (1968). Noncommutative rings. Carus Mathematical Monographs. MAA. ISBN 0-88385-039-7. 8장을 참조하라.
  • 존슨, D.L. (1980년)「그룹 프리젠테이션 이론의 주제」(1차 개정).케임브리지 대학 출판부.ISBN 0-521-23108-6.6장을 참조하십시오.
  • Koch, Helmut (1997). Algebraic Number Theory. Encycl. Math. Sci. Vol. 62 (2nd printing of 1st ed.). Springer-Verlag. p. 180. ISBN 3-540-63003-1. Zbl 0819.11044.
  • Narkiewicz, Władysław (2004). Elementary and analytic theory of algebraic numbers. Springer Monographs in Mathematics (3rd ed.). Berlin: Springer-Verlag. p. 194. ISBN 3-540-21902-1. Zbl 1159.11039.
  • Roquette, Peter (1986) [1967]. "On class field towers". In Cassels, J. W. S.; Fröhlich, A. (eds.). Algebraic number theory, Proceedings of the instructional conference held at the University of Sussex, Brighton, September 1–17, 1965 (Reprint of the 1967 original ed.). London: Academic Press. pp. 231–249. ISBN 0-12-163251-2.
  • 세레, J.P.(2002년), "갈루아 코호몰로지", 스프링거-베를라크.ISBN 3-540-42192-0부록 2. (Cohomologie Galoisienne의 번역, 1973년 수학 5, 1973년 강의 노트)를 참조한다.